微专题系列第18章 平行四边形微专题六特殊四边形中的折叠问题2024-2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题六 特殊四边形中的折叠问题（解析版）解题策略 特殊四边形的折叠问题解题技巧主要涉及几何变换和全等三角形的应用，以下是综合整理的解题策略： 一、折叠性质的核心应用 （1）轴对称性 折叠本质是轴对称变换，折叠后图形与原图形全等，对应边相等，对应角相等。 （2）对应点与线段关系 折叠后对应点连线被对称轴垂直平分（如对角线折叠时，对应点连线为对角线的一部分）。对应线段相等（如四边形ABEC中，AE=AD，EC=AB）。 二、典型折叠问题类型及解法 （1）平行四边形折叠  若折叠后对应点连线经过一边的中点，则该中点为对应线段中点（如AE经过BC中点O，则AO=OC）。 证明三角形全等 （2）矩形折叠  沿对角线折叠时，可利用勾股定理计算折叠后线段长度。 通过折叠构造直角三角形（如∠AED=90°）简化计算。 （3）菱形与正方形折叠  菱形折叠时，折叠线为对角线或角平分线，可结合三角函数或全等三角形求解 正方形折叠问题常涉及45°角的等腰直角三角形，需注意对称轴的垂直平分性质。 三、辅助线与计算技巧 （1）构造特殊三角形 通过添加辅助线（如垂线、中线）构造直角三角形或等腰三角形，降低计算难度。 （2）利用已知条件 结合平行四边形、矩形等特殊四边形的性质，简化角度计算。 四、动态思维与归纳方法 分类讨论 ：根据折叠角度、点落位置分类，分析不同情况。 归纳规律 ：通过多例练习，总结折叠后角度、边长变化的规律（如等腰三角形折叠后底角平分线性质）。 通过以上方法，可系统解决特殊四边形折叠问题，关键在于理解轴对称性、灵活运用全等三角形及特殊四边形性质。 类型归纳 1. 平行四边形中的折叠 【例1-1】．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求： （1）∠D'EF的度数； （2）线段AE的长． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形．∠B=∠D= 60°，AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB．∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处， ∴∠D= ∠ED'G= 60°， ∠DEF= ∠D' EF， ∴∠D'EF= ∠EFB．∵∠BGD' =32°，∵∠D'GF= 148°．∴∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G=360°，∴∠D'EF= 76°． （2）解：如图，过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H， 设AE=×，∴DE=8-×=D'E ∵AD∥BC， ∴∠HAD=∠B= 60°，且EH⊥AB， ∴AH=x，HE=x。 ∵点D'是AB的中点， ∴AD'=， ∴D'H=AD'+AH=：在Rt△EHD'中，HE2+D'H2=D'E2， ∴=(8-x)2，∴x=，∴AE= 【知识点】平行线的性质；勾股定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到：然后根据折叠的性质得到：即最后根据四边形的内角和为360°，即可求解； （2）过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H，设AE=×，则DE=8-×=D'E，根据三角形三角函数得到：进而可求出AD'和D'H的长度，在中，根据勾股定理得到据此得到方程，即可求解. 【例1-2】．综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 如图1，在矩形中，点为边的中点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与交于点．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由. （2）迁移思考： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当时，求的值. （3）拓展探索： 如图2，四边形为平行四边形，其中与是对角，点为边的中点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的值． 【答案】（1）解：，理由如下： 连接，如图： ∵四边形为矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴ （2）解： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 设，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：DG为3.5或4.5 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：（3）当点在线段的延长线上时，连接，如图： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时：如图： 同理可得：， ∴ 综上可得DG的长为4.5或3.5. 【分析】（1）由矩形及折叠的性质可得，EF=AE，由中点定义得AE=BE，则BE=EF，加上公共的斜边，可用HL证明，从而得出FG=BG； （2）由（1）可知FG=BG，则可设AD未知量，通过AD表达出FG，因为FG+DF=DG，而DG是可以通过已知条件算出来的，所以最终算出DF，而DF=DA，此题得解； （3）DG=DF+FG，而DF是已知的，即相当于要求FG，再次利用（1）的结论FG=GB，即问题又转化成求GB即可，但要注意F在平行四边形的外还是内，要对应进行讨论. 【变式1-1】．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到交于点，连结．