精品解析： 广东省广州市黄埔区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使汉字沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字； C选项中的图标能找到这样的一条直线，使汉字沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字； 故选C． 2. 若三角形的三边长分别是4、7、，则的取值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键，根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， 的取值可以是4． 故选：D． 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即， 故选：． 4. 如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角板、角的和差、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 根据三角板的特点可知，再根据角的和差可得，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，根据运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的三条角平分线的交点处， 故选：． 7. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：， ， 为公共边， 、由判定，故不符合题意； 、由判定，故不符合题意； 、和，分别是和的对角，不能判定，故符合题意； 、由判定，故不符合题意． 故选：． 8. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 分式恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】解：， 故选C． 9. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 10. 如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图1，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故②错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 13. 若正多边形一个外角等于，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个外角等于， ∴这个正多边形的边数是， 故答案为：． 14. 如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键． 15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，与全等． 【答案】或5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 16. 如图，已知等边的边长为a，中线，点E在上运动，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质得到、；作点A关于直线的对称点M，连接交于N，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 中线， ，， ，， 如图：作点A关于直线的对称点M，连接交于N，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ∵， ， ∴周长的最小值． 【点睛】正确作出辅助线，确定最值出现的条件是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式、平方差公式、整式的加减，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可得； （2）先计算平方差公式，再计算整式的加减即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与三角形高有关的计算，先利用三角形的面积求出，然后利用线段中点的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：，△的面积为20， ， ， ， 点为边上的中点， ． 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后计算分式乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即原式． 20. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：BD=CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，通过SAS证明△DEB≌△DFC，即可得到结论． 【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°． 在△DEB和△DFC中， ∵， ∴△DEB≌△DFC， ∴BD=DC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 21. 如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）等边三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． （1）根据等边三角形性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由，求出，再根据平行线的性质即可解答． 【小问1详解】 解：结论：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ． 22. 已知△为底角为的等腰三角形， （1）尺规作图作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）连接，由题意得．由线段垂直平分线的性质可得，，则，，则，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得．在△中，可得． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：连接， △为底角为的等腰三角形， ． 直线为线段的垂直平分线， ，， ． ， ， ． ， ， ， ． 在中，， ． 23. 2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 【答案】（1）甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元 （2）最少购进甲图书14本 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元，根据用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲图书本，则购买乙图书本，根据购书总费用不超过2860元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲图书每本的价格为元，则乙图书每本的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书每本的价格为50元，乙图书每本的价格为60元； 【小问2详解】 解：设购买甲图书本，则购买乙图书本， 由题意得：， 解得：， 答：最少购进甲图书14本． 24. 【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为2.5； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 25. 在平面直角坐标系内，已知，，且满足． （1）如图1，　　； （2）如图2，点是线段上一点，点在第一象限，连接、、，若交于点．满足，，，，求点到的距离； （3）如图3，若，点，点在射线上运动，连接，以为斜边向下作等腰直角△，当点运动的过程中，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为2 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求得、的值，即可得出答案； （2）过点做于点，根据证明得，再证明即可得出结论； （3）分、在的同侧和异侧两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：． ， ， ，， ， ， ， 故答案为：45； 【小问2详解】 解：过点做于点，如图1， ∵， ∴， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ∵，， ∴， ，， 又∵， ∴，， ∴， ； 【小问3详解】 解：点在左侧时，分别过、点作轴，轴交轴于点，过点作交直线于点， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 设， ∵， ∴平分， ∴点P到坐标轴的距离相等， ∴设，， ， 解得， ∵， ∴， ∴， 点在垂直轴的直线上运动， ， 如图，点在右侧时，作出同上辅助线，如图： 同理可得：， 解得， ∴， 点在垂直轴的直线上运动， ∵点在射线上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的最小值为2． 【点睛】本题考查了坐标与平面，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，垂线段最短，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边长分别是4、7、，则的取值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 7. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为______． 12 因式分解：______． 13. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是__________． 14. 如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为______． 15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，与全等． 16. 如图，已知等边的边长为a，中线，点E在上运动，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ____________________ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：BD=CD． 21. 如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． （1）判断△形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 22. 已知△为底角为的等腰三角形， （1）尺规作图作线段垂直平分线，与交于点，与交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求长． 23. 2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同． （1）求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少； （2）若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？ 24. 【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 25. 在平面直角坐标系内，已知，，且满足． （1）如图1，　　； （2）如图2，点是线段上一点，点在第一象限，连接、、，若交于点．满足，，，，求点到的距离； （3）如图3，若，点，点在射线上运动，连接，以为斜边向下作等腰直角△，当点运动的过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $