精品解析：2025届广西壮族自治区柳州市高三三模数学试题

柳州市2025届高三第三次模拟考试 数学 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合间的包含关系求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以实数的取值范围是， 故选:D. 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模. 【详解】由复数对应的向量，则， 所以 故选：A 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以， 故选:A. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 则. 故选：C. 5. 在展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 405 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的项即可. 【详解】在展开式中，的项为， 所以所求的系数为90. 故选：B 6. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】先求无限制条件的方法数，再减去不符合题意的方法数即可求解. 【详解】从6人中任选3人，有种选法， 其中，若全选男生或全选学生，有种选法， 所以符合题意的选法为种. 故选：C 7. 已知双曲线.若直线与没有公共点，则离心率的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求出. 【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点， 故有，即，， 所以，所以 所以的范围为. 故选：C 8. 已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的单调性、不等式的性质及基本不等式比较大小. 【详解】由，得，即，则， 由，得，即，则， ，则， 因此，所以，即. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C. 随机变量，若，，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用独立性检验可判断B选项；利用二项分布的期望和方差公式可判断C选项；利用回归分析可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，这组数据的第百分位数是，A错； 对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值， 可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，B对； 对于C选项，随机变量，若，， 解得，，C错； 对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为， 即，可得，故，，D对. 故选：BD 10. 已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长是2 B. 的最大值是 C. 的面积的最大值为，其中为坐标原点 D. 直线与椭圆相切时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可得、、、，结合长轴长的概念判断A，利用两点求距离公式和二次函数的性质判断B，结合三角形面积公式计算判断C，利用判别式法判断直线与椭圆的位置关系可判断D. 【详解】对于A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A错误； 对于B：由，得，则，，由，得， 所以， 又二次函数的对称轴为， 所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值， 因为，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由题意得，， 所以，即的面积的最大值为，故C正确； 对于D：由，消去y，得， 因为直线与椭圆相切，只有一个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在随的增大而减小，在随的增大而增大 D. 的面积随的增大而减小 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用奇偶函数的性质可得；B.将左右两个式子进行化简即可；C求出两条切线方程，再得点坐标，则可计算是关于的函数，研究其单调性即可；D.利用面积公式求得关于的函数即可判断其增减性. 【详解】A：因为偶函数，为奇函数，则是奇函数，故A正确； B：， ， 故，故B错误； C：设，，则，， ，，， 曲线在点处的切线方程为， 即； 曲线在点处的切线方程为， 即； 则， 则 令，则， 得；得， 则在上单调递减，在上单调递增，故C正确； D：的面积为，故面积随的增大而减小，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 圆被轴截得的弦长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用垂径定理可求弦长. 【详解】由题设可得圆心坐标为，半径为， 故所求弦长为， 故答案为：4 13. 已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角，再结合线面角的定义求解即可. 【详解】如下图所示： 因为、分别在圆锥的底面上，且为该圆锥的一条母线， 所以，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角， 由圆锥的几何性质可知，与底面垂直，且为底面内的一条直线，则， 所以，异面直线与所成角的最小值为，且， 故. 故答案为：. 14. 在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】 如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，的面积为.已知. （1）求； （2）求函数在上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）由三角函数的面积公式和余弦定理可得； （2）由三角恒等变换结合正弦函数的单调性可得. 【小问1详解】 由， 由余弦定理，， 代入即得：，化简得： 因为，所以. 【小问2详解】 ， 由，解得， 又，所以或， 所以单调递增区间为和. 16. 已知函数. （1）若函数在处有极值，求的值； （2）对任意，在上单调递增，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数与函数的单调性和极值的关系求解； （2）利用导函数与函数的单调性最值的关系求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数在处有极值，所以，，得，. 从而，，即. 解得或，若，则，此时，显然单调递增，不存在极值，矛盾. 所以只可能，. 当，时，. 从而对有，这说明此时确实在处取到极小值. 故所求的为. 【小问2详解】 ①若，则当时，对有. 所以在上单调递减. 而，所以不可能在上递增，不满足条件； ②当时，对任意，有，且等号仅在一点成立. 所以单调递增，故一定在上单调递增，满足条件. 综上，的最大值为. 17. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据三角形的边角关系可得，即可结合线面垂直的判定求解， （2）由二面角的平面角和线面角知识结合锐角三角函数即可求解. 【小问1详解】 由于平面平面故 因为，所以底面为直角梯形，故， 过，且与相交于， 则， 又， 故,所以, 由于平面，， 所以平面， 【小问2详解】 由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接, 由于平面平面故， 平面， 故平面，平面，故， 故为二面角的平面角， 所以从而. 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记事件第天去餐厅，则，，，利用概率的乘法公式可得出的值； （2）利用对立事件的概率公式可得出的值，再利用全概率公式可求得的值； （3）利用全概率公式可得出，再利用构造法可求得的通项公式. 【小问1详解】 记事件该同学第天去餐厅，则，，， 由概率乘法公式可得. 【小问2详解】 由对立事件的概率公式可得， 由全概率公式可得. 【小问3详解】 记事件该同学第天去餐厅，则， 由题意可知，，， 由全概率公式可得， 即，则， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，，故. 19. 已知是抛物线焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 【答案】（1） （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程即可； （2）对抛物线 求导，求出过点 的切线方程，从而得，可得，设直线 的方程为 ，求出的表达式，即可比较大小； （3）设直线，直线的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得，，从而可得直线的方程，得出过定点要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，从而求出最大值. 【小问1详解】 已知点 在抛物线 上， 将点 的坐标代入抛物线方程可得： ，即 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ； 【小问2详解】 抛物线 ，则 ， 当 时，切线斜率 ， 由点斜式可得过点 的切线方程为 ，即 ； 令 ，可得 ，所以 ； 由，可得 ， 所以 ， 设直线 的方程为 ， 联立 ，解得： ， ， 由韦达定理得 ， 根据抛物线的焦半径公式， ， 因为 ，所以 ，同理 ， 则 ， 所以 ； 【小问3详解】 由题意知直线 的斜率必存在，故设直线，， 联立 ，解得， 由韦达定理得， 设直线方程为， 代入，有， 由，， 所以，同理可得； 所以直线的斜率 ， 由直线的点斜式可得直线：， 结合，化简得， 所以直线 过定点 ， 要使点 到直线 距离的最大，则只需 ， 从而最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市2025届高三第三次模拟考试 数学 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A B. C. D. 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 在展开式中，的系数为（ ） A. 15 B. 90 C. 270 D. 405 6. 有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 15种 D. 20种 7. 已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组数、、、，这组数的第百分位数是 B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 C. 随机变量，若，，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， 10. 已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长是2 B. 的最大值是 C. 的面积的最大值为，其中为坐标原点 D. 直线与椭圆相切时， 11. 我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（ ） A. 是奇函数 B C. 在随的增大而减小，在随的增大而增大 D. 的面积随的增大而减小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 圆被轴截得的弦长为________． 13. 已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为______. 14. 在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记内角的对边分别为，的面积为.已知. （1）求； （2）求函数在上的单调递增区间. 16. 已知函数. （1）若函数在处有极值，求的值； （2）对任意，在上单调递增，求最大值. 17. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 19. 已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $