2025届上海市崇明区高三二模数学试题

2025届崇明二模参考答案 一、填空题 13):2.2+i3.;46:5V29:6 7.7；8.V21;9.310159049;10.(0,2);11.2+22;12.968 二、选择题 13.D:14.A;15.C;16.D. 三、解答题 17. (I)证明：由题意，CB⊥AB,又CB⊥BP,AB∩BP=B,AB,BPC平面ABP, 于是CB⊥平面ABP, 而PAC平面ABP,则CB⊥PA,4分 同理CD⊥PA, 又CB⌒CD=C,CB,CDC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD.7分 (2)由(1)得PA⊥AB, 在Rt△PAB中，点E为PB的中点，AE=√2，同理AF=√2， 在△PBD中，F=号8D=5,因此SAe-)x5x5x5-5 22 在直角aPAB中，Sae=x ×二×2×2=1， 3分 22 由(1)知CB⊥平面ABP,则AD⊥平面ABP, 于是点F到平面APE的距离为乞D=引 设点P到平面AEF的距离为h, 由e=a,得x5xh= ×h 32 3×1x1,解得h=25 所以点P到平面AEF的距离为2N 3 7分 18.(1)存在实数a=6,使得函数y=f(x)是偶函数 由题意，显然a>6,函数y=f(x)的定义域D=(-a,6) 当a≠6时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在x∈D且-x廷D, 因此，函数y=f(x)不是偶函数… 2分 当a=6时，f(x)=log,(x+6)+log:(6-x), 函数y=f(x)的定义域为(-6,6)，对于任意的x∈(-6,6)，都有-x∈(-6,6)， 并且f(-x)=log(-x+6)+log(6+x)=f(x) 因此函数y=f(x)是一个偶函数 综上所述，存在实数a=6,使得函数y=f(x)是偶函数6分 (2)由f(x)≤f(6-x),得log(x+a)+log:(6-x)≤log(6-x+a)+log3x x+a>0, 所以 6-x>0,。,且+oX6-)≤6-x+a)x①4分 6-x+a>0, x>0 由①得，ax≥3a,因为a>-3且a≠0， 所以当-3<a<0时，-0<x≤3，当a>0时，3≤x<68分 19.(1)设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A, 41 连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以P(A)=, 123 4分 (2)4月1日至4日这4天温差分别为9°C、8°C、9C、9°C, 因此好-2-可-。便4月14日的温差为PC, 4-1 则4月11日至14日这4天温差分别为8°C、9°C、8°C、xC, 因此F=x+25 0C, 4 时-8425×2+9+2 5+x-+23]=x3 43 4 4 316 解得x=9,因此，4月11日这天最高气温是18C4分 (3)从3月31日至4月13日，一天温差不超过9°C的共有11天， 0 12 随机变量X的分布列是 3 3355 919191 3 33.5511 随机变量X的期望[X]=0×二+1×二+2× 6分 9191 917 20.(1)设A(x,y)(x,y>0),因为点A在抛物线上，所以点A到抛物线Γ的焦点的距离等于它到抛物线[ 的准线y=-1的距离，所以y+1=3,y=2,所以x=4√2， 故点A的坐标是(2√2,2)4分 ②)设B6,约，则C2-4名4，由题意，4-2b=0,所以6=2,2分 所以B点坐标为(2,1)，直线1的方程为：3x-2y-4=0. .4分 1-4 413 所以原点O到直线1的距离d= 6分 V32+(-2)2 13 (3)设D(,5),由题意，直线1斜率必然存在，设其方程为：y-b=kx-a四 4 代入x2=4y中，得：x2-4a+4ka-4b=0 B2,则玉+5=4k,3=4知=4b3分 _5)=0 因为DA1DB,所以DM-D丽=G-%尊草-低草号 所以x2+(:+x2)x。+x6+16=0 故4ka-4b+4%0+x6+16=0,即4(a+x)k+x6+16-4b=0.6分 [x0=-a 由题意，得 x号=46-16 因此a2=4b-16.8分 21.(1)点P(1,0)具有性质M,,理由如下： 设Q(9,92),因为f(x)=2x, 所以曲线y=f(x)在点9处的切线方程为：y=2gx-9, 将点P10)坐标代入，得：2q-92=0,所以q=0或2 即函数y=f(:)的图像上存在与P不同的一点Q(0,0),使得直线PQ是函数y=∫(x)图像在点Q处的切 线，故点PL,0)具有性质M,… .4分 (2)证明：f(x)=6x2-8x+2 设P7X-1≤y≤，g,29-4g+2q） 函数y=f()的图像在Q处的切线方程为：y=(6q2-8q+2)(x-9)+2q3-4g2+2q① 一时，点P在函数y=了)的图像 将x=y=代入①武，得：49-79+494=0@ 4 令gg-4-7对+-子则g00-<0,g0->0 500 所以关于9的方程②必有实数解x=9,且9≠ 2 故函数y=f()的图像上存在与P不同的一点Q,使得直线PQ是函数y=∫(x)图像在点Q处的切线， 即点（兮，）具有性质M,3分 当y≠二时，点P不在函数y=f(x)的图像上， 将x=代入0试，得：y=-4g+7g-49+1国 令h(g)=-4g3+7g2-4q+1,则h(0)=1,h(2)=-11<-1 所以当-1≤y≤1时，关于q的方程③必有解， 故函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q,使得直线PQ是函数y=f(x)图像在点Q处的切线， 即点P(,(-1≤y≤1，y≠)具有性质M 综上所述，线段x=-1≤y≤)上的所有点均具有性质M…6分 (3)证明：设Q(g,e), 函数y=f(x)的图像在Q处的切线方程为：y=ex-e9·g+e9 必要性：若点P(x,y)具有性质Mr,则点P(x,y)应满足方程y=ex-e.g+e9 令g(x)=e'-y=e-e9x+e9·q-e，则由g'(xr)=e-e9=0,得：x=q 当x<9时，g'(x)<0,当x>q时，g'(x)>0, 故函数y=g(x)在x=g时取得最小值g(9)=0 因为P与Q是不相同的点，所以点P的横坐标x≠9，因此e-y>0 即y<e …4分 充分性：当y<e*时，令h(q)=xe9-9e+e-y=(x-q+l)e-y 对于函数1=h(g),当g趋向+o时，h(q)趋向-o 又h(x)=e-y>0,故关于g的方程h(q)=0必然有解 即存在点Q(g,e)使得直线PQ是函数y=f(x)的图像的切线， 所以点P(x,y)具有性质M 综上所述，“点P(x,)具有性质M…的充要条件是“y<e”8分上海市崇明区2025届高三二模数学试卷 2025.03 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.