广西柳州高级中学2024届高三下学期5月适应性演练数学试卷

1 2024 届柳高高三 5 月适应性演练数学试卷 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“ 0, 2 x       , e 2sin 2x x x  ”的否定是（ ） A．“ 0, 2 x       , e 2sin 2x x x  ” B．“ 0, 2 x       , e 2sin 2x x x  ” C．“ 0, 2 x       , e 2sin 2x x x  ” D．“ 0, 2 x       , e 2sin 2x x x  ” 2.设椭圆的两个焦点分别为 1F、 2F ，过 2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 1 2F PF△ 为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是（ ） A． 2 2 B． 2 1 2  C． 2 1 D． 2 3.若数列 na 满足 1 22 n n na a a   ，其前n项和为 nS ，若 8 0a  ， 16 17 18a a  ，则 17S （ ） A． 0 B．18 C． 18 17 D． 3517 4.已知 、  是两个不同的平面，m、 n是两条不同的直线，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A．若m  ， //n  ，则m n B．若m  ， n  ， //  ，则 //m n C．若 //  ，m  ，则 / /m  D．若m n ，m  ， //n ，则  5.某学校举办运动会，径赛类共设 100 米､200 米､400 米､800 米､1500 米 5 个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､ 三级跳远 4 个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有 且只有一个相同的方法种数等于( ) A.70 B.140 C.252 D.504 6.在平面直角坐标系 xOy中，已知 ( )1,0A ，  0,3B ，动点 P满足OP xOA yOB     ，且 1x y  ，则下列说法正 确的是（ ） A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为 1 C．P点轨迹是一个菱形 D．点 P的轨迹所围成的图形面积为 4 7.已知 π0, 2       ，且 πcos 2cos2 4        ，则 πsin 4       （ ） A． 14 4 B． 7 4  C． 7 4 D． 14 4  2 8.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为 2 3 ，向右移动的概率为 1 3 ． 若该质点每次移动一个单位长度，设经过 5 次移动后，该质点位于 X 的位置，则 ( 0)P X  （ ） A. 50 243 B. 52 243 C. 2 9 D. 17 81 二、选择题:本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了 5 场，得分是 3，4，5，5，8，乙同学参加了 7 场，得 分是 3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ） A. 得分的中位数甲比乙要小 B. 两人的平均数相同 C. 两人得分的极差相同 D. 得分的方差甲比乙小 10. 已知 z1与 z2 是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（ ） A． 221 1z z B． 2 1 2 2z z z C． 1 2z z R  D． 1 2 z R z  11．已知函数  f x ，  g x 的定义域均为 R，且    4g x f x  ，        4f x y f x y g x f y     ，  3 1g   ， 则下列说法正确的有（ ） A．  1 1f  B．  f x 为奇函数 C．  f x 的周期为 6 D．   2026 1 3 k f k    三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知公比为 2 的等比数列 na 满足 2 3 4 1a a a   ，则 1a  ______. 13． 62 ( ) x x y y        的展开式中 2 4x y 的系数为 ． 14．对于任意两个正实数 a，b，定义 aa b b    ，其中常数 2 ,1 2         ．若 0u v  ，且u v 与 v u 都是集 合 | 2 nx x n      Z， 的元素，则u v  ． 3 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 1 4, 2, 2 2AA AB AC BC    ，点D是棱 1AA 上的一点，且 1 3AD DA ，点 E是棱 1CC 的中点． （1）求证：平面 BDE 平面 1ACB ； （2）求直线 1AC与平面BDE所成角的正弦值． 16.