专题03：长方体和正方体（复习讲义）（解析版+学生版）-2024-2025学年五年级数学下册期中复习讲练测（人教版）

【复习讲义】2024-2025学年五年级数学下册期中复习讲练测（人教版） 专题03：长方体和正方体 （考点梳理+知识清单+真题精讲精练） 【考点1】长方体的认识及特征 【考点2】长方体有关棱长的应用 【考点3】长方体的展开图 【考点4】正方体的认识及特征 【考点5】正方体有关棱长的应用 【考点6】正方体的展开图 【考点7】长方体的表面积 【考点8】正方体的表面积 【考点9】体积和体积单位 【考点10】长方体的体积 【考点11】正方体的体积 【考点12】体积单位间的进率与换算 【考点13】容积和容积单位 【考点14】容积、体积单位间的进率与换算 【考点15】组合体的表面积和体积 【考点16】“排水法”求不规则物体体积 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1、长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2、正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3、长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4、体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 考点1：长方体的认识及特征 【例1】（23-24五年级下·河南南阳·期中）一个长方体有两条相邻的棱长度相等，这个长方体中最多有（    ）个面完全相同。 A．2 B．3 C．4 D．6 考点2：长方体有关棱长的应用 【例2】（23-24五年级下·广东潮州·期中）做一个长方体框架，底面是边长为6厘米的正方形，高是4厘米的长方体，至少需要（    ）厘米长的铁丝。 A．43 B．56 C．64 D．120 考点3：长方体的展开图 【例3】（23-24五年级下·江西上饶·期中）下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm，棱长总和是（ ）cm。 考点4：正方体的认识及特征 【例4】（23-24五年级下·河北邢台·期中）正方体有（ ）个面且所有的面完全相同，它有（ ）条棱，所有棱的长度都相等。 考点5：正方体有关棱长的应用 【例5】（23-24五年级下·河北唐山·期中）一根铁丝可以扎成长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，如果用它扎成一个正方体，那么正方体的棱长是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．8 考点6：正方体的展开图 【例6】（23-24五年级下·江西九江·期中）下面展开图中，（    ）沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 考点7：长方体的表面积 【例7】（23-24五年级下·福建莆田·期中）王师傅用铁丝制作一个孔明灯框架，它的底面是正方形且周长是80厘米，高是25厘米，要把它的表面糊上彩色纸（底面不糊纸）。王师傅至少要买多少平方分米的彩色纸？ 考点8：正方体的表面积 【例8】（23-24五年级下·吉林四平·期中）做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 考点9：体积和体积单位 【例9】（23-24五年级下·广东河源·期中）一个柜式空调的体积是200（    ）。 A．立方米 B．立方分米 C．立方厘米 考点10：长方体的体积 【例10】（23-24五年级下·河北唐山·期中）聪聪做了一个长方体纸盒，底面是一个周长为20cm的长方形，高为10cm，如果长和宽的厘米数是不同的质数，那么这个长方体的体积是（ ）cm3。 考点11：正方体的体积 【例11】（23-24五年级下·广东阳江·期中）从一个长是10dm、宽是7dm、高是5dm的长方体木块上锯下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）dm3。 A．125 B．255 C．480 D．512 考点12：体积单位间的进率与换算 【例12】（23-24五年级下·四川凉山·期末）把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 考点13：容积和容积单位 【例13】（23-24五年级下·河北唐山·期中）在括号里填上适当的单位名称。 （1）一袋牛奶大约有250（ ）。 （2）一桶矿泉水的容积是18.9（ ）。 （3）集装箱的体积约是30（ ）。 考点14：容积、体积单位间的进率与换算 【例14】（23-24五年级下·河北张家口·期中） 1600cm3＝（ ）dm3 600mL＝（ ）L 35dm3＝（ ）L＝（ ）mL 考点15：组合体的表面积和体积 【例15】（23-24五年级下·河北张家口·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 考点16：“排水法”求不规则物体体积 【例16】（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【复习讲义】2024-2025学年五年级数学下册期中复习讲练测（人教版） 专题03：长方体和正方体 （考点梳理+知识清单+真题精讲精练） 【考点1】长方体的认识及特征 【考点2】长方体有关棱长的应用 【考点3】长方体的展开图 【考点4】正方体的认识及特征 【考点5】正方体有关棱长的应用 【考点6】正方体的展开图 【考点7】长方体的表面积 【考点8】正方体的表面积 【考点9】体积和体积单位 【考点10】长方体的体积 【考点11】正方体的体积 【考点12】体积单位间的进率与换算 【考点13】容积和容积单位 【考点14】容积、体积单位间的进率与换算 【考点15】组合体的表面积和体积 【考点16】“排水法”求不规则物体体积 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1、长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2、正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3、长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4、体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系 1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 考点1：长方体的认识及特征 【例1】（23-24五年级下·河南南阳·期中）一个长方体有两条相邻的棱长度相等，这个长方体中最多有（    ）个面完全相同。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等；据此解答。 【详解】由分析可得：一个长方体有两条相邻的棱长度相等，这个长方体中最多有4个面完全相同。 故答案为：C 考点2：长方体有关棱长的应用 【例2】（23-24五年级下·广东潮州·期中）做一个长方体框架，底面是边长为6厘米的正方形，高是4厘米的长方体，至少需要（    ）厘米长的铁丝。 A．43 B．56 C．64 D．120 【答案】C 【分析】已知底面是边长为6厘米的正方形，则长方体的长和宽都是6厘米，求铁丝长度就是求长方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【详解】（6＋6＋4）×4 ＝16×4 ＝64（厘米） 至少需要64厘米长的铁丝。 故答案为：C 考点3：长方体的展开图 【例3】（23-24五年级下·江西上饶·期中）下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，高是（ ）cm，棱长总和是（ ）cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是8cm，宽是（9－2－2）cm，高是2cm，再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】长是8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，棱长总和是60cm。 考点4：正方体的认识及特征 【例4】（23-24五年级下·河北邢台·期中）正方体有（ ）个面且所有的面完全相同，它有（ ）条棱，所有棱的长度都相等。 【答案】 6 12 【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面都是正方形，且面积相等，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答即可。 【详解】正方体有6个面且所有的面完全相同，它有12条棱，所有棱的长度都相等。 考点5：正方体有关棱长的应用 【例5】（23-24五年级下·河北唐山·期中）一根铁丝可以扎成长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，如果用它扎成一个正方体，那么正方体的棱长是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．8 【答案】B 【分析】长方体的棱长和＝长×4＋宽×4＋高×4，正方体的棱长和＝棱长×12，长方体的棱长和＝正方体的棱长和，所以正方体的棱长＝长方体的棱长和÷12。 【详解】（5×4＋4×4＋3×4）÷12 ＝（20＋16＋12）÷12 ＝（36＋12）÷12 ＝48÷12 ＝4（厘米） 所以正方体的棱长是4厘米。 故答案为：B 考点6：正方体的展开图 【例6】（23-24五年级下·江西九江·期中）下面展开图中，（    ）沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个；“1－3－2”型，即第一行有1个，第二行有3个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【详解】 A．属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方体； B．不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C．属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体；     D．属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 考点7：长方体的表面积 【例7】（23-24五年级下·福建莆田·期中）王师傅用铁丝制作一个孔明灯框架，它的底面是正方形且周长是80厘米，高是25厘米，要把它的表面糊上彩色纸（底面不糊纸）。王师傅至少要买多少平方分米的彩色纸？ 【答案】24平方分米 【分析】已知底面的周长是80厘米，底面是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，因此边长为：80÷4＝20厘米。这个长方体的框架，前后左右面4个面是形状大小相等的长方形，因此彩色纸的面积＝前后左右面＋上面＝边长×高×4＋边长×边长，据此代入数据计算，即可求出彩色纸的面积。再根据1平方分米＝100平方厘米，将结果换算成平方分米。 【详解】80÷4＝20（厘米） 20×25×4＋20×20 ＝2000＋400 ＝2400（平方厘米） 2400平方厘米＝24平方分米 答：王师傅至少要买24平方分米的彩色纸。 考点8：正方体的表面积 【例8】（23-24五年级下·吉林四平·期中）做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 【答案】1.25平方米 【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。 【详解】0.5×0.5×5 ＝0.25×5 ＝1.25（平方米） 答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。 考点9：体积和体积单位 【例9】（23-24五年级下·广东河源·期中）一个柜式空调的体积是200（    ）。 A．立方米 B．立方分米 C．立方厘米 【答案】B 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一个柜式空调的体积用“立方分米”作单位比较合适。 【详解】一个柜式空调的体积是200立方分米。 故答案为：B 考点10：长方体的体积 【例10】（23-24五年级下·河北唐山·期中）聪聪做了一个长方体纸盒，底面是一个周长为20cm的长方形，高为10cm，如果长和宽的厘米数是不同的质数，那么这个长方体的体积是（ ）cm3。 