精品解析：福建省莆田市荔城区2024-2025学年九年级上学期期末质量检测数学试卷

2024—2025学年荔城区九年级上学期期末质量检测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置，可直接用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔画图． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，故B正确； C．不是中心对称图形，故C错误； D．不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 在下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6 D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾，是必然事件，故该选项不符合题意； B. 任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故该选项不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6，是随机事件，故该选项符合题意； D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选C． 3. 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据有两个视图是长方形，一个视图是圆，可知该几何体是圆柱． 【详解】解：主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，则该几何体是一个圆柱， 故选：C． 4. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角， ∴． 故选：C． 5. 已知四边形与四边形位似，点O为位似中心，若，且四边形的周长为3，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题关键．根据位似的性质得到四边形与四边形的相似比为，然后根据相似比等于周长比求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，点O为位似中心，， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为3， ∴四边形的周长为9． 故选：B． 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数中当时，反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小是解题的关键．根据反比例函数的增减性，以及经过的象限即可判断结果． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：A． 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用，等腰三角形的性质，掌握边角之间的转化是解题的关键．先得到，继而由即可求解． 【详解】解：由题意得，而D为底边中点， ∴， ∵在中，，，， ∴米， 故选：B． 8. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，延长交于点，则，，由题意得，则，于是可得，即，由此即可求出，进而可得小孔O到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 由题意得：， ， ， ， ， ， 即：， ， 即小孔O到的距离为， 故选：． 9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 【答案】A 【解析】 【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】解：由题意得：x（x-12）=864， 故选： A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键． 10. 定义：如果抛物线（a、b、c是常数，且）满足，那么称该抛物线为“黄金抛物线”．在平面直角坐标系中，已知黄金抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线还是黄金抛物线，则b的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解黄金抛物线的定义是解题关键．先根据黄金抛物线的定义可得，再根据二次函数图象的平移可得向左平移1个单位长度得到的抛物线为，根据黄金抛物线的定义可得，联立求解即可得． 【详解】解：∵抛物线是黄金抛物线， ∴①， 将黄金抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为，即为， ∵得到的抛物线是黄金抛物线， ∴， ∴，即②， 将①代入②得：，即， 解得， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，在中考中经常出现，需要掌握特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】解：， ， 故答案为：1． 12. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 由垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据即可求出弦的长． 【详解】解：∵是半径，是的弦，且于点， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 故答案为：16． 14. 如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而______(填“变大”、“变小”或“不变”). 【答案】变小 【解析】 【分析】根据投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，即可得到答案． 【详解】解：投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，设为AD． 当人离墙的距离变小时候（即往右边移动），易知其AD与AB的夹角会变小，AD长度变小，根据勾股定理易知，斜边变小，其中一条直角边固定不变，则另一条直角边肯定会长度变小． 故答案为：变小． 【点睛】本题主要考查勾股定理，中心投影．应注意数形结合思想方法的应用． 15. 如图，在平面直角坐标系中，B为第一象限内一点，连接，在线段上取点C，使得，过点C作x轴的平行线与过点B所作y轴的平行线交于点A．若反比例函数的图象经过点A，已知的面积为9，则反比例函数的解析式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，设点的坐标为，得到，，然后根据得到，然后利用得到关于的方程解题即可． 【详解】解：过点作轴于点，设点的坐标为， ， ∵轴，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点， ，， ， ， ， ， 解得：， 则反比例函数的解析式为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作交于点，交于点，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是矩形，得出，根据角平分线和平行线性质得出，是等腰直角三角形，即可得，根据三角形是等腰直角三角形，得出，证明，从而得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ． 18. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，由于光是沿直线传播的，所以，进而可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解，解答此题的关键是根据光是沿直线传播的性质得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：窗口底边离地面的高的长为． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【小问1详解】 证明： ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解： 又 ． 20. 如图，中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点D在边上，连接． （1）若，则_____________度； （2）求证：． 【答案】（1）65； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质即可求解； （2）利用旋转的性质和三角形内角和定理即可证明． 【小问1详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：由旋转得，， ， 由旋转得，， ， ． ， ， ． 21. 一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，他们除颜色外，其他都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回不断重复实验，将多次实验结果画出如下频率统计图． （1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01），从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是 ； （2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率． 【答案】（1）0.75，0.25；（2） 【解析】 【分析】（1）根据统计图可知当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，则摸到红球的频率将会接近0.25； （2）列表展示出所有的可能性的结果，然后得到∴摸到一个红球一个白球的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）根据统计图可知当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，则摸到红球的频率将会接近0.25， 故答案为：0.75，0.25； （2）∵箱子一个有4个球，摸到白球的频率为0.75， ∴白球数量=4×0.75=3， ∴红球的数量为1 列表如下： 白 白 白 红 白 白白 白白 白红 白 白白 白白 白红 白 白白 白白 白红 红 红白 红白 红白 如表所示，一共有12种可能性的结果，摸到一个红球一个白球的结果数为6种， ∴摸到一个红球一个白球的概率． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，用频率求数量，列表法或树状图法求概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 22. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，熟练掌握相关知识点并灵活运用． （1）根据得，根据角平分线的定义得出，则，推出，进而得出，即可求证是的切线； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，则，进而证明得出，再代入已知数据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 则， ， 是的平分线， ， ， ， ， 点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， （负值舍去） 23. 抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点Q的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴点Q的横坐标为或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， 点Q的横坐标为或； 综上：点Q的横坐标为或或或． 24. “巳巳如意，生生不息”，我们迎来了农历乙已蛇年．为了丰富同学们的寒假生活，在寒假期间，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 【问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容： 探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形，移开硬纸板． 是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为3，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形．粗心的小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即连接，，作，的垂直平分线即可； （2）连接，可知是等边三角形，求得，结合切线的性质可知旋转角为，则点的路径为以圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长，利用弧长公式即可求解； （3）连接，分别交，于，，令，交于点，结合旋转可知点以为圆心，3为半径的圆上，则，即点，，在同一个圆中，再根据重叠部分的面积为即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点为半径的中点，则 ∴，则， ∵与相切于点C， ∴，即旋转角为， 则点的路径为以圆心，为半径，圆心角的扇形的弧长， ∴点的路径长为； （3）连接，分别交，于，，令，交于点， ∵点为的中点， ∴，则， 由旋转可知，，，，，，则为等边三角形， ∴，， ∴，则点以为圆心，3为半径的圆上，则，即点，，在同一个圆中， ∴，， ∴，则， ，则， ∴重叠部分的面积为 ． 【点睛】本题考查尺规作图作垂线，旋转的性质，切线的性质，弧长公式，不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线将不规则图形分割成常见图形进行求解是解决问题的关键． 25. 已知正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点E从点A开始以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒．连接，把沿直线对折后，点A落在点F处． （1）如图1，若点F刚好落在对角线上，求的长； （2）如图2，正方形的对角线与相交于点O，连接并延长，交线段于点与交于点M．当时，求证：． （3）如图3，点H是线段上的一点，且，连接．在点E从点A运动到点B的过程中，当t为何值时，最小？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）当时，最小 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质可得出，，在中，根据正弦的定义得出，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质可求出，结合正方形的性质可得出M为的中点，根据折叠的性质可得出点N为的中点，然后根据三角形的中位线定理即可得证； （3）取得中点G，连接，根据证明，得出，则要使最小，只要使最小，故当B、F、G三点共线时，有最小值，过点F作交于点P，交于点Q，则，设，根据正切可求出，在中，根据勾股定理得出，解方程，可求出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，然后根据折叠的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在正方形中， ，， 由折叠可知， 在中，， 即， （经检验，符合题意）； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点N， ，， 又 为的中点 由折叠可知，点N为中点， 是中位线， 即． 【小问3详解】 解：取的中点G，连接 ， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 要使最小，只要使最小， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值， 过点F作交于点P，交于点Q， 则， 设， ， ， 在中，， 即， 解得或（舍）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：当时，最小． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年荔城区九年级上学期期末质量检测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置，可直接用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔画图． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，属于随机事件是（ ） A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6 D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 3. 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 4. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形与四边形位似，点O为位似中心，若，且四边形的周长为3，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 10. 定义：如果抛物线（a、b、c是常数，且）满足，那么称该抛物线为“黄金抛物线”．在平面直角坐标系中，已知黄金抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线还是黄金抛物线，则b的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _____________． 12. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是__________． 13. 如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是_____________． 14. 如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而______(填“变大”、“变小”或“不变”). 15. 如图，在平面直角坐标系中，B为第一象限内一点，连接，在线段上取点C，使得，过点C作x轴的平行线与过点B所作y轴的平行线交于点A．若反比例函数的图象经过点A，已知的面积为9，则反比例函数的解析式为_____________． 16. 如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为_____________ 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 解方程：． 18. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高的长． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 20. 如图，中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点D在边上，连接． （1）若，则_____________度； （2）求证：． 21. 一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，他们除颜色外，其他都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回不断重复实验，将多次实验结果画出如下频率统计图． （1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01），从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是 ； （2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率． 22. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 24. “巳巳如意，生生不息”，我们迎来了农历乙已蛇年．为了丰富同学们的寒假生活，在寒假期间，某校数学兴趣小组的成员开展了“玩‘转’数学，乐享数学”的主题活动．请你参与他们的活动，共享他们的成果． 问题背景】 兴趣小组的成员首先回顾人教版教材九年级上册第60页“探究”部分的内容： 探究 如图，在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出这个挖掉的三角形图案，然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形，移开硬纸板． 是由绕点O旋转得到的． 接着，兴趣小组的成员将三角形替换为半径为3，圆心角的扇形，继续探索旋转的奥妙． 【问题探索】 （1）如图1，将扇形绕着点O旋转得到扇形．粗心小明忘记标记点O的位置，请你帮他找出旋转中心点O的位置并在图中标注出来；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，将扇形绕着点C顺时针旋转得到扇形，若与相切于点C，点M为半径的中点，求点M经过的路径长； 【问题拓展】 （3）如图3，将扇形绕着的中点N逆时针旋转得到扇形，请直接写出两个扇形重叠部分的面积． 25. 已知正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点E从点A开始以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒．连接，把沿直线对折后，点A落在点F处． （1）如图1，若点F刚好落在对角线上，求的长； （2）如图2，正方形的对角线与相交于点O，连接并延长，交线段于点与交于点M．当时，求证：． （3）如图3，点H是线段上的一点，且，连接．在点E从点A运动到点B的过程中，当t为何值时，最小？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$