（本小题满分 15 分）已知函数    3 21 1 1 3 2 af x x x a x     ． （1）若曲线  y f x 在点   2, 2f 处的切线与直线6 1 0x y   平行，求出这条切线的方程； （2）讨论函数  f x 的单调性． 4 17.（本小题满分 15 分） 记 的内角 的对边分别为 ，若 ，且 的面积为 . (1)求角 ； (2)若 ，求 的最小值. 18.（本小题满分 17 分）已知双曲线 2 2 2 2: 1 x yC a b   （ 0a  ， 0b  ）的左顶点为 ( 2,0)A  ，过点 (4,0)H 的动 直线 l交 C于 P，Q两点（均不与 A重合），当 l与 x轴垂直时， | | 6PQ  . （1）求 C 的方程； （2）若直线 AP和 AQ分别与直线 4x   交于点 M和 N，证明：MH NH   为定值. 19. （本小题满分 17 分）从甲､乙､丙等 5 人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将 球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1) 记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 X ，求 X 的分布列； (2) 若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第 1 次由甲将球传出，记 n次传球后球在甲手中的概率为 , 1,2,3,np n  ， ①直接写出 1 2 3p p p， ， 的值；②求 1np  与 np 的关系式 *( )n N ，并求 np *( )n N . 2024届柳高高三5月适应性演练数学参考答案 e+2sinx>2x”的否定为特称命题 “3#). e*+2sinx<2x” 2. 选C.依题意,设圆的长轴为2a,半焦距为C,则FF=2c,则PF=2c,PFl=2c$ 于是2a=[PF+Pr--2c+2c0 --221-1. a2a22c+2c 3. 选B. 因为数列{a. 满足2a.=a.+a,则数列.为等差数列 设数列{a.的公差为d,则a;+a,=a+&d+a+%=17d=18,可得d= 18 17 所以,=-18. 2. 2 4. 选D.对于A选项,因为n//g,过直线n作平面B,使得a。B=a; 因为nlla,ncB,aoj=a,则nlla,因为mlā,aca,则mla,故mln,A对; 对于B选项,若m1ā,allB,则m1B,又因为n1B,故m//n,B对; 对于C选项,若a//B,mCa,则m//B,C对 对于D选项,若m1n,m1a,n//B,则ā、平行或相交,D错 5.选B;若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目,则有C.三5种选法, 再分别从田赛类项目中各选一个(互不相同)即可,有A=4x3=12种选法,所以选法有 CA-5x12-60. 若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目,则有C.三4种选法 再分别从径赛类项目中各选一个(互不相同)即可,有A:=5x4=20种选法,所以此时满足题意 _ 的选法有CA=4x20-80. 综上所述,甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于60+80=140种 a=x r-a 过#e3,整理得.又 6.选:C.设P点坐标为(a.b),则由已知条件OP=xOA+yOB可得 # 因为x+=1,所以P点坐标对应轨迹方程为3a+b=3 a>0,且b>0时,方程为3a+b=3;a>0,且b<0时,方程为b=3a-3; a<0,且b>0时,方程为b=3a+3;a<0,且b<0时,方程为3a+b=-3. P点对应的轨迹如图所示 k.=k=-3,且AB=BC=CD=DA=V10,所以P点的轨迹为菱形.A错误,C正确; 3 3V10 原点到AB:3a+b-3-0的距离为- 3+110 <1.B错误; 轨迹图形是平行四边形,面积为2xx2x3-6,D错误. 所以cosa+sina=2(cosa-sing)(cosa+sing). #a#). 即 o$()小, (#),以s ()一-#(-)_4 所以P(x→o)-P(=5)#(x3)+P(x=1))}+c()#()#()(#-1 二选择题: r2 9. 选:BCD.对于A,甲的得分中位数是5,乙的得分中位数是5,故A错误: 3+4+5+5+825 对于B,甲的得分平均数是 5 3+3+4+5+5+7+8 -5,故B正确: 对于C,甲的得分极差是8-3-5,乙的得极差是8-3-5,故C正确; 对于D,甲的得分方差是[(3-5)}+(4-5)}+(5-5)}+(5-5)}+(8-5)]-14 10.选:BC设z.=a+bi.z=a-bi.abeR bz0. 则22}=a-b2+2abi, l=^#-(\+){}*+,所以A不正确; 又由22=a^+6},l2{}=a^}+6,所以22={2},所以B正确;$ 由z+2。-2aeR,所以C正确; 由至a+bi(a+bi)} -/不一定是实数,所以D不一定正确. 11. 选:ACD对于A:g(-3)=f(1)=1,故A正确 ·g(x)=f(4+x),g(x-4)=f(x),i.f(x+y)+f(x-y)=f(x)/(y),令y=1, 则/(x+1)+f(x-1)=/f(x)①,f(x+2)+f(x)=f(x+1)② ①+②可得f(x-1)+fx+2)=0,f(x)+fx+3)=0,f(x+3)+f(x+6)=0 .f(x)=f(x+6),因此T=6,故C正确: 令x=0,f(y)+f(-y)=f(o)/(y),令x=1,y=0,2/(1)=f(1)/(0). 