不等式x-1k2的解为 2.已知复数三=1-2i(1为虚数单位)，则z=_ 3.已知全集U=R,集合A={L,2,4},B={2,4,5},则A∩B= 4.直线x=-2与直线V3x-y+1=0的夹角为 5.已知a=(1,0),b=(2,1),则1a+2b= 715 8 23x9 6.函数y=2Sn(@x-名(0>0)的最小正周期是x, 9 137 则0=」 10046 7.某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下 11 19 125 茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为 “茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 8.在△4BC中，若c=3,C=乃，其面积为√3，则a+b= 9.已知(x+1)10=a+a,(x-1)+a2(x-1)2+…+ao(x-1)°，则a+41+a2+…+ao= 10.已知f(x)= -x2+ax,x≤1 若函数y=f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围 ax-1,x>1 是 山.已知双自线-若-1(6>0)的左、右焦点为R、5,以O为顶有，B为焦应 作抛物线交双曲线于P,且∠PFE2=45°，则b2=_ 12.已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M,bM且a<b<c时， 称M为“间断整数集”，集合{x1≤x≤10，x∈Z乙的所有子集中，是“间断整数集”的个 数为 二.选择题 13.若a>b>0,c>d,则下列结论正确的是（) C.ac2>bc2 a b A.a-b<0 B.ac>bd D. 71 c2+1c2+1 14.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为() A.2π B.3元 C.4元 D. 3 15.抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中 既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件 B是独立的，则n的值为() A.5 B.4 C.3 D.2 16.数列{an}是等差数列，周期数列{b,}满足bn=cos(an),若集合X={xx=bn,n是正 整数}中恰有三个元素，则数列{化}的周期T的取值不可能是() A.4 B.5 C.6 D.7 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP,CD⊥DP, PA=2,点E、F分别为PB、PD的中点. (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求点P到平面AEF的距离. B 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 己知f(x)=l1og3(x+a)+log3(6-x). (1)是否存在实数a,使得函数y=f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在， 请说明理由； (2)若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6-x). 19.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示. 31 04月01日 02 03 04 05 06 大部分晴 阵雨 阵雨 阵雨 多云 间歇性多云 多云 17/9℃ 18/10℃ 19/10℃ 18/9℃ 19/10℃ 20/10℃ 18/9℃ 07 08 09 10 12 13 湾 阵雨 大部分多云 大部分晴 多云 大部分晴 阵雨 阵雨 19/10℃ 19/10℃ 20/8℃ 18/8℃ 18/10℃ 17/8℃ 17/9℃ (1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的 概率； (2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃，温差是指一段时间内最高温度与最 低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃ 记4月1日至4日这4天温差的方差为s2,4月11日至14日这4天温差的方差为s2,若 ,求4月4日天气预报的最 (3)从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9℃的天数， 求X的分布列及期望 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知抛物线T:x2=4y,过点P(a,b)的直线I与抛物线T交于点A、B,与y轴交于点C (1)若点A位于第一象限，且点A到抛物线厂的焦点的距离等于3，求点A的坐标： (2)若点A坐标为(4,4)，且点B恰为线段AC的中点，求原点O到直线1的距离： (3)若抛物线T上存在定点D使得满足题意的点A、B都有DA⊥DB,求a、b满足的 关系式 21.(本题满分18分)本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数y=f(x),P为坐标平面上一点.若函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点 Q,使得直线PQ是函数y=f(x)在点Q处的切线，则称点P具有性质M,· (1)若f(x)=x2,判断点P(1,0)是否具有性质Mr,并说明理由： （2)若/=2r-4+2x,证明：线段x=（-1≤y≤1D上的所有点均具有性质M,: (3)若f(x)=e,，证明：“点P(x,y)具有性质M,”的充要条件是“y<e”.