精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

2025北京一六一中高一3月月考 数学 2025.3 本试卷共 页，共120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式即可求解 【详解】 故选：B 2. 扇形的半径为10cm，面积为，则扇形的弧所对的圆心角为（ ） A. 2弧度 B. 2π弧度 C. 10弧度 D. 2° 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】， ， 解得（弧度）， 故选：A 3. 已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性判断． 【详解】在和上递增，在上递减，在上递减，在上递增，因此在上都递减． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，角、角的终边关于直线对称，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知，点在角的终边上，由此可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可知，点在角的终边上， 由于角、角的终边关于直线对称，则点在角的终边上， 所以，. 故选：D. 5. 最小正周期为偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性，判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性，从而得出结论． 【详解】A．是最小正周期为的偶函数，符合题意； B．是最小正周期为的奇函数，不符合题意； C．是偶函数，但不是周期函数，不符合题意； D．是最小正周期为的偶函数，不符合题意； 故选：A． 6. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平行移动个单位 B. 向左平行移动个单位 C. 向右平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象平移的性质即可求解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平行移动个单位, 故选：B 7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，若，且，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件解三角不等式即可求解. 【详解】由，得或，, 由，得，， 综上所述，的终边位于第三象限. 故选：C. 8. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项由诱导公式化简，由在一象限，得出判断；B选项由诱导公式化简，由余弦函数在的单调性得出判断；C选项由正切函数在的单调性得出判断；D选项由正余弦函数在的单调性分别判断，与，的大小，然后得出判断. 【详解】A选项：∵，且，∴，∴，A选项错误； B选项：，又∵，∴，B选项正确； C选项：∵，∴，C选项错误； D选项：∵，∴，，且， ∴，D选项错误. 故选：B. 9. 如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（ ） A. 16℃ B. 15℃ C. 14℃ D. 13℃ 【答案】D 【解析】 【分析】由最大值和最小值及中间值求得，由周期求得，再由起点求得（注意图象起点是最低点）．得函数解析式，然后令代入即可得． 【详解】由题意得A＝×(30－10)＝10， b＝×(30＋10)＝20， ∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝， ∴y＝10＋20， 将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10， 即sin＝－1， 由于<φ<π，可得φ＝， ∴y＝10sin＋20，x∈[6，14]. 当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13， 即该天8h的温度大约为13℃， 故选:D. 【点睛】本题考查的应用，解题关键是利用正弦函数的性质求出函数解析式． 10. 设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则=（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质求出，然后求得. 【详解】由题意可知：，即， ∴，∴. 故选：B. 11. 函数图像上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出周期，其次根据，在函数图象上，根据正弦函数的对称性可得，再联立得到值，根据缩小的取值范围，最后代入和求值即可. 【详解】周期， 因为函数图像上存在两点，， 所以， 因为，所以， 故由正弦函数图像的性质可得， 联立，解得，则， 又，所以， 所以 ，故B正确；A错误； ，故C、D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据正弦函数的对称性得到. 12. 对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论． 【详解】解：，故． 又由，可设，， 令，，且 又夹角，所以， 对，进行赋值即可得出 所以． 故选：C． 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上. 13. 设向量a，b的模分别为4和3，夹角为60°，则的值为_______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】由已知及向量数量积的定义可知， . 故答案为：6. 14. 化简： _______ 【答案】1 【解析】 【分析】由诱导公式结合同角三角函数关系直接化简计算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：1. 15. 已知是关于x的一元二次方程的两根，则__________，m＝________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理结合同角公式求解作答. 【详解】因为是关于x的一元二次方程的两根，则，即， 显然，又，即， 于是，解得，而当时，方程的两根为，满足，符合题意， 所以， 故答案为：； 16. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 17. 设函数（A，，是常数，，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由在区间上具有单调性，得函数最小正周期，从而可由得出其一条对称轴方程和一个对称中心，然后可求得周期． 【详解】由于在区间上具有单调性， 则，所以， 由可知函数的一条对称轴为， 又，则有对称中心， 从而． 故答案为：． 三、解答题：本大题共4道小题，共47分．把答案填写在答题卡上相应的位置． 18. 已知函数 （1）求的定义域； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）；（2）2. 【解析】 分析】（1）由，即可求解； （2）先化简，由求得，再用同角三角函数的基本关系结合诱导公式求解即可 【详解】（1）依题意，. 所以有 . 所以函数的定义域为. （2）. 由，得. 又因为， 所以. 所以. 所以. 19. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图像可由的图像平移得到； ③函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 （1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式. （2）求的单调递减区间. （3）求方程在区间上所有解的和. （4），均有，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①③； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）①②互相矛盾，判断②不合题意，然后利用①③得到函数的解析式； （2）求出函数的单调递减区间； （3）利用三角函数方程求出所有的的值，进一步求出它们的和； （4）先求解正弦函数的值域，再把恒成立问题转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 函数满足条件为①③： 理由如下：由题意可知条件①②，函数的最大值为2和函数的最大值为互相矛盾， 故③为函数满足的条件之一． 由③可知：，∴． 故②不合题意． ∴满足条件为①③： 由①知：． ∴； 【小问2详解】 由得， ∴的单调减区间为； 【小问3详解】 由于， ∴， ∴或， 解得：或， 由于， ∴的取值为． ∴方程的所有的解的和为． 【小问4详解】 因为， 所以，所以， 当时，；当时，； 因为，均有， 所以， 所以实数m的取值范围是. 20. 已知函数 （1）当时，求的最大值； （2）若在上有零点，求实数a的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数单调性，即可得到结果； （2）根据题意，将函数零点问题转化为方程有解，然后分离参数，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 令，则，则， 对称轴为，当时，， 则函数在上单调递增，所以， 即的最大值为. 【小问2详解】 令，则， 则在上有零点等价于在上有零点， 令，即， 当时，， 所以，则， 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 21. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质 （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 ，， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025北京一六一中高一3月月考 数学 2025.3 本试卷共 页，共120分．考试时长90分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 扇形的半径为10cm，面积为，则扇形的弧所对的圆心角为（ ） A. 2弧度 B. 2π弧度 C. 10弧度 D. 2° 3. 已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角、角的终边关于直线对称，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A 向左平行移动个单位 B. 向左平行移动个单位 C. 向右平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位 7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，若，且，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下列各式正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（ ） A. 16℃ B. 15℃ C. 14℃ D. 13℃ 10. 设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则=（ ） A. B. 2 C. 0 D. 11. 函数图像上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 对任意两个非零的平面向量，定义，若平面向量满足，的夹角，且和都在集合中，则=（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上. 13. 设向量a，b模分别为4和3，夹角为60°，则的值为_______ 14. 化简： _______ 15. 已知是关于x的一元二次方程的两根，则__________，m＝________. 16. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 17. 设函数（A，，是常数，，）.若在区间上具有单调性，且，则最小正周期是______． 三、解答题：本大题共4道小题，共47分．把答案填写在答题卡上相应的位置． 18. 已知函数 （1）求的定义域； （2）若，且，求的值. 19. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图像可由的图像平移得到； ③函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 （1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式. （2）求的单调递减区间. （3）求方程在区间上所有解的和. （4），均有，求实数m的取值范围. 20. 已知函数 （1）当时，求的最大值； （2）若在上有零点，求实数a的最小值． 21. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$