则f(0)=2,故x=0,f(y)+f(-y)=2/f(y)→/f(y)=f(-y) 故/(x)为偶函数,所以B不正确; 因为f(x)=f(x+6)=f(-x),故/(x)关于x=3对称,且/f(0)=2,f(1)=1,令x=1,y=1. 则/(2)=-1,令x=2,y=1,f3)=-2,则/(4)=/(2)=-1,f(5)=f$1)=). 三、填空题: 13.【解】二项式(x+v)的展开式通项公式为T=Cx,r<6rEN. 当=4时,T=C$xy$=1$5}y$,当r=5时,T=C$xy$=6 $ 因此展开式中含xy的项为2x15xy+6xy(--24xy,故所求系数为24.答案为:24. 不妨设u⑧v=.“-1. ##”v⑧_ }1.,Z,因为vV>0,所以o)s1. 四、解答题: 1$5.(1)因为直三校柱ABC-A.BC中.AB=AC=2.BC=22.:AB^{}+CA^}=CB}.故$ AB/AC,所以AB,AC,AA.两两垂直 分别以AB,AC,AA的方向为x轴,y轴,2轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, B C AA=4AB=AC-2.BC-2V2 A.D-3DA,点E是校CC的 中点所以AD=3.AD=1.CF=2: 所以B(2.0.0)C(0.2.0).4(0.0.0).4.(0.0.4).D(0.0.1).B.(2.0.4).E(0.2.2) 4 所以BE=(-2.2.2)BD=(-2.0.1)AB=(2.0.4)4C=(0.2.0). [$.BE--2x+2y+2z=0 设平面BDE法向量为i=(x,y,2),则 .BD--2x+ =0 令 =2,则x=1,y=-1,所以平面BDE的法向量n=(1,-12) [.AB=2a+4c=0 设平面ACB.法向量为i=(a,b,c). 则 .AC-2b=0 令c=1,则a=-2.b=0,所以平面ACB.的法向量=(-2.0,1). 由于·in=(1,-1,2)(-2.01)=-2+0+2=0,故1:因此平面BDE1平面A CB; 8分 (2)由(1)知平面BDE的法向量i=(1,-1.2). 设直线A.C与平面BDE所成的角为9,A.C=(0,2.-4) -2-8 则sing=cosAC.nl=-- 30 1+1+4.4+16+0 6 0 所以直线A.C与平面BDE所成角的正弦值为) 3分 16.【解】(1)f'(x)=x2}+ax+a-1,f’(2)=3a+3 2分 3分 5分 f$(x)=(x+a-1)(x+1),令/’(x)=0得x=1-a或x=-1 7分 ①当1-a<-1即a>2时, 令f’(x)>0得x>-1或x<1-a,令f’(x)<0得1-a<x<l 故f(x)在(1-a,-1)单调递减,在(-o,1-a),(-1,+oo)上单调递增; 9分 ②当1-a=-1即a=2时,f’(x)=(x+1){}>0恒成立,故/(x)在R上单调递增;11分 ③当1-a>-1即a<2时, 令f’(x)>0得x>1-a或x<-1,令/’(x)<0得-1<x<1-a; 1 f(x)在(-1,1-a)上单调递减,在(-,-1),(1-a,+)上单调递增; 14分 综上,当a 2时,f(x)在(1-a.-1)单调递减,在-o0.1-a).-1.+o0)上单调递增; 当a=2时,/(x)在R上单调递增 当a<2时,f(x)在(-1,1-a)上单调递减,在(-o,-1).(1-a,+oo)上单调递增 15分 $7. 【详解】(1):(a+b+c)(a+b-c)=3,:3=(a+b){-c2=a2}+b2-c^2+2ab$ 结合余弦定理得3=2abcosC+2ab=2ab(1+cosC) 3分 :ab=201+cs) 6分 8分 9分 .AD-2DB.C-CcA+:CB. 11分 .D2=((CA+cB)}--+:a+gabcosc--2+ga-} 13分 ##6-+{a-2>2-#a--2x-0-} 15分 过14#=1,解得y-, 43 4分 (2)直线/交C于P,O两点(均不与A重合),故直线/的斜率不为0 43 设$(,y),O(x,y),则3m}-40且△=576m}-144(3m^{}-4)>0. 6分 解得来士2# 3 36 8分 3m-4 3- 3m^-4' 10分 $×+2 阅题得文:~4# -2个()2) 则MH·NH 4yy 4yy2 -64+ -=64+ (6+my)(6+my) 36+6m(y+y)+myy$ 144 3m2-4 =64+- -24m -=6 4 -1=6 3$ 36m} 36+6m. 3-4 3-4 #H MH·NH 为定值 17分 19.【解】(1)×可能取值为1.2.3; 1分 CC3 ##$=1)-CC3 ##t 10 #C 4分 。 所以随机变量X的分布列为 6分 _1, , 1 10 (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且n次传球后球在甲手中的概率为D.,n=1.2.3.. 8分 记A.表示事件“经过”次传球后,球在甲手中”, A=A·A+A.A所以 P=P(AA+A.4)=P(AA)+P(AA) =P(4.)#P(4.)+P(4)P(4.)(-P.)(1-P.) 所以.-- 所以.--)--(-) 17分