精品解析：浙江省四校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

2024学年第二学期高二年级3月四校联考 数学学科 试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的焦距为6，则为（ ） A 5 B. C. D. 32 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 4. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A. 6 B. 7 C. 15 D. 90 6. 三个非零向量则“共面”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴的椭圆 C. 若，则是焦点在轴的双曲线 D. 若，则是直线 10. 在平行六面体中，已知，，点为平面上的动点，则（ ） A. 四边形为矩形 B. 在上的投影向量为 C. 点到直线距离为 D. 若直线与直线所成的角为，则点的轨迹为双曲线 11. 如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（ ） A. 若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种． B. C. 是偶数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知数列等比数列，，则______． 13. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 14. 已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 16. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列前项和为，求． 17. 如图，已知在四棱锥中，平面，在四边形中，，点在平面内的射影恰好是的重心. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率，且过点，直线与圆相切且与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）过原点作的平行线交椭圆于两点，若，求的最小值． 19. 已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. （1）求证：的图象与轴有两个交点； （2）若是函数关于“数列”，记. ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式； ②记，（），证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高二年级3月四校联考 数学学科 试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程化成斜截式方程，求出斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角. 【详解】由化简得：， 所以直线的斜率为，为倾斜角， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知双曲线的焦距为6，则为（ ） A. 5 B. C. D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的相关概念求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为6， 所以，即，且，， 所以，故， 故选：A 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 4. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】， 故选：B 5. 将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A. 6 B. 7 C. 15 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可. 【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有，两种组合形式， 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可. 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可. 综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球， 不同的装法种数为种. 故选：B. 6. 三个非零向量则“共面”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 7. 2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为，其中是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求对数似然函数的导数，根据函数取得极值的条件来确定最大化时需要求解的方程. 【详解】已知，故.  函数在极值点处的导数为，为了最大化，需要找到的极值点，即令，可得： 将等式两边同时乘以，得到. 此即，即，选项A正确. 故选：A. 8. 已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴的椭圆 C. 若，则是焦点在轴的双曲线 D. 若，则是直线 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆锥曲线的标准方程得到对应的曲线类型. 【详解】由题意曲线， 若,则,为两条平行直线,若，则曲线为，是直线，D错误. 当且时，曲线，即， 当时，即且时，曲线为椭圆，所以A错误； 若，，是焦点在轴的椭圆，B正确； 若，则，是焦点在轴的双曲线，C正确； 故选：BC 10. 在平行六面体中，已知，，点为平面上的动点，则（ ） A. 四边形为矩形 B. 在上的投影向量为 C. 点到直线的距离为 D. 若直线与直线所成的角为，则点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基向量求解出即可判断选项A；利用基向量求出，，然后由投影向量的定义求解即可判断选项B；由基向量求得，然后由空间点到直线的向量求法求解即可；由异面直线所成的角得到或，所以点在以为顶点，或的反向延长线为轴，为母线的圆锥面上，又平面，所以的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，由于平面，点轨迹为双曲线，即可判断选项D. 【详解】对于A，，， 所以 ， 所以，故四边形为矩形，故A正确； 对于B， ， ， 在上的投影向量为.故B正确； 对于C，， ， 所以点到直线的距离为，故C错误； 对于D，因为，所以直线与直线所成的角即为或其补角， ∵直线与直线所成角为，所以或， 所以点在以为顶点，或的反向延长线为轴，为母线的圆锥面上， 又平面，所以的轨迹是平面截圆锥面所得的图形， ∵因为平面，平行于轴的平面截圆锥所得曲线为双曲线， 所以点轨迹为双曲线，故D正确. 故选：ABD. 11. 如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有（ ） A. 若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种． B. C. 