精品解析： 山东省济南市莱芜区2024-2025学年九年级下学期开学检测数学试题

2025年济南市莱芜区九年级开学检测数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上提号提示的区域作答，在本试题上作答无效． 3．考试结束后将本试题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 据教育部统计，届全国普通高校毕业生规模预计达万人．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 方差越小则数据波动越大 B. 等边三角形是中心对称图形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正多边形的外角和为 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160 7. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A. B. C. 5 D. 9. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点，连接，，设时间为，为，关于的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） 当时，；；有最小值，最小值；有最小值，最小值为． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接写答案． 11. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是_____． 12. 如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是________． 13. 在中，，，的周长为14，则边上的高为_______． 14. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为________． 15. 如图，在矩形纸片中，，，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点为，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好也为，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 18. 如图，在中，点E，F分别是，上的点，且，连接，．求证：． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长． 素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，） 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 20. 如图，在中，是直径，点C是上一点，，，点E在上，，连接并延长交于点D，连接，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的长． 21. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析． ①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）： 说明：A：；B：；C：；D：； ②抽取八年级参赛学生成绩等级为“C”的分数为： 70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84． ③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 73.5 74 84 八 73.5 _______ 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）八年级这40名学生成绩的中位数是_______； （3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生； （4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？ 22. 某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需元． （1）求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 23. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并写出点的坐标： （2）线段在轴上运动，且点在右侧，求四边形周长的最小时点的坐标； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 阅读材料并完成问题． 材料：直线上任意两点，，，线段的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算．例如：直线上两点，，则，，即线段的中点，． 已知抛物线，根据以上材料解答下列问题： （1）若该抛物线经过点，求m的值； （2）在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段的中点为D，若点，求直线的表达式； 以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考： 设直线表达式为：，，，则有，．得：，两边同除以，得……； （3）该抛物线上两点E，F，直线的表达式为：． ①请说明线段的中点在一条定直线上； ②将①中定直线绕原点O顺时针旋转得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围． 25. 中，，． （1）如图1，在中，，，F是中点，连接．若，求线段的长； （2）如图2，在中，，，F是中点，连接，求的值； （3）如图3，在中，，，E是中点，F是中点，连接，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年济南市莱芜区九年级开学检测数学试题 本试卷共8页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上提号提示的区域作答，在本试题上作答无效． 3．考试结束后将本试题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 据教育部统计，届全国普通高校毕业生规模预计达万人．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：万， 故选：． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 方差越小则数据波动越大 B. 等边三角形是中心对称图形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正多边形的外角和为 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义，中心对称图形的定义，矩形的性质，正多边形的外角和定理逐项判断即可． 【详解】解：方差越小则数据波动越小，故A选项错误； 等边三角形不是中心对称图形，故B选项错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误； 正多边形的外角和为，故D选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查方差，中心对称图形，矩形，正多边形的外角和等，熟练掌握相关定义或性质是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键． 4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案． 【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力． 5. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，，，则， ∴，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 6. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169．这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据中出现最多的数是158， 所以众数为158； 这组数据从小到大排列，排在正中间的数据是160， 所以中位数为160． 故选：D． 7. 已知点，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征， 首先由点求出，得到反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每一个象限中，y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每一个象限中，y随x的增大而增大， ∵点，在第二象限，且， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 9. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，过点作交延长线于点，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 由作图可知平分， ， 是等边三角形， ，， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，，， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查作图—垂直平分线、角平分线，线段垂直平分线、角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10. 如图，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点，连接，，设时间为，为，关于的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） 当时，；；有最小值，最小值为；有最小值，最小值为． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，列出关于的函数式，结合图，列方程求出的值，即可判断；继而代值检验；利用二次函数的图象性质，即可得到的最小值，即可判断；最后通过建系，将转化为，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值． 【详解】解：设，则，，， 所以， 由图知，函数经过点， 整理得， 解得：或（舍去）， ，故正确； 由知，， 当时，，即，故错误； 对于，由题意易得：， 由可得，当时，， 即有最小值，最小值为，故错误； 对于D，如图，以点为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系， 则，，，， 为中点， ， ，结合此式特点，设，，， 则，作出图形如下： 作出点关于直线的对称点， 连接交直线于点， 则点即为使取得最小值的点， 此时， 即的最小值为，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，根据自变量求函数值，求二次函数的最小值，建立平面直角坐标系，两点间的距离公式，点的对称等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接写答案． 11. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是_____． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，， 其中，在第一象限，共2个点， ∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是． 故答案为：． 12. 如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，根据两直线平行、同位角相等，可得，根据折叠前后对应角相等，可得，由此可解． 【详解】解：， ， ， 由折叠的性质可知， ， 故答案为：． 13. 在中，，，的周长为14，则边上的高为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、完全平方公式、三角形面积公式等知识，正确解得是解题关键． 首先利用三角形周长得到，然后利用完全平方公式结合勾股定理求出，然后利用三角形面积计算即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，的周长为14， ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，即， 解得． 故答案为：． 14. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，首先利用待定系数法求出，然后求出当时，，进而求解即可． 【详解】解：设当时，y与x函数关系式为 将代入得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴ ∴小明与小亮交谈的时间为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，，，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点为，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好也为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，连接，，根据矩形的性质和折叠的性质判断出点G，，D三点在同一条直线上，然后求出，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是矩形，，，E为中点， ∴，，，， 由翻折得，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点G，，D三点在同一条直线上 ∵ ∴ ∵由折叠得， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，等边对等角性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，数轴表示如下： ． 18. 如图，在中，点E，F分别是，上的点，且，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握其性质和判定是解题的关键．根据四边形为平行四边形，可得，结合已知条件，可得四边形为平行四边形，由此得证． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， 又， 四边形为平行四边形， ． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长． 素材2 图2是地下停车库门口安装车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，） 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 【答案】任务一：；任务二：闸门没有打开，理由详见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务一：利用勾股定理求出，从而得解； 任务二：过点作于，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达点的时间，从而得解． 【详解】解：任务一：，，长， ， 的值为：； 任务二：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开． 20. 如图，在中，是直径，点C是上一点，，，点E在上，，连接并延长交于点D，连接，，垂足为F． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得，由可得，进而可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，于是结论得证； （2）过点作于点，则，由勾股定理可得，由可得，，由三角形的面积公式可得，则，由勾股定理可得，则，由勾股定理可得，由，可证得，于是可得，则，由（1）得，于是可得，则，由此即可求出的长． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21. 为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析． ①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）： 说明：A：；B：；C：；D：； ②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“C”的分数为： 70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84． ③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 73.5 74 84 八 73.5 _______ 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）八年级这40名学生成绩的中位数是_______； （3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生； （4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）七 （4）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、利用样本估计总体： （1）先计算出七年级B、D等级人数，再补全条形统计图； （2）根据中位数定义，将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，第20位和第21位的平均数即为中位数； （3）比较两个年级的中位数，即可求解； （4）利用样本估计总体思想求解． 