精品解析：重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

重庆实验外国语学校2024-2025学年（下） 初2027届第一次定时作业（数学） （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 8. 平面直角坐标系中，若点在x轴上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 9. 如图，已知直线与直线相交于点O，平分，于点O，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，，，按这样的规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在三角形中，平分交于点，过点作交于点，平分交于点，点为线段上一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知为整式，且，其中，，，，…，为自然数，且，令． 例如：当时，，，下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有3个； ②若，，且整式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个； ③若，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每题4分共24分）：将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 的算术平方根是______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，长度为4的线段与x轴平行，则点Q的坐标是______． 15. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简______． 16. 如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形的周长为20，则三角形的周长等于______． 17. 如图，已知长方形纸条，点在边上，点在边上，连接，将纸条沿折叠，使点分别落在，，，处，经过点，若，．则______． 18. 如图，直线，点E，P在直线上．点G，F在直线上，连接，，的平分线与的平分线交于点H，与交于点I，点J，K为平面内的两点，连接，直线与线段交于点M，直线与直线交于点Q，若，，，，则______． 三、解答题（解答每小题都必须写出必要演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，已知于点，，，求证：． （把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：∵， ∴，（______）， ∴． ∵， ∴，（______）． ∴____________（______）． ∴______（______）， ∵， ∴______． ∴____________． ∴． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A，点B，点的横纵坐标都为整数，连接． （1）请直接写出点A，点B的坐标，A：______，B：______； （2）请在所给的平面直角坐标系中描出点，并连接，； （3）平移三角形，使得顶点A平移到点，画出平移后的三角形； （4）直接写出：三角形的面积为______． 24. 如图1，已知直线，直线与交于点E，与交于点N，点F为直线上一点，连接，恰好平分，点G，H分别为直线，上位于右侧的点，连接交线段于点M，． （1）求证：； （2）如图2，过E作交于点I，作的角平分线交于点K，作的角平分线交于点Q，若，求的度数． 25. 阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： （1）如果，其中是整数，且，那么______， ______； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知是有理数，且满足等式，求的值． 26. 阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 27. 如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． （1）求的度数； （2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． （3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校2024-2025学年（下） 初2027届第一次定时作业（数学） （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：是无理数，故选项A符合题意； ，，是有理数，故选项B，C，D不符合题意； 故选：A． 2. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴， ∴， 故选：B 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，从而即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 估计的值在4和5之间， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 4. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根，立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项不符合题意； B． ，故该选项符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． ，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点M到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点M的坐标是， 故选：C 6. 如图，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理对各项进行判断即可． 【详解】A．与不是直线与被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，所以不能判定，故本选项不符合题意； B．，这两个角是直线与被直线所截形成的内错角，能判定，而不能判定，故本选项不符合题意；． C．因为与是对顶角，所以，已知，那么．根据“同旁内角互补，两直线平行”，与是直线与被直线所截形成的同旁内角，所以可以判定，故本选项不符合题意；． D．，这两个角是直线与被直线所截形成的内错角，能判定，不能判定，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的概念和性质，点到直线的距离是解题的关键． 根据平行线的概念和性质，点到直线的距离逐项判断即可． 【详解】解：A． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故该选项符合题意； B． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题错误，是假命题，故该选项不符合题意； C． 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题错误，是假命题，故该选项不符合题意； D． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题错误，是假命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 平面直角坐标系中，若点在x轴上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，求算术平方根，解一元一次方程，熟练掌握轴上的点的纵坐标为是解题的关键． 根据题意得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：点在轴上， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，已知直线与直线相交于点O，平分，于点O，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，对顶角相等，先证明，，再利用角的和差运算求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，，，按这样的规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律探索，由题意得：5个点一循环，，得出是第组的第4个数，然后分别找出横纵坐标规律，即可求解．找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得：5个点一循环，， ∴是第组的第4个数， ∴与的纵坐标相同， 每一组横坐标向前移动3个单位， ∴第404组的最后一个点的横坐标为：， ∴第405组第4个点的横坐标为， ； 故选：D． 11. 如图，在三角形中，平分交于点，过点作交于点，平分交于点，点为线段上一点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故选∶A． 12. 已知为整式，且，其中，，，，…，为自然数，且，令． 例如：当时，，，下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有3个； ②若，，且整式的值为的平方根，则满足条件的非正数的值有5个； ③若，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，平方根、立方根、解不等式以及新定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的加减，平方根、立方根、解不等式以及新定义判断即可． 【详解】解：①当时，， ， 为自然数， 满足条件的的值有个， ∴， 故①正确； ②当，时， ， ，， ， 当时，，当时，， 为非正数， 或， 或， 且为自然数， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 为非正数， 符合条件的非正数有5个，故②正确； ③，，，，，…，为自然数，且， 当时，，此时； 当时，，即， 则或或， 此时或或； 当时，，即， 则，，， 此时， 当时，，即， 当时，，此时不合题意； 满足条件的整式的和为， 故③正确， 综上所述，正确的个数是3个， 故选：D． 