若，则的长是　 　 【答案】 【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：由折叠知：∠ACB'=∠ACB=45°，∠AB'C=∠B=60°， ∴∠BCB'=∠ACB'+∠ACB=90°，即CB'⊥BC， 在平行四边形中 ，∠B=60°，AD∥BC， ∴∠ADC=∠B=60°，CB'⊥AD，∠EAC=∠ACB=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形，∠B'AE=∠ECD=30°， ∴AE=CE=AC=， ∴B'E=AE=1，DE=CE=1， ∴△B'ED为等腰直角三角形， ∴ =DE=. 故答案为：. 【分析】由折叠知∠ACB'=∠ACB=45°，∠AB'C=∠B=60°，结合平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=60°，CB'⊥AD，∠EAC=∠ACB=45°，从而求出△AEC为等腰直角三角形，∠B'AE=∠ECD=30°，利用直角三角形性质分别求出AE=CE=AC=，B'E=AE=1，DE=CE=1，继而得出△B'ED为等腰直角三角形，利用 =DE即可求解. 【变式1-2】．如图 1， 在平行四边形 中， ， 点 分别为边 上的动点 (不与顶点重合)， 且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 . （1） 连结 交 于点 ， 连结 . ①求证： . ②若 ， 求 的长. （2） 若点 落在平行四边形 的边上， 请直接写出 所有可能的值. 【答案】（1）解：①在 中， ②解：过 作 于 在 Rt 中， 连接 交 于 由折叠可知 又 是 ' 的中位线 是 的中垂线 （2）解：①如图：当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC 由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF ∴EF∥DG ∵AD∥BC ∴四边形EFGD为平行四边形 ∴EF=DG 由（1）知：DG=CG=4 ∴OF= ∴ ∴CF=BC-BF=7-=1.5 ∴C'C=2CF=3 ②如图：当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC 由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H ∵BO = DO ∴OH∥AB，即：EF∥AB ∴CC'⊥AB ∵∠ABC=45° ∴△BCC'是等腰直角三角形 ∴CC'= ③当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H ∵∠ABC =45° ∴△ABH是等腰直角三角形 ∴AH=BH =4 ∴CH=BC-BH=3 在Rt△ACH中 综上所述： 或 5 或 . 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理 【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质：AD=BC，，又因为：AE=CF，得出：DE=BF，因此，得到OB=OD （2）过 作 于 ，根据平行四边形的性质：得出：，即：△DCH为等腰直角三角形，因为DC=，得出CH=DH=4，在直角三角形BDH中，根据勾股定理：计算出BD的长，又折叠可知： 根据中位线性质得出：，得出 是 的中垂线，即可得出： （3）本题需要分类讨论： 当C‘在BC边上时，过D作DG⊥BC，由折叠可知EF⊥BC，DG⊥BC，C'C=2CF，得出：四边形EFGD为平行四边形，故EF=DG，这样OF=2，再根据勾股定理：，计算出BF，算出CF，再乘以2即可 当C'在AB上时，设C'C与EF交于点H，连接AC，由折叠可知EF⊥C'C，CH=C'H，得出OH是△AC'C的中位线，得出：EF∥AB，因此：CC'⊥AB，即：△BCC'是等腰直角三角形，故可以计算出：CC'= 当点C’与点A重合时，过A作AH⊥BC于H，得出：△ABH是等腰直角三角形，即：AH=BH =4，再根据勾股定理：，计算CC'即可. 【变式1-3】．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时，　 　． 【答案】 【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：∵根据折叠的性质， ∴， ， ∴. ∵四边形AECD为平行四边形， ∴， ∵根据折叠的性质， ∴， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴. ∵四边形AECD为平行四边形， ∴AD=CE， ∵根据折叠的性质， ∴AD=AG，CE=GE， ∴AG=GE， ∴G是AE的中点， ∵△AFE为直角三角形， ∴ 故答案为：. 【分析】根据折叠的性质推出，AD=AG，CE=GE，，从而推出△AFE和△ABE为直角三角形，结合平行四边形的性质求证，从而求出以及AE的长度，最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边上一半求出FG长度. 2. 矩形中的折叠 【例2-1】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】解：（1）.理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． ​​​​ 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，则，根据等腰三角形的性质即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，则，在中，根据勾股定理可得，解得，，同理可证明，则． 【例2-2】．将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的M点处顶点C，D同时落在线段HF上的N点处，其中AD长为6，AE长为x． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度； （3）若 ，连结AF，当 时（如图2），求 的值． 