2.1两条直线的位置关系（第2课时）教学设计2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系（第2课时） 一、学习任务分析 “两条直线的位置关系”共2课时，在第一课时，学生已经了解在同一平面内两条直线的位置关系有平行与相交，理解对顶角、补角、余角的定义及其性质。第二课时主要通过情境设置，从生活中抽取数学研究对象——垂直，两条直线垂直的图形及概念在小学出现过，但本节将这些知识提到了一个新的高度，不仅要求学生能够在已有知识经验的基础上，通过观察、实验、猜测、交流、归纳等方法得出垂线的相关性质，还要进行简单的演绎推理，做好从实验几何到论证几何的过渡，初步养成重论据的思维习惯，发展学生的几何直观与推理能力，培养学生的创新意识和应用意识。因此，本节内容在整个知识体系中起着重要的基础作用。 二、学生起点分析 学生在小学四年级时就已经结合实际情境初步认识了相交线与平行线，知道垂直是相交的特殊情况，也知道了垂直的定义、表示方法以及垂线段最短的结论，并会借助三角尺过一点画已知直线的垂线，对垂直这一现象具备了一些感性认知。在七年级上册中，学生又对角及其分类和计算有了一定的认识，上一节课，学生又学习了对顶角、补角、余角的概念及性质，具备了一定的直观经验，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 上一节课，从身边熟悉的情境出发，学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程，通过直观和大量的操作活动，学生能够积极动手、动口、动脑来进行归纳整理。鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续这一学习过程，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 三、教学目标 1.理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，会借助方格纸画垂线。 2.掌握“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实。 3.认识“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。 四、教学过程设计 本节课共设计六个教学环节：【第一环节】创设情境，感受垂直；【第二环节】思考交流，理解定义；【第三环节】尝试思考，实践操作；【第四环节】尝试交流，探求新知；【第五环节】总结回顾，提升认识；【第六环节】课后作业，巩固练习。 【第一环节】创设情境，感受垂直 1.活动内容 （1）观察下面的图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？ （2）观看几何画板演示，说一说满足什么条件的两条相交线互相垂直。 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。 （3）尝试用符号语言表示以下两条直线的位置关系。 图2-6 图2-7 2.活动目的 数学来源于生活，引导学生从身边熟悉的实例出发，既复习上一节课的知识点——两条直线的位置关系，又能体会到生活中存在大量特殊的相交线——垂直，在观察和比较中发现新知，加深学生对垂直的感性认识，感受垂直“无处不在”，让学生在直观有趣的问题情境中抽象出有价值的数学模型，经历从具体事物中抽象出几何图形的过程，培养学生会用数学的眼光观察现实世界的能力。 借助几何画板的动态演示，加强几何直观教学，加深学生对垂直是特殊的相交线的认识，引导学生在相交线的基础上添加条件，给垂直下定义，培养学生的归纳能力。给出几何图形，发展学生的符号意识，图2-6中两条互相垂直的直线，一条是水平的，另一条是铅直的，对应直线的表示方法为大写字母，图2-7中两条互相垂直的直线，既没有水平的也没有铅直的，对应直线的表示方法为小写字母，突出对垂直概念的理解。 3.实际效果 从本章开始，学生将对图形的性质展开更为系统的学习，不仅要学习图形的相关知识，还要经历从具体事物中抽象出几何图形，系统研究图形的定义、表示、分类、性质、判定及应用。 本环节建议教师放手让学生充分参与。首先出示问题（1）的实例图片，让学生独立寻找、描画、抽象出垂直这一数学模型，引导学生回顾小学知识，说出垂直这一名词。接着出示问题（2）中的几何画板动态演示，让学生观察，尝试给垂直下定义，此时一定要给足学生讨论交流的时间，让学生充分发表他们的见解，教师及时作出恰当的评价，引导学生发现添加一个角为90o的信息足矣，同时让学生再次意识到垂直是相交线的特殊情况。最后出示问题（3），让学生在练习本上写出符号表示，重视学生符号语言的书写，再次强调线段的表示与垂直符号的使用规范。 【第二环节（一）】思考交流，理解定义 1.活动内容 思考·交流 （1）如图2-8，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ （2）如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？ 