2.3 从速度的倍数到向量的数乘（3知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.3 从速度的倍数到向量的数乘 课程标准 学习目标 （1）通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义； （2）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． （1）掌握共线（平行）向量基本定理及简单应用； （2）会应用共线（平行）向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题； （3）了解直线的向量表示． 知识点01 向量运算的定义 1、向量数乘的定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足以下条件： 向量 的符号 方向 模 与的方向相同 与的方向相反 向量为，方向任意 2、向量的数乘的几何意义 （1）当时，表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的倍； （2）当时，表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的倍． 3、向量的单位化 在非零向量方向上的单位向量是，它表明一个非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化． 【即学即练1】（24-25高一下·广东广州·月考）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【即学即练2】（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 知识点02 向量数乘的运算律 1、向量数乘的运算律 设为实数，，为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律： （1）； （2）； （3）． 2、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．若一个向量由向量，的线性运算得到，如，则称向量可以用向量，线性表示． 【即学即练3】（23-24高一下·青海西宁·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（23-24高一下·广东广州·月考）（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 知识点03 向量的数乘与向量共线的关系 1、共线（平行）向量基本定理 给定一个非零向量，则对于任意向量，的充要条件是存在唯一一个实数λ，使． 2、直线的向量表示 通常可以用表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量．这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l． 【即学即练5】（23-24高一下·广东江门·期末）（多选）已知两个非零向量，共线，则（     ） A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 【即学即练6】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知为非零不共线向量，向量与共线，则（    ） A． B． C． D．8 难点：三点共线及其推论应用 （1）A，B，C三点共线⇔存在唯一一个实数λ，使＝λ(或＝λ等)． （2）O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得＝＋t. （3）O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，μ， 则＝λ＋μ且λ＋μ＝1. 【示例1】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【示例2】（24-25高一下·湖北·月考）（多选）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【题型1：基于运算律的向量的线性运算】 例1．（23-24高一下·江苏南京·月考）（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）若，则 . 变式1-2．（23-24高一下·湖北孝感·月考）化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 变式1-3．（24-25高一下·福建莆田·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 向量的线性运算可以按照多项式的运算来进行，将向量符号等看作一般字母符号，向量数乘的和、差运算相当于合并同类项． 【题型2：几何图形中向量的运算问题】 例2．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24高一下·广西河池·月考）在中，为边上的点且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用已知向量表示其他向量的两种方法 1、直接法 2、方程法：当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【题型3：向量共线的判断及求参问题】 例3．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式3-2．（23-24高一下·山东泰安·开学考试）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高一下·北京·月考）设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【方法技巧与总结】 1、判断两向量是否共线的方法 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，有时需要把b＝λa用已知的不共线的向量(例如e1，e2)表示出来，化成关于e1，e2的方程φ(λ)e1＋μ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组求λ，若λ存在，则a与b共线，若λ不存在，则a与b不共线． 2、已知向量共线确定参数取值的方法 已知向量共线确定参数的值，一般先利用共线向量基本定理得出a＝λb，再利用对应系数相等这一条件列出方程(组)，解出参数． 【题型4：三点共线的判断及求参问题】 例4．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知空间向量且则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式4-1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，，，则（   ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 变式4-2．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 变式4-3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于 ． 【方法技巧与总结】 证明或判断三点共线的方法 1、一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 2、利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1． 【题型5：向量共线在三角形中的应用】 例5．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 变式5-1．（23-24高一下·山东聊城·期末）P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 变式5-2．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）在平行四边形中，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北·月考）在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 4．（23-24高一下·四川成都·期中）对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 5．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简： . 6．