是偶数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，分析得到用7步走完了10级台阶完成的方法，由组合数求得总的走法；通过对题意得分析得到，.从而可得写出，然后计算后判断B选项；由数论可知这个数列中连续三项中奇数和偶数的个数，由前三项得到其规律，然后判断C选项中的结论；由得到，由此即可算出结果判断D选项. 【详解】A选项：∵，即要想用7步走完了10级台阶，其中有4次选择一次上一级台阶，3次选择一次上两级台阶，故共有种走法，A选项正确； 根据题意，爬上第个台阶有两种可能， 一种是从第个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式； 一种是从第个台阶上一次上2个台阶爬上来，有种方式， ∴，且， ∴，，，，，，，. B选项：，B选项正确； C选项：由数论可知中存在两个奇数一个偶数，由前三项可知和为奇数，为偶数（），∵，∴是奇数，C选项错误； D选项：∵，∴， 即 ，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知数列为等比数列，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 故答案为：6 13. 阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有___________种（用数字作答）. 【答案】288 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合相邻与不相邻问题，列式计算即得. 【详解】第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间， 然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法. 所以不同的排法种数有：（种）. 故答案为：288 14. 已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由得.设，，求导，分析函数单调性，求两个函数的值域，再根据函数值域的包含关系求的取值范围. 【详解】由得， 设，，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以. 且当时，；当时，， 故的值域为； 设，，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以， 且当时，；当时，， 故的值域为； 依题意，的值域是的值域的子集. 显然，若，则的值域为，不合题意，舍去； 若，则的值域， 则需的值域，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：由得.设，，对任意，都存在，使得就转化成的值域是的值域的子集. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，其中为常数． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的导函数，再结合在点处的切线与直线平行，列出的方程，求解即可 （2）结合（1）得出函数的单调性，再利用单调性解不等式. 【小问1详解】 因为函数，则， 又因为图象在点处的切线与直线平行， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，且恒成立， 所以在上单调递增， 则不等式等价于， 解得. 16. 已知数列满足，且，． （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）将等式两边同加，化简得到前后两项比为定值即可； （2）由（1）写出通项公式，列出后用分组求和以及等比数列的前项和公式即可得到结果. 【小问1详解】 ∵，∴， 由可知，∴， ∴数列是等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，数列首项，公比， ∴， ∴ . 17. 如图，已知在四棱锥中，平面，在四边形中，，点在平面内的射影恰好是的重心. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点，由重心性质易证，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 证明：连接，延长交于点，如图， 为的重心，则为边的中点， 又， 故， 则四边形为平行四边形， 则， 平面平面， 平面 【小问2详解】 解：，则， 又平面， 则两量垂直， 如图建立空间直角坐标系， 则， 为的重心，则， 故， 则， 在平面内的射影恰好是的重心，则平面， ，则， ， 设平面的法向量为， 即令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率，且过点，直线与圆相切且与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）过原点作的平行线交椭圆于两点，若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于，，的方程组，求解出，，即可求解. （2）先根据直线与圆相切得出；再根据直线与椭圆交于两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式得出；最后根据题意分析得出，代入椭圆方程求出，进一步化简变形即可求解出的最小值. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，且过点， 所以，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 由圆可得：圆心，半径. 因为直线与圆相切， 所以，解得. 设，， 联立直线与椭圆的方程，整理得：. 由题意得： ， 则， 所以. 因为， 所以要使取最小值，须最大，此时直线过坐标原点，直线的方程为. 把代入，得：， 所以， 所以 . 将代入上式得： ， 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值. 19. 已知函数定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知. （1）求证：的图象与轴有两个交点； （2）若是函数关于的“数列”，记. ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式； ②记，（），证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析，；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，求得单调区间，进而利根的存在性定理可判断在每个区间上各有一个零点； （2）①根据“数列”的含义，结合等比数列定义，即可证明结论；②，利用累加法可证明结论. 小问1详解】 由题意知，， 当单调递减；当单调递增， 所以， 因为（或者：当时，）， （或者：）， 所以在和上各有一个零点， 即的图象与轴有两个交点. 【小问2详解】 ①， 则在处的切线斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，解得， 所以，所以， 即， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以 ②由， 则. 【点睛】难点点睛：本题考查了导数和数列知识的综合问题，难度较大，解答的难点在于数列不等式的证明，放缩法与累加法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$