图2-8 2.活动目的 学生在小学已经对垂直的相关知识有所了解，通过环节一让学生回忆起相关内容，但对于七年级的学生而言，几何知识不能只停留于感性了解的层面，对学生的逻辑推理能力有更高的要求，因此设置环节二，引导学生对垂直定义的双重性有进一步的理解，问题（1）重在体现定义的判定作用，问题（2）重在体现定义的性质作用。通过这两个问题，发展学生的逻辑推理能力，感悟数学的逻辑性与严谨性，培养学生逻辑表达与交流的习惯，发展学生的推理能力，从而促进学生核心素养的发展。 3.实际效果 对于第四学段的学生而言，几何知识的要求上升到一个新的高度，从本章开始逐步开展简单的演绎推理训练。由于七年级学生几何知识学习的经验有限，逻辑推理能力不足，因此，在处理问题（1）时，如学生难以进行论述，可以给出课本中小颖的思考过程，协助学生理解每一步的推理依据，降低学生说理的难度，分梯度地呈现逻辑推理的过程，为学生开辟一条说理的路径。对于问题（2），如果学生说理依旧存在困难，也可采用以上方式。建议老师多给学生互相交流补充的机会，不断提高说理的严谨性。同时教师适时归纳定义的双重作用。 【第二环节（二）】思考交流，理解定义 1.活动内容 回答问题（3）和问题（4）。 （3）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定这两条直线垂直的有 。 ①有一个角为90°； ②有四个角相等； ③有一组对顶角互补； ④有两组角相等。 （4）如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD=2∠AOC，则∠BOD= 。 2.活动目的 问题（3）（4），一方面，进一步巩固学生对垂直定义双重性的理解；另一方面，加强学生的逻辑推理能力和语言表达能力。在解决问题（1）（2）后，学生已经初步感受到了推理的严谨性，调动了推理的热情，因此，再设置两个更高难度的问题，增强学生的挑战欲。 3.实际效果 问题（3）（4）是课堂补充内容，可以根据课堂的实际情况进行选取，如果学生的推理兴致浓厚，建议出示这两个问题，教师在关注答案正确与否的同时，更应该关注学生推理的思维及语言表达的准确性，不急于让学生书写。建议留给学生表达自己思维的机会，同学间进行互相评价，鼓励更多的学生参与到讲解的行列中，逐步培养学生严谨的推理能力。如若学生能力不足，也可去除这两个问题。 【第三环节】尝试思考，实践操作 1.活动内容 尝试·思考 （1）你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！ （2）如果只用直尺，你能画出图2-9方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 2.活动目的 “条条大路通罗马”，相同的问题可以借助不同的工具、不同的方法来解决，让学生的思维得到充分发散，引导学生透过现象看本质。通过折、画活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识。本环节的设置，让学生在经历思考、实践的过程中，加深对“垂直”的理解，感受“做数学”的乐趣，从而享受到成功的喜悦，形成探索新知的内驱力！学生在相互交流探讨中，可以相互点拨，顺其自然地掌握新技能，也为后续性质的探究做好铺垫。对于问题（2），必要时教师给出示范，并利用量角器等工具进行验证，为学生今后探索图形的性质积累活动经验。 3.实际效果 给学生充裕的时间操作和思考，教师应关注学生的画图是否合乎要求，还要及时收集学生一些好的画法进行展示。教师应关注个体差异，关注学习上有困难的学生，帮助他们分析产生困难或错误的原因，提前给予点拨，在集体展示时给这部分学生展示的机会，可以极大地调动这部分学生的学习热情，提高自信心！教师还应注意收集错误信息，进行辨析，将易错点消灭在萌芽中！ 【第四环节（一）】尝试交流，探求新知 1.活动内容 尝试·交流 （1）如图2-10，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流。 图2-10 归纳结论：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.活动目的 首先在学生探究前，教师可引导学生先关注“点和直线的位置关系”，让学生在直观中抽象出“点在直线上和点在直线外”这一数学模型，这是分散难点的有效途径，也为性质的探究渗透分类的思想，让学生在看似“盲目”的探究中发现问题的本质，潜移默化地培养学生研究问题的条理性！然后通过问题，引导学生由直观画图到理性思考，学生的学习兴趣在问题串的激发下逐步高涨，开放的环境让学生拥有了自由发挥的空间，为学生探索新知提供研究的平台和策略。 3.实际效果 教师应关注学生在画图过程中的不良习惯并及时纠正；参与到学生的讨论，及时捕捉好的资源，充分利用多媒体进行展示，注重调动学生的积极性！学生的概括发现不一定很严谨，教师要及时进行补充与提炼，同时注重对“有且只有”的剖析，让学生感受存在性与唯一性语句的描述。本例中还可以将直线设置成既不水平也不铅直的情况，巩固画图的基本技能，使概括更具有一般性。 【第四环节（二）】尝试交流，探求新知 1.