【答案】210 【分析】根据长方形底面周长求出长和宽的和，再结合质数的定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，找出长和宽的值，最后利用长方体体积公式计算出体积。 【详解】20÷2＝10（cm） 1＋9＝10，2＋8＝10，3＋7＝10，4＋6＝10，5＋5＝10，其中只有3和7是不同的质数，所以长方体纸盒的长和宽分别是7cm和3cm。 7×3×10 ＝21×10 ＝210（） 所以这个长方体的体积是210。 考点11：正方体的体积 【例11】（23-24五年级下·广东阳江·期中）从一个长是10dm、宽是7dm、高是5dm的长方体木块上锯下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）dm3。 A．125 B．255 C．480 D．512 【答案】A 【分析】从长方体木块上锯下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体最短的一条棱，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【详解】从一个长是10dm、宽是7dm、高是5dm的长方体木块上锯下一个最大的正方体，正方体棱长是5dm。 5×5×5＝125（dm3） 这个正方体的体积是125dm3。 故答案为：A 考点12：体积单位间的进率与换算 【例12】（23-24五年级下·四川凉山·期末）把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 【答案】0.729 【分析】根据题意，将一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个体积最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的宽，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积，最后把结果根据1立方分米＝1000立方厘米换算成立方分米为单位即可。 【详解】9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 729立方厘米＝0.729立方分米 这个正方体的体积是0.729立方分米。 考点13：容积和容积单位 【例13】（23-24五年级下·河北唐山·期中）在括号里填上适当的单位名称。 （1）一袋牛奶大约有250（ ）。 （2）一桶矿泉水的容积是18.9（ ）。 （3）集装箱的体积约是30（ ）。 【答案】（1）毫升/mL （2）升/L （3）立方米/m³ 【分析】（1）实际生活情景中，1毫升的牛奶大约有20滴，则一袋普通牛奶的体积是250毫升；（2）普通的矿泉水瓶能装大约500毫升，根据1升＝1000毫升，大桶矿泉水容积一般有40瓶矿泉水多，即一般是18.9升；（3）1立方米表示棱长为1米的正方体的体积，集装箱一般是大型的长方体，单位一般用立方米。 【详解】（1）一袋牛奶大约有250毫升（mL）。 （2）一桶矿泉水的容积是18.9升（L）。 （3）集装箱的体积约是30立方米（m³）。 考点14：容积、体积单位间的进率与换算 【例14】（23-24五年级下·河北张家口·期中） 1600cm3＝（ ）dm3 600mL＝（ ）L 35dm3＝（ ）L＝（ ）mL 【答案】 1.6 0.6 35 35000 【分析】低级单位换算为高级单位除以它们之间的进率，高级单位换算为低级单位乘它们之间的进率，据此解答。 【详解】1dm3＝1000cm3，因此1600÷1000＝1.6，即1600cm3＝1.6dm3。 1L＝1000mL，因此600÷1000＝0.6，即600mL＝0.6L。 1dm3＝1L，因此35dm3＝35L。 1L＝1000mL，因此35×1000＝35000，即35L＝35000mL。 考点15：组合体的表面积和体积 【例15】（23-24五年级下·河北张家口·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】3750cm2；13500cm3 【分析】根据对图的观察，该组合图形的表面积为上面长方体的表面积加上下面长方体的表面积，再减去它们的接触面，即两个长方形的面积，该长方形长为20cm，宽为15cm； 该组合图形的体积为上面长方体的体积加上下面长方体的体积； 根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体体积公式：V＝abh，长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，据此将数据代入计算即可。 【详解】由分析可得： （20×15＋20×15＋15×15）×2＋（30×20＋30×15＋15×20）×2－15×20×2 ＝（300＋300＋225）×2＋（600＋450＋300）×2－300×2 ＝825×2＋1350×2－600 ＝1650＋2700－600 ＝4350－600 ＝3750（cm2） 15×15×20＋30×20×15 ＝225×20＋600×15 ＝4500＋9000 ＝13500（cm3） 所以该组合图形表面积为3750cm2；体积为13500cm3。 考点16：“排水法”求不规则物体体积 【例16】（23-24五年级下·湖北黄冈·期中）一个长方体玻璃缸，底面是正方形且边长为3分米，里面装了半缸水，水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米。这个铁球的体积是多少？ 【答案】13.5立方分米 【分析】已知长方体玻璃缸的底面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 长方体玻璃缸的水里浸没着一个小铁球，取出小铁球，水面下降了15厘米，那么水面下降部分的体积等于小铁球的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，即可求出这个铁球的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】15厘米＝1.5分米 3×3×1.5 ＝9×15 ＝13.5（立方分米） 答：这个铁球的体积是13.5立方分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$