【答案】（1）证明：如图， 由折叠可得 ， ∵ ∴ 同理可得 ∴四边形EFGH为矩形. （2）解：由折叠得：∠B=∠FME，∠D=∠HNG，AH=MH，FC=FN，BF=FM，HD=HN， ∴HF=MH+FM=AH+BF， ∵矩形EFGH， ∴EH=FG，EH∥FG， ∴∠EHM=∠NFG， 又∵平行四边形ABCD， ∴∠B=∠D， ∴∠FME=∠HNG， ∴∠EMH=∠GNF， ∴△EMH≌△GNF， ∴MH=FN， ∴BF=MF=NH=DH， ∴HF=AH+DH=AD， ∵AD=6， ∴HF=6， ∴HF的长度不会变化. （3）解：方法①：由题意得， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 方法②：如图，连接EG交AF于点P， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴. 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠1=∠2，∠3=∠4，由邻补角性质推出∠FEH=90°，同理得∠EHG=∠HGF=∠GFE=90°，可证出四边形EFGH为矩形； （2）由折叠性质可得∠B=∠FME，∠D=∠HNG，AH=MH，FC=FN，BF=FM，HD=HN，从而得到HF=MH+FM=AH+BF，再由矩形性质得EH=FG，EH∥FG，从而得∠EHM=∠NFG，再由平行四边形性质可得∠B=∠D，进而推出∠EMH=∠GNF，可证出△EMH≌△GNF，从而得出HF=AH+DH=AD，再由AD=6，则HF=6，因此HF的长度不会变化； （3）方法①：易得AE=EM=BE，则AB=2AE=4，又AF⊥BC，进一步求出EF和HG的长度，同理可求出CG和DG长度，从而推出CH⊥AD，进而得CH⊥BC，CH=AF，设BF=a，CF=6-a，由勾股定理列出关于a的方程，解得a值，进而求得的值； 方法②：如图，连接EG交AF于点P，易得AE=EM=BE，则AB=2AE=4，又AP⊥BC，进而求得EF和FG的长度，再由，得，再根据三角形面积相等得，求得，再在中，由勾股定理求得，则，进而求得的值即可. 【变式2-1】．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 四边形的周长， 四边形的面积． 【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠AFE=∠CEF，由折叠得∠AEF=∠CEF，CE=AE，得到∠AEF=∠AFE，由等角对等边得AE=AF，则AF=CE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由矩形的性质得出BC=AD=10cm，∠B=90°，由折叠的性质可得CE=AE，设CE=AE=xcm，则BE=BC-CE=（10-x）cm， 在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程可求出CE的长，进而根据菱形的面积公式及周长公式计算即可. 【变式2-2】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点Dʹ处，与交于点． 【猜想】（1）请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为ME． （2）若，求的长． （3）猜想、的数量关系，并说明理由； 【答案】解：（1）； （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， 同理可证明， ； （3），理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：（1）矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：； 【分析】 （1）由折叠的性质可得，再由矩形的性质结合平行线的性质得到，则，进而可得； （2）由折叠的性质可得，，，设，则，由，得到，解得，则，同理可证明，则； （3）由折叠的性质证明，由勾股定理得到，再证明，即可得到． 【变式2-3】． 有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为； （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为5． 【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和平行线的性质可推出∠BEF=∠DFE，利用折叠的性质可推出∠DFE=∠DEF，据此可证得结论. （2）利用矩形的性质可证得∠A=90°，利用折叠的性质可知DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的长. 3. 菱形中的折叠 【例3-1】．如图，将平行四边形 沿 折叠，点 恰好落在 的延长线上点 处，连接 交于点 ． （1）证明：四边形 是菱形； （2）若 ． ①求 的面积； ②若直线 上有一点 ，当 为等腰三角形时，直接写出线段为 的长． 【答案】（1）证明：∵平行四边形 沿 折叠，点 恰好落在 的延长线上点 处，连接 交于点 ∴ ∥ ， ， ∴ ∴ ∴ ∴四边形 是平行四边形 又 ∴平行四边形 是菱形． （2）解：①∵平行四边形 是菱形， ∴ ∴ ∵四边形 是菱形， ∴ ∵平行四边形 ， ∴ ∴菱形 的面积= 即 解得 ②由（2） ∵平行四边形 ， ∴ 如图所示，以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于 、 ， ① ，此时 为等腰三角形 ∴ ； ② ，此时 为等腰三角形 ∴ ； 如图所示，以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于 ， ③ ，此时 为等腰三角形， 由（2）可知 ∴ ④由（2）可知 ∵四边形 是菱形， ∴ ∴ ∴ 即B点，此时 为等腰三角形， 综上所述：当 为等腰三角形时，线段 的长为2、18、 或5． 