（24-25高一下·天津·月考）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 7．（23-24高一下·河南周口·月考）（多选）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 8．（23-24高一下·河南周口·月考）如图，在梯形中，，，，为的中点，. (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 9．（23-24高一下·福建泉州·期中）（）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·四川广安·期中）（多选）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河北·月考）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 从速度的倍数到向量的数乘 课程标准 学习目标 （1）通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义； （2）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． （1）掌握共线（平行）向量基本定理及简单应用； （2）会应用共线（平行）向量基本定理证明两直线平行及三点共线问题； （3）了解直线的向量表示． 知识点01 向量运算的定义 1、向量数乘的定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，满足以下条件： 向量 的符号 方向 模 与的方向相同 与的方向相反 向量为，方向任意 2、向量的数乘的几何意义 （1）当时，表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的倍； （2）当时，表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的倍． 3、向量的单位化 在非零向量方向上的单位向量是，它表明一个非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化． 【即学即练1】（24-25高一下·广东广州·月考）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【解析】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误．故选：ABD. 【即学即练2】（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】A 【解析】因为，且与向量方向相同，所以为方向上的单位向量.故选：A 知识点02 向量数乘的运算律 1、向量数乘的运算律 设为实数，，为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律： （1）； （2）； （3）． 2、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．若一个向量由向量，的线性运算得到，如，则称向量可以用向量，线性表示． 【即学即练3】（23-24高一下·青海西宁·月考）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【即学即练4】（23-24高一下·广东广州·月考）（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【答案】AB 【解析】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误； 对于D，若，由，未必一定有，错误．故选：AB． 知识点03 向量的数乘与向量共线的关系 1、共线（平行）向量基本定理 给定一个非零向量，则对于任意向量，的充要条件是存在唯一一个实数λ，使． 2、直线的向量表示 通常可以用表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量．这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l． 【即学即练5】（23-24高一下·广东江门·期末）（多选）已知两个非零向量，共线，则（     ） A．，或 B．与方向相同或相反 C．与平行 D．存在实数，使得 【答案】BCD 【解析】有共线向量的定义可知，共线向量是方向相同或相反的向量， 模长不一定需要相等，故A错误，B正确， 共线向量又叫平行向量，故C正确；由向量共线定理可得，存在唯一实数， 使得成立，故D正确；故选：BCD. 【即学即练6】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知为非零不共线向量，向量与共线，则（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】设， 故，解得.故选：C 难点：三点共线及其推论应用 （1）A，B，C三点共线⇔存在唯一一个实数λ，使＝λ(或＝λ等)． （2）O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得＝＋t. （3）O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，μ， 则＝λ＋μ且λ＋μ＝1. 【示例1】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】根据题意，， 所以 又，所以 因为三点共线，所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1.故选：B. 【示例2】（24-25高一下·湖北·月考）（多选）如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【答案】BC 【解析】对于A，，因为三点共线，故，故A错误； 对于B，，故，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，故， 所以，故C正确； 对于D，， 当且仅当即时，等号成立，故D错误.故选：BC 【题型1：基于运算律的向量的线性运算】 例1．（23-24高一下·江苏南京·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量运算公式可知，.故选：D. 变式1-1．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）若，则 . 【答案】 【解析】由，得 即 变式1-2．（23-24高一下·湖北孝感·月考）化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【解析】（1） （2）， （3）， （4）. 变式1-3．（24-25高一下·福建莆田·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【方法技巧与总结】 向量的线性运算可以按照多项式的运算来进行，将向量符号等看作一般字母符号，向量数乘的和、差运算相当于合并同类项． 【题型2：几何图形中向量的运算问题】 例2．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 变式2-1．（23-24高一下·广西河池·月考）在中，为边上的点且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得，所以.故选：B. 变式2-2．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， .故选：D 变式2-3．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做 因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且， 所以为等腰直角三角形. 可得, 所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形， 又，所以分别是中点， 所以．故选：C 【方法技巧与总结】 用已知向量表示其他向量的两种方法 1、直接法 2、方程法：当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【题型3：向量共线的判断及求参问题】 例3．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，，所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系，故选：B． 变式3-1．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解析】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解，所以与不共线.故选：BC. 变式3-2．（23-24高一下·山东泰安·开学考试）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得存在实数满足， 即，又，不共线， 可得，解得.故选：D 变式3-3．（24-25高一下·北京·月考）设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【答案】 【解析】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，， 则， 所以，解得或（舍去），故. 【方法技巧与总结】 1、判断两向量是否共线的方法 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．解题过程中，有时需要把b＝λa用已知的不共线的向量(例如e1，e2)表示出来，化成关于e1，e2的方程φ(λ)e1＋μ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程组求λ，若λ存在，则a与b共线，若λ不存在，则a与b不共线． 2、已知向量共线确定参数取值的方法 已知向量共线确定参数的值，一般先利用共线向量基本定理得出a＝λb，再利用对应系数相等这一条件列出方程(组)，解出参数． 【题型4：三点共线的判断及求参问题】 例4．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知空间向量且则一定共线的三点是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ,即 ,无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误．故选：A 变式4-1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，，，则（   ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 【答案】A 【解析】，，， ，，与共线， 因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确． 由，，可得， 所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确； 由，，可得， 所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确； 因为，， 所以， 又，可得， 所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；故选：A. 变式4-2．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 【答案】3 【解析】由题意知，三点共线，故，且共线， 故不妨设，则， 所以，解得. 变式4-3．（24-25高一下·山东菏泽·月考）设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数k的值等于 ． 【答案】 【解析】因三点共线，故． ，，． 【方法技巧与总结】 证明或判断三点共线的方法 1、一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． 2、利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1． 【题型5：向量共线在三角形中的应用】 例5．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解析】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形.故选：C. 变式5-1．（23-24高一下·山东聊城·期末）P是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为，则， 即点为的一个三等分点（靠近点A）， 所以的面积为.故选：B. 变式5-2．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线，则. 方法2：由奔驰定理，，故.故选B： 变式5-3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【解析】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确.故选：ACD 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）在平行四边形中，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 2．（24-25高一下·河北·月考）在中，已知，点在线段上，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】当时，三点共线，与题意矛盾，所以， 因为，所以， 则， 因为三点共线，所以，解得.故选：C. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【解析】因表示与同方向的单位向量，故由可得，且， 对于A，由，因，得不到，故A错误； 对于B，当时，若与方向相反，则得不到，故B错误； 对于C，当时，满足，且，故可得出，即C正确； 对于D，当且时，若与是一对相反向量，则得不到，即D错误.故选：C. 4．（23-24高一下·四川成都·期中）对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（    ） A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量 C．存在一个实数，使 D．存在不全为零的实数，，使 【答案】D 【解析】由，可得与方向相同或者相反，或者与中至少一个为零向量，故A、B错误； 当，时满足，但是不存在实数，使，故C错误； 当时，由，可得，令，则，即， 当时，由，可得（存在），故D正确．故选：D． 5．（23-24高一下·广东惠州·开学考试）化简： . 【答案】 【解析】. 6．（24-25高一下·天津·月考）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.故选：B 7．（23-24高一下·河南周口·月考）（多选）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】AD 【解析】对于A，线段上，为线段的三等分点，满足，且， 但四点不能构成平行四边形，A错误； 对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确； 对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量， 所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合， 所以点一定在角A的平分线所在直线上，C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，D错误.故选：AD 8．（23-24高一下·河南周口·月考）如图，在梯形中，，，，为的中点，. (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处；(2) 【解析】（1）过作交于，如图， 因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 9．（23-24高一下·福建泉州·期中）（）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：AD 10．（23-24高一下·四川广安·期中）（多选）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知: 所以，根据平行线分线段成比例可知：， 又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确； 对于B，由于是重心，所以， 而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确； 对于C，因为是外心，所以，故C正确； 对于D，由向量的加法可知：， 故D错误；故选：ABC. 11．（24-25高一下·河北·月考）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对.故选：ABD. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$