活动内容 尝试·交流 如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ 归纳结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。 2.活动目的 比较线段的长短是学生能轻松解决的问题，他们在动手操作中，很容易得出结论，轻而易举地得到这一重要性质。在动手实践操作过程中，关注知识的形成过程，水到渠成地归纳性质，给出点到直线距离的概念。 3.实际效果 教师鼓励学生采用多种方式比较线段长短，关注学生是否掌握“比较线段长短”的方法，引导学生基于已有知识和经验解决问题、发现结论。在小组交流期间，教师还应重点帮扶在理解上有困难的学生，让每位学生都学到有价值的数学。同时教师协助学生梳理垂线、垂线段、点到直线的距离这三个概念的区别与联系。 【第四环节（三）】尝试交流，探求新知 1.活动内容 如图：在三角形ABC中，∠ACB＝90o, （1）点A到直线BC的距离是线段 的长度； （2）点B到直线AC的距离是线段 的长度； （3）三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？ （4）若AC=3，BC=4，AB=5，你能计算出点C到直线AB的距离吗？ 2.活动目的 通过一题多问，使学生思维分层递进，巩固点到直线的距离和垂线段最短性质的应用。问题串的提出，可以满足不同层次学生学习的需要，问题（1）和（2）是为了加深学生对点到直线距离概念的理解，题目简单；对于问题（3），学生很容易得到结果，但对原因的解释有困难，教师引导学生从垂线段的角度进行分析，让学生会用垂线段最短的性质，从而对自身的认知结构进行调整；问题（4）综合考查学生的识图能力、推理能力和运算能力，本题的设置能够很好地锻炼学生的观察、分析、归纳的能力，使数学学习充满趣味性和挑战性。 3.实际效果 教师要充分发散学生的思维，鼓励学生各抒己见，敢于质疑；要渗透合情说理的方法，进一步培养学生的推理能力，可根据课堂实际情况对问题进行取舍。 【第五环节】总结回顾，提升认识 1.活动内容 （1）学生畅所欲言，今天我学到了 知识， 方法，我还有 疑惑。 （2）出示问题：①你是借助什么来判断两条直线垂直的？为什么？②回顾本节研究垂直的内容，你认为今后可以从哪些方面研究平面图形及它们之间的关系？ 2.活动目的 该环节提高学生归纳问题的能力，鼓励学生积极表达自己的观点，使学生学会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系，体会其中蕴含的数学思想，并能对同学间的表现进行评价，体现学生是学习的主人，教师只是一个组织者和引导者。 3.实际效果 教师一定让学生畅谈自己的切身感受，紧扣章首页中的可持续思考问题，仔细聆听学生的所得，教师不仅关注学生在知识上的收获，更要引导学生关注思维方法和学习经验上的收获，并启发学生说出自己的困惑，以便进行适时的点拨和强调，提升学生的质疑能力。 【第六环节】课后作业，巩固练习 1.活动内容 必做题：习题2.1 第7,8题。 选做题：如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两所学校。M （1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校造成一定的噪声影响。当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？在图中标出来。B N A （2）当汽车由A向B行驶时，在哪一段对两个学校影响越来越大？越来越小？ （3）在哪一段对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？（用文字表达） 2.活动目的 以作业的巩固性和发展性为出发点，设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。通过选做题培养学生的应用意识，提升学生解决问题的能力。 3.实际效果 教师对于必做题一定要进行批阅检查，关注学生的说理严谨性，引导学生利用符号语言进行表述；对于选做题采取“赏识教育”，激励更多的学生走向讲台，展示自我，并给予充分的肯定，让学生有探究选做题的主动性。 五、教学反思 本节课围绕着“垂直——垂线——垂线段”展开教学，创设情境时，给出两个问题，从学生身边熟悉的事物中选取学习素材，易于学生接受，让学生感受到生活中处处有数学，同时能够创造性地使用教材。为引入垂直性质，介绍两种画垂线的方法，并在此基础上引导学生进行观察、思考，逐步形成对垂直性质的认识。在教法的设计上遵循直观性原则，在教学资源组织上打破常规、效果明显。本节课使用多媒体技术，鼓励学生动手操作，画垂线、折垂线，放手让学生尝试．开展分组讨论，归纳出垂线的性质。注重对学生自主探究意识的培养。在整个教学过程中，设置大量教学活动，让学生动手动脑，积极参与教学活动。课堂中关注学生核心素养的培养，体现了“数学教学是数学活动的教学”。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$