【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）先求出DC=AB，再求出 四边形 是平行四边形 ，最后证明求解即可； （2）①利用勾股定理求出AB=5，再利用菱形的面积公式计算求解即可； ②分类讨论，结合图形，计算求解即可。 【例3-2】．如图将边长为的菱形纸片折叠，使点恰好落在对角线的交点处，若折痕则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：连接AC，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAC=∠DAC. ∵点A沿EF折叠与点O重合， ∴EF⊥AC，EF平分AO， ∵AC⊥BD， ∴EFlIBD， ∴E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， .∴， ∴. ∴. ∵. ∴∠BAD=2∠BAO=2×60°=120. 故答案为：A. 【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠BAC=∠DAC.根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO；证明EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，在Rt△AOB中求出sin∠BAO，则可利用特殊角的三角函数值求出∠BAO的度数，由∠A=2∠BAO.即可得到结论. 【变式3-1】．对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，MN是折痕点B的对应点是，若，则CN的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：连接AC、BD，如图， ∵点O为菱形ABCD的对角线的交点， ∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°， 在Rt△COD中，CD==5， ∵AB∥CD， ∴∠MBO=∠NDO， 在△OBM和△ODN中， ∴△OBM≌△ODN， ∴DN=BM， ∵过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕， ∴BM=B'M=1， ∴DN=1， ∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4． 故答案为：D 【分析】连接AC、BD，利用菱形的性质求OC和OD，再利用勾股定理计算出CD，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得求解。 【变式3-2】．如图，在菱形中，为边上的一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在边上的处．若垂直对角线，则　 　度． 【答案】72 【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：连接， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，，， 设， ∵垂直对角线，AC⊥BD， ∴EF∥AC， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴， ∵， ∴α+2α+2α=180°， 即， 解得：， ∴∠BAD=2α=2×36°=72°. 故答案为：72． 【分析】连接AC、BD，由菱形的性质得：，，，于是设，由折叠的性质和等边对等角可得，，，根据平角的性质可得关于α的方程，解方程求出α的度数，然后根据∠BAD=2α计算即可求解． 【变式3-3】．如图1，菱形纸片的边长为，，将菱形沿，折叠，使得点，两点重合于对角线上的点（如图2）．若，则六边形的面积为　 　． 【答案】 【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图， 菱形纸片的边长为，， ，，，，， ，，， ，， ， ， ， 由折叠的性质可得，，， ，，， ，， ， ， ， 故答案为：. 【分析】由折叠的性质可得BM+DN的和等于BD长的一半，先利用菱形的性质求得菱形面积及的度数，再通过直角三角形的性质求得与的面积，然后计算六边形的面积. 4. 正方形中的折叠 【例4-1】．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一： 如图1，正方形纸片ABCD，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①　 　°；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为　 　． （2）【深入探究】操作二：如图2、将沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示． 小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． （3）【拓展应用】 若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长． 【答案】（1）45； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴． 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵，∴． 由（1）得，∴是等腰直角三角形． ∴．∴．∴． ∵，∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点N落在折痕AE上时，如图3所示， ，，． 易得是等腰直角三角形，∴， ∴． ∵， ∴．∴． ∵，， ∴．∴．∴． 【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得：BE=EM，DF=MF，∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF， ∴2∠MAE+2∠MAF=∠BAD=90°， ∴∠MAE+∠MAF=45°， ∴∠EAF=45°， ∵EF=EM+MF， ∴EF=BE+DF； 故答案为45；EF=BE+DF； 【分析】(1)根据折叠的性质可进行求解； (2)根据折叠的性质及正方形的性质可进行求解； (3)分“点N落在折痕AE上”、“点N落在折痕AF上”两分类求解. 【例4-2】．综合实践课，同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，． （1）当点在上时，的度数是　 　． （2）如图，改变点在上的位置点不与点，重合，延长交于点，连接． 求证：； 若正方形纸片的边长为，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：四边形ABCD是正方形， ∴ AB=BC=CD=AD，， 由折叠可得，，， ，， 又， ≌， ， ； 解：由可知MQ=CQ=1，四边形ABCD是正方形，边长为8， ，，， 设，则， 又， ， ， ， 解得， 的长为． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（1）解：连接AM，如图所示， 由折叠的性质可得：AE=BE，DF=CF， ，，， （SAS）， ， ， ， 是等边三角形， ， 又四边形是正方形， ， ． 故答案为：． 【分析】（1）连接AM，根据SAS证明，根据全等三角形的性质证明三角形ABM是等边三角形，结合正方形ABCD的性质求解即可； （2）①由正方形的性质和折叠的性质准备条件，根据HL证明，从而推出MQ=CQ，最后由PQ=PM+MQ即可得证；②由正方形的性质和折叠的性质，设AP=x，则PD=8-x，PQ=x+1，DQ=7，然后利用勾股定理，即可得到AP的长．​​​​​​​ 【变式4-1】． 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①　 　°；②线段，，之间的数量关系为　 　． （2）【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）45； （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴． 由（1）得， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵点N落在折痕上，根据折叠可知： ，，， ∴根据解析（2）可知：此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴ 解得：． 【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：（1）①由折叠知：∠BAE=∠EAM=∠BAM，∠DAF=∠MAF=∠DAM， 在正方形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠EAF=∠EAM+∠MAF=∠BAM+∠MAD=（∠BAM+∠MAD）=∠BAD=45°， 故答案为：45； ②由折叠知：BE=EM，DF=MF， ∵EF=ME+MF， ∴EF=BE+DF； 故答案为：EF=BE+DF； 【分析】（1）①由正方的性质可得∠BAD=90°，由折叠知：∠BAE=∠EAM，∠DAF=∠MAF，从而得出∠EAF=∠EAM+∠MAF=∠BAD，继而得解； ②由折叠知BE=EM，DF=MF，利用EF=ME+MF即可求解； （2）①易证△ANF为等腰直角三角形，再用ASA证△ANP≌△FNE，可得AP=EF，利用线段的和差即可求解； ②先求出，再利用直角三角形的性质可得AE=2BE，由勾股定理得，据此即可求出BE的长. 【变式4-2】．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵BE：EC=2：1，BE+EC=9 ∴EC=3； ∵正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处， ∴∠C=90°，DH=EH， 设CH=x，则DH=EH=9-x， 在Rt△ECH中 CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2 解之：x=4， ∴CH的长为4. 故答案为：B. 【分析】利用已知求出EC的长，利用正方形的性质和折叠的性质可得到∠C=90°，DH=EH，设CH=x，则DH=EH=9-x，在Rt△ECH中利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH的长. 【变式4-3】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　． 【答案】 【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第18章 平行四边形 微专题六 特殊四边形中的折叠问题解题策略 特殊四边形的折叠问题解题技巧主要涉及几何变换和全等三角形的应用，以下是综合整理的解题策略： 一、折叠性质的核心应用 （1）轴对称性 折叠本质是轴对称变换，折叠后图形与原图形全等，对应边相等，对应角相等。 （2）对应点与线段关系 折叠后对应点连线被对称轴垂直平分（如对角线折叠时，对应点连线为对角线的一部分）。对应线段相等（如四边形ABEC中，AE=AD，EC=AB）。 二、典型折叠问题类型及解法 （1）平行四边形折叠  若折叠后对应点连线经过一边的中点，则该中点为对应线段中点（如AE经过BC中点O，则AO=OC）。 证明三角形全等 （2）矩形折叠  沿对角线折叠时，可利用勾股定理计算折叠后线段长度。 通过折叠构造直角三角形（如∠AED=90°）简化计算。 （3）菱形与正方形折叠  菱形折叠时，折叠线为对角线或角平分线，可结合三角函数或全等三角形求解 正方形折叠问题常涉及45°角的等腰直角三角形，需注意对称轴的垂直平分性质。 三、辅助线与计算技巧 （1）构造特殊三角形 通过添加辅助线（如垂线、中线）构造直角三角形或等腰三角形，降低计算难度。 （2）利用已知条件 结合平行四边形、矩形等特殊四边形的性质，简化角度计算。 四、动态思维与归纳方法 分类讨论 ：根据折叠角度、点落位置分类，分析不同情况。 归纳规律 ：通过多例练习，总结折叠后角度、边长变化的规律（如等腰三角形折叠后底角平分线性质）。 