【小问1详解】 解：七年级B等级人数为：， 七年级D等级人数为：， 补充完整后条形统计图如下所示： 【小问2详解】 解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图和八年级C等级分数情况可知，第20位和第21位分别为75，76， 因此八年级这40名学生成绩的中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：七年级的中位数为74，八年级的中位数为， 因此同样是75分的情况下，在七年级的排名更靠前，可知小明是七年级的学生， 故答案为：七； 【小问4详解】 解：（人） 答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人． 22. 某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需元． （1）求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 【答案】（1）种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元 （2）购买种箱、种箱时总费用最少，总费用为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）设种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元，根据题意，列出一元二次方程组即可求解； （2）设某公司购买种箱数为，种箱数为，总费用为，求出与的函数解析式，再根据题意列出不等式组求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 解：设种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元，则由题意得： ， 解得：， 答：种牛奶每箱价格为元，种牛奶每箱价格为元； 【小问2详解】 解：设某公司购买种箱数为，种箱数为，总费用为，则有：， 解得：， 总费用为：， 根据一次函数的性质，当越大，总费用越小；故取时费用最少，此时， 最少总费用为： (元)； 答：购买种箱、种箱时总费用最少，总费用为元； 23. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并写出点的坐标： （2）线段在轴上运动，且点在右侧，求四边形周长的最小时点的坐标； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线与双曲线之中即可得出，，则点，再根据对称性可得点的坐标； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明得，进而得点，则，由此得当为最小时，四边形的周长为最小，作点关于轴的对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，证明四边形是平行四边形得，则，根据“两点之间线段最短”得：，则点、、在同一条直线上时，为最小，即为最小，然后由待定系数法求出直线的表达式为，进而得点的坐标为，由此可得点的坐标； （3）当点在轴上时，过点作轴于点，先求出，证明得，则点的坐标为；当点在轴上时，过点作轴于点，同理由得，则点的坐标为；综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于，两点，点的坐标为， ， 解得：， 点，反比例函数的表达式为， 直线与双曲线都关于原点对称， 点、关于原点对称， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， 当线段在轴上运动时，四边形的周长为， 当为最小时，四边形的周长为最小， 作点关于轴的对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，如图所示： ， 线段在轴上移动，且， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 点、、在同一条直线上时，为最小，即为最小， 点，点与点关于轴对称， 点， ， 点， 设直线的表达式为， 将点，代入，得：， 解得：， 直线的表达式为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示： 则， 点， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示： 点， ，， 同理可证明，， ， ， ， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 阅读材料并完成问题． 材料：直线上任意两点，，，线段的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算．例如：直线上两点，，则，，即线段的中点，． 已知抛物线，根据以上材料解答下列问题： （1）若该抛物线经过点，求m的值； （2）在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段的中点为D，若点，求直线的表达式； 以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考： 设直线的表达式为：，，，则有，．得：，两边同除以，得……； （3）该抛物线上两点E，F，直线的表达式为：． ①请说明线段的中点在一条定直线上； ②将①中的定直线绕原点O顺时针旋转得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①见解析②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）设直线的表达式为：，，，首先求出，然后表示出，，然后求出，然后将代入解析式求解即可； （3）①同（2）的方法得到，然后联立抛物线和直线，求出，得到中点的横坐标，进而求解即可； ②先求出旋转后的直线的解析式，分直线与抛物线只有一个交点，和直线与抛物线有2个交点，且其中一个交点为，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵该抛物线经过点， ∴ 解得； 【小问2详解】 设直线的表达式为：，，， ∵线段的中点为D，若点， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴，． 得：， 两边同除以，得， ∴直线的表达式为：， 将代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 ①同（2）可得，对于直线，， ∴ 联立抛物线和直线得， 整理得， ∴ ∴中点横坐标为 ∴线段的中点在一条定直线上； ②设直线与轴的交点为，则， ∴， 设旋转后的直线与轴的交点为，与轴的交点为，则：， ∴， ∴， 将绕点旋转，得到，则点在直线上，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 当时，该抛物线与只有一个交点，分两种情况： ①令，整理，得：， 当方程有两个相等的实数根时，抛物线与只有一个交点，如图： 则：，解得：； ②∵， ∴当时，， ∴直线经过点， 当抛物线也经过点时，如图， 此时抛物线与直线在也只有一个交点， 把代入，得：，解得：， ∴当时，抛物线的开口逐渐增大，直线与抛物线在也只有一个交点，符合题意； 综上：或． 25. 在中，，． （1）如图1，在中，，，F是中点，连接．若，求线段的长； （2）如图2，在中，，，F是中点，连接，求的值； （3）如图3，在中，，，E是中点，F是中点，连接，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，求出，利用勾股定理可得结论； （2）如图2中，以以为边，向右作等边三角形，连接，．取的中点J，连接．，推出，，再证明，设，则，求出，可得结论； （3）如图3中，在上截取线段，使得，连接，．证明，推出，由，推出，推出，推出，再利用（2）中结论求解． 【小问1详解】 解：中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2中，以为边，向右作等边三角形，连接，．取的中点J，连接． ∵，F是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3中，在上截取线段，使得，连接，． ∵，， ∴， ∴E，B，C，D四点共圆， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， 设，，则， ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$