二、填空题（每题4分共24分）：将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，长度为4的线段与x轴平行，则点Q的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，先根据点的坐标为，且轴，得出点和点的纵坐标相同，为，再根据，分两种情况当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别求出横坐标即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和点的纵坐标相同，为， ， 当点在点的左边时，横坐标为，此时， 当点在点的右边时，横坐标为，此时， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 15. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴化简代数式，熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值的性质是解题的关键． 根据数轴得到，得出，，继而得到算术平方根，绝对值，立方根进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ，， ． 16. 如图，三角形沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形，四边形的周长为20，则三角形的周长等于______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的基本性质，得出，；然后得四边形的周长，即可得出答案． 【详解】解：∵沿边所在直线向上平移3个单位长度得到三角形， ∴，； 又∵四边形的周长． ∴ ； ∴三角形的周长为14； 故答案为：16． 17. 如图，已知长方形纸条，点在边上，点在边上，连接，将纸条沿折叠，使点分别落在，，，处，经过点，若，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意求出，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 由折叠可知，， 长方形纸条， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，直线，点E，P在直线上．点G，F在直线上，连接，，的平分线与的平分线交于点H，与交于点I，点J，K为平面内的两点，连接，直线与线段交于点M，直线与直线交于点Q，若，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，设，则，求出，设，则，进一步得到，利用外角的定义得到，根据平行线的性质和角平分线的性质得到，进一步得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（解答每小题都必须写出必要演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键。 （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方、乘法、化简绝对值，再计算加减即可。 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 。 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用立方根和平方根求方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键； （1）利用立方根的概念解方程即可； （2）根据平方根的概念解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时， 解得； 当时， 解得． ∴或． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键。 根据整式的加减运算法则化简整式，根据非负数的性质得到，求出，代入化简后的式子计算即可。 【详解】解：原式 ； ， ， ； 原式， 22. 如图，已知于点，，，求证：． （把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理依据） 证明：∵， ∴，（______）， ∴． ∵， ∴，（______）． ∴____________（______）． ∴______（______）， ∵， ∴______． ∴____________． ∴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的估计． 根据题意得到（垂直的定义），得到，（等量代换），可证明（内错角相等，两直线平行），得到（两直线平行，同旁内角互补），即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴，（垂直的定义）， ∴． ∵， ∴，（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． ∴． ∴． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A，点B，点的横纵坐标都为整数，连接． （1）请直接写出点A，点B的坐标，A：______，B：______； （2）请在所给的平面直角坐标系中描出点，并连接，； （3）平移三角形，使得顶点A平移到点，画出平移后的三角形； （4）直接写出：三角形的面积为______． 【答案】（1）， （2）见详解 （3）见详解 （4） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标、图形的平移、格点三角形的面积等； （1）由图写出坐标，即可求解； （2）描出点，连线，即可求解； （3）先向右平移个单位，再向上平移个单位，即可求解； （4）由三角形面积，即可求解； 能根据点的位置写出坐标，并能熟练进行图形的平移是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图得 ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图， 、、为所求作； 【小问3详解】 解：如图， 为所求作； 【小问4详解】 解：由题意得 ． 故答案为：． 24. 如图1，已知直线，直线与交于点E，与交于点N，点F为直线上一点，连接，恰好平分，点G，H分别为直线，上位于右侧的点，连接交线段于点M，． （1）求证：； （2）如图2，过E作交于点I，作的角平分线交于点K，作的角平分线交于点Q，若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）先证明，，可得，再证明，从而可得答案； （2）求解，可得，证明，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 25. 阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： （1）如果，其中是整数，且，那么______， ______； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，，代入计算即可； （3）根据题意得到，，求出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的小数部分为，的整数部分为，， ，， ； 【小问3详解】 解：是有理数，且满足等式， ，， ， ， 或， 当时，； 当，时，， 综上所述，的值为或． 26. 阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 【答案】任务一：；任务二：小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月份各用水吨，吨 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 任务一：根据题意列式计算即可； 任务二：设1月实际用水吨，列方程得，解方程即可； 任务三：设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨，分两种情况讨论：当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：任务一：（元）， 污水处理费为：（元） ∴缴纳水费（元） 故答案为：； 任务二：设1月实际用水吨， 根据题意得：， 解得：， （元）， 小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月实际用水费用为（元） 吨， 8月份用水量超过吨， 设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨， 当时， 根据题意得：， 解得：， ， 舍去， 当时， 根据题意得， 解得：， （吨）， 小实家7，8月份各用水吨，吨． 27. 如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． （1）求的度数； （2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． （3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 【答案】（1） （2）①；不成立， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）证明，结合，证明，可得，再进一步可得答案； （2）①当时，作，分别求出，进而求出关系； ②如图，设与相交于点，，作，同理①分别求出，进而求出关系即可； （3）分四种情况讨论：如图，当于时，如图，当于时，记与于，如图，当于时，如图，当第二次于时，再利用数形结合建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，如图，由题意得， ， ∴，， ， 作， ， ， ， ∵， 由（），得， ∵， ∴， ∴； ②不成立，，理由如下： 如图，设与相交于点，作， 同理①可得，，，， ，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点． ∴，，， ∴， ∵，， 如图，当于时， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当于时，记与于， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当于时， 同理：，， ∴， 解得：， 如图，当第二次于时， 由对顶角相等可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，平行线的性质，一元一次方程的定义，角的动态定义的含义，本题的难度很大，画出图形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $