特训10 菱形的性质与判定-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训10 菱形的性质与判定 【特训过关】 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．菱形对角线互相垂直平分 3．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点A为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点B，D两点；（）分别以B，D为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点C；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，与相交于点O，连接、．若，，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 6．如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 7．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接E、F、G、H得到四边形．若，，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E、F；②分别以E、F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H；③以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 9．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接，则下列结论：①；②； ③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 10．如图所示，在矩形纸片中，，，点E、F分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点B落在矩形边上，对应点记为点G，点A落在M处，连接、、，与交于点N．则下列结论成立的是（        ） ①； ②当点G与点D重合时，； ③的面积S的取值范围是； ④当时，．    A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 11．已知平行四边形，请从①；②，③，④的四个条件中，任选一个作为补充条件，使得平行四边形是菱形，可以是 12．如图，的对角线，交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 13．如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，，，，则四边形的周长是 cm． 14．如图所示，E，F分别在和上，，则 ． 15．在中，的平分线交线段于点E，交线段的延长线于点F，以、为邻边作，若，则 ．    16．两张全等的矩形纸片、按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为 ． 17．如图所示，为直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧S，分别交，于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧S于点M，N，连接分别交，于点P，Q，连接，，则四边形的周长为 ． 18．如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ，的面积为___________．（用含正整数n的代数式表示） 19．如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是，其中所有正确结论的序号是 ． 20．知图，在菱形中，对角线、交于点O，，，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    21．如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． （1）求证：， （2）连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 22．在矩形中，E、F分别是、的中点，连接、，M、N分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为48，，求四边形的周长． 23．如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 24．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合． （1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长． 25．在中，的平分线交直线于点，交直线于点． （1）如图①，证明：． （2）如图②，若，O为的中点，G为的中点，试探究与的位置关系，并说明理由． （3）如图③，若，O为的中点，过点E作的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线的同侧），使，连接，H为的中点，试探究线段与之间的数量关 系，并对结论给予证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训10 菱形的性质与判定 【特训过关】 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：A．由图可知：，所以根据“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； B．根据“四条边相等的四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； C．因为，所以根据“同旁内角互补，两直线平行”可知该四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”可知该四边形是菱形，故不符合题意； D．由图可知对角线互相平分的四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 2．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．菱形对角线互相垂直平分 【答案】B． 【解析】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形是真命题，故此选项不符合题意； B．平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，所以平行四边形的对角线相等是假命题，故此选项符合题意； C．一组邻边相等的平行四边形是菱形是真命题，故此选项不符合题意； D．菱形对角线互相垂直平分是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，在中，，，则对角线等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D． 【解析】解：∵在中，，， ∴是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：D． 4．小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点A为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点B，D两点；（）分别以B，D为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点C；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，与相交于点O，连接、．若，，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为20． 故选：C． 6．如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A． 【解析】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 故选：A． 7．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接E、F、G、H得到四边形．若，，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积． 故选：B． 8．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E、F；②分别以E、F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H；③以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C． 【解析】解：如图，连接、，设交于点O， 由题意可知，是的角平分线， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴． ∴， 故选：C． 9．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接，则下列结论：①；②； ③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确 ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴，四边形是菱形，故④正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； 故选：D． 10．如图所示，在矩形纸片中，，，点E、F分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点B落在矩形边上，对应点记为点G，点A落在M处，连接、、，与交于点N．则下列结论成立的是（        ） ①； ②当点G与点D重合时，； ③的面积S的取值范围是； ④当时，．    A．①③ B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D． 【解析】解：如图，连接，．    由折叠的性质得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，故①正确． ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当D，G重合时，如图，    设，则有， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵不变， ∴当最大时，的面积最大， ∵当D，G重合时，的面积最大， ∴的面积最大值， ∴，故③错误， 如图2中，当时，， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 11．已知平行四边形，请从①；②，③，④的四个条件中，任选一个作为补充条件，使得平行四边形是菱形，可以是 【答案】①④． 【解析】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故①满足题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故②不满足题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， 故③不满足题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故④满足题意； 故答案为：①④． 12．如图，的对角线，交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有或或或，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接，，连接，，，，则四边形的周长是 cm． 【答案】20． 【解析】解：记、的交点为O， 根据作图可知是的垂直平分线， 且， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：20． 14．如图所示，E，F分别在和上，，则 ． 【答案】80． 【解析】解：∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， 又∵， ∴， 同理， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80． 15．在中，的平分线交线段于点E，交线段的延长线于点F，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】． 【解析】解：延长、交于H，连接，   ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，平分， ∴，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴，且均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．两张全等的矩形纸片、按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为 ． 【答案】15． 【解析】解：设交于点G，交于点H， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形是全等的矩形， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， 设，， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴菱形的面积：． 故答案为：15． 17．如图所示，为直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧S，分别交，于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧S于点M，N，连接分别交，于点P，Q，连接，，则四边形的周长为 ． 【答案】24． 【解析】解：如图，令交于Z， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 18．如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ，的面积为___________．（用含正整数n的代数式表示） 【答案】，． 【解析】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的边长，   ∵，， ∴， 又∵，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，同理可求的边长， ∴； 在中，，， ∴，， ∴， 在中，同理可求的边长， ……， ∴的边长， ∴． 故答案为：，． 19．如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∴， ， ∴， 点P与点A重合时，如图1所示： 设，则， 在中，． 即， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②错误； 当过点D时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为， 当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为， ∴，故③正确． 故答案为： ①③． 20．知图，在菱形中，对角线、交于点O，，，点E、F分别在边、上（点E不与A、B重合）．且，、分别交于点P、Q，连结、．给出下面四个结论：①平分四边形的周长；②四边形是矩形；③平分；④当时，，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③④． 【解析】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故②四边形是矩形无法判定，不符合题意； ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∴，即， ∴①平分四边形的周长，正确，符合题意； ③平分，正确，符合题意； ∵为菱形， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴，故④正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④． 21．如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． （1）求证：， （2）连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析． 【解析】（1）证明：∵E是的中点，， ∴，，， ∴． （2）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 22．在矩形中，E、F分别是、的中点，连接、，M、N分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的面积为48，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）菱形的周长为． 【解析】（1）证明：连接， 在矩形中，，，，E、F分别为，中点， ∴，， ∴，． 又，， ∴四边形，为平行四边形， 又， ∴四边形为矩形， ∴， ∵M为中点， ∴； ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∵M，N为，的中点 ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：连接，交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，即：， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，，， 在中，， ∴． ∴； ∴菱形的周长为． 23．如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）的长为． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴， 即的长为． 24．尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合． （1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）解：如图，直线为折痕，点M为所求作； 证明如下：由题意可知，点B、E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， 在射线上取点M，使得， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点H为的中点，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∴ 25．在中，的平分线交直线于点，交直线于点． （1）如图①，证明：． （2）如图②，若，O为的中点，G为的中点，试探究与的位置关系，并说明理由． （3）如图③，若，O为的中点，过点E作的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线的同侧），使，连接，H为的中点，试探究线段与之间的数量关 系，并对结论给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论，理由如下： 如图②中，连接，． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知：， ∵，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴． （3）解：，理由如下： 如图③中，连接，，． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 根据（1）可得， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵O为的中点，H为的中点， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$