通过以上方法，可系统解决特殊四边形折叠问题，关键在于理解轴对称性、灵活运用全等三角形及特殊四边形性质。 类型归纳 1. 平行四边形中的折叠 【例1-1】．如图，在平行四边形ABCD中，AB=，BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求： （1）∠D'EF的度数； （2）线段AE的长． 【例1-2】．综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断： 如图1，在矩形中，点为边的中点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与交于点．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由. （2）迁移思考： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当时，求的值. （3）拓展探索： 如图2，四边形为平行四边形，其中与是对角，点为边的中点，沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与射线交于点．若，，请直接写出线段的值． 【变式1-1】．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到交于点，连结．若，则的长是　 　 【变式1-2】．如图 1， 在平行四边形 中， ， 点 分别为边 上的动点 (不与顶点重合)， 且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 . （1） 连结 交 于点 ， 连结 . ①求证： . ②若 ， 求 的长. （2） 若点 落在平行四边形 的边上， 请直接写出 所有可能的值. 【变式1-3】．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时，　 　． 2. 矩形中的折叠 【例2-1】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【例2-2】．将平行四边形纸片ABCD按图1所示的方式折叠，使顶点A，B同时落在线段HF上的M点处顶点C，D同时落在线段HF上的N点处，其中AD长为6，AE长为x． （1）求证：四边形EFGH为矩形； （2）探究：线段HF的长度会随着AE长度的变化而变化吗？如果会，请用含x的代数式表示HF的长度；如果不会，请直接写出HF的长度； （3）若 ，连结AF，当 时（如图2），求 的值． 【变式2-1】．如图，将矩形纸片沿折叠，使得点与重合． （1）连接，试问四边形是否是特殊的四边形？请说明理由． （2）若，，求四边形的周长与面积． 【变式2-2】．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点Dʹ处，与交于点． 【猜想】（1）请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为ME． （2）若，求的长． （3）猜想、的数量关系，并说明理由； 【变式2-3】． 有一矩形纸片，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为； （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 3. 菱形中的折叠 【例3-1】．如图，将平行四边形 沿 折叠，点 恰好落在 的延长线上点 处，连接 交于点 ． （1）证明：四边形 是菱形； （2）若 ． ①求 的面积； ②若直线 上有一点 ，当 为等腰三角形时，直接写出线段为 的长． 【例3-2】．如图将边长为的菱形纸片折叠，使点恰好落在对角线的交点处，若折痕则(　　) A． B． C． D． 【变式3-1】．对角线长分别为6和8的菱形如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，MN是折痕点B的对应点是，若，则CN的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式3-2】．如图，在菱形中，为边上的一点，将菱形沿折叠后，点恰好落在边上的处．若垂直对角线，则　 　度． 【变式3-3】．如图1，菱形纸片的边长为，，将菱形沿，折叠，使得点，两点重合于对角线上的点（如图2）．若，则六边形的面积为　 　． 4. 正方形中的折叠 【例4-1】．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一： 如图1，正方形纸片ABCD，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①　 　°；②线段EF，BE，DF之间的数量关系为　 　． （2）【深入探究】操作二：如图2、将沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示． 小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． （3）【拓展应用】 若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长． 【例4-2】．综合实践课，同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：如图，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，． （1）当点在上时，的度数是　 　． （2）如图，改变点在上的位置点不与点，重合，延长交于点，连接． 求证：； 若正方形纸片的边长为，，求的长． 【变式4-1】． 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①　 　°；②线段，，之间的数量关系为　 　． （2）【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【变式4-2】．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$