4.3探索三角形全等的条件（第4课时）教学设计 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件（第4课时） 一、学习任务分析 在大单元教学理念的指导下，全等三角形作为平面几何的基础核心内容，其条件的探究显得尤为重要。作为探索三角形全等条件的第 4 课时，本节课的主要任务是帮助学生巩固三角形全等的判定条件，进一步学习简单的演绎推理，积累几何推理的经验，为后续学习几何证明奠定基础。 二、学生起点分析 在本章的前期课程中，学生已经掌握了全等三角形的定义及其性质，并初步了解了判定三角形全等的四种方法：边边边、角边角、角角边、边角边。此外，他们还体会到了数学分类的思维，并具备了进行几何推理的基本技能。 在前面学习第二章“相交线和平行线”的过程中，学生已经积累了一定的数学活动经验，其空间观念、几何直观及推理能力得到了初步的培养；在本章关于全等三角形性质与判定的学习过程中，学生通过探索与发现，掌握了三个基本事实和一个定理，并学会了依据不同条件运用尺规作出全等三角形，从而获得了进一步的数学活动经验；此外，学生在以往的数学学习中，经历了诸多合作学习的实践，具备一定的合作与交流能力，这些都为本节课的学习奠定了有利的基础。 三、教学目标 1.掌握三角形全等的判定条件：三边分别相等的两个三角形全等，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，两角分别相等且其中一组 等角的对边相等的两个三角形全等。 2.能运用三角形全等的条件解决简单问题。 教学重点：灵活运用全等三角形的条件解决简单问题。 教学难点：能够有条理地思考和表达。 四、教学过程设计 本节课设计六个教学环节：【第一环节】复习导入；【第二环节】例题讲解；【第三环节】回顾反思；【第四环节】巩固提升；【第五环节】课堂小结；【第六环节】布置作业。 【第一环节】复习导入 1.活动内容 （1）你学过哪些三角形全等的判定方法？ （2）哪些方法不能判定三角形全等呢？ 2.活动目的 回顾并巩固已掌握的判定三角形全等的方法，同时明确不能用于判定三角形全等的方法，为本节课的逻辑推理奠定坚实基础。 3.实际效果 在学生阐述无法判定三角形全等的条件时，可能仅是基于机械记忆，教师可以通过提问的方式，并配合提供相应的图形，帮助学生深入理解。 【第二环节（一）】例题讲解 1.活动内容 例1.如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD和△CDB全等吗？请说明理由。 分析： 解：因为AB∥CD， 根据“两直线平行，内错角相等”， 所以∠1=∠2。 在△ABD 和△CDB 中， 因为AB =CD，∠1=∠2，BD =DB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ABD ≌△CDB 。 2.活动目的 培养学生分析题目条件，并能够运用间接条件解决问题的能力。通过有条理的表达，促进学生推理意识的形成，加深学生对推理过程的理解。在探究过程中积累数学活动经验，重视引导学生感悟探究过程中体现的数学思想和方法。 3.实际效果 在学生已经掌握了四种全等三角形判定方法的基础上，提出问题：如何寻找三角形全等的判定条件？本题已知两边相等，引导学生思考还需要添加什么条件才能得出全等结论。学生可能会想到添加一条“边”或一个“夹角”。通过分析题目的条件，学生能够发现“夹角”是解决问题的关键。教师让学生先阐述解题思路，随后在黑板上演示推理过程。 【第二环节（二）】例题讲解 1.活动内容 例2.如图，AC与BD相交于点O，且OA =OB，OC =OD。 （1）△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由。 （2）△ACD 与△BDC 全等吗？为什么？ 分析： （1） （2） 解： （1）因为∠AOD与∠BOC是对顶角， 根据“对顶角相等”， 所以∠AOD=∠BOC。 在△AOD 和△BOC中， 因为OA =OB，∠AOD=∠BOC，OD =OC， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△AOD ≌△BOC。 （2）由（1）可知，△AOD≌△BOC ， 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以AD =BC。 因为OA =OB，OC =OD， AC =OA +OC，BD =OB +OD， 所以AC =BD。 在△ACD 和△BDC中， 因为AD =BC，AC =BD，DC =CD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”， 所以△ACD≌△BDC。 你还能根据其他的判定条件，判断这两个三角形全等吗？ 2.活动目的 （1）引导学生整合已知条件，根据判定条件，并运用先前题目中已阐述的结论来解决问题。 （2）使学生体验数学论证的逻辑性，感悟数学的严谨本质，逐步而又恰当地提高学生的数学推理能力。 （3）课堂教学过程既要鼓励学生自主探究，又要组织学生开展分享与交流。通过小组讨论，学生能够更清晰地表达自己的观点，并有机会分享彼此的想法（学生自由发言，教师予以鼓励），这不仅培养了学生严谨的逻辑思维能力，而且有助于分析问题，形成解决问题的思路，并会用数学的语言进行有条理的表达。 3.实际效果 （1）在完成例2的两个问题之后，指导学生进行小组讨论，探讨是否可以运用其他已学的判定方法来解决该问题。讨论完毕后，邀请有独到见解的小组上台阐述其解题思路，各小组成员之间相互补充，共同完善答案。 （2）在解决例2（2）之后的问题“你还能依据其他判定条件，判断这两个三角形全等吗？”时，可以参考（1）中的结论，即△AOD≌△BOC，进而得到∠A=∠B，AD =BC。利用三角形全等的判定条件“SAS”，可以说明△ACD与△BDC全等。待我们学习了等腰三角形的相关知识后，这道题目将能够运用更多判定方法进行解答。 （3）判定三角形全等是证明线段和角度相等的重要方法。本题通过判定两对三角形全等来解决，单一的全等条件不足以作出判断，因此教师引导学生在其他三角形中寻找额外条件，特别注意在前后两对三角形之间建立联系，例如公共边或公共角，使学生掌握几何推理题思路的分析方法：需证明的事项→已知条件→尚缺条件→寻找条件。 【第三环节】回顾反思 说明一个结论正确与否时，需要给出充分的理由，你是如何找到推理思路的？对此你积累了哪些经验？ 1．要善于挖掘图中隐藏的相等条件，如对顶角、公共角、公共边等。 2．已知两个条件，再找第三个条件构造全等三角形有哪些方法？ 【第四环节】巩固提升 1.活动内容 （随堂练习第1题）如图，∠A，∠D为直角，AC与DB 相交于点E，BE 与EC 相等，在图中找出两对全等三角形。 解：△AEB ≌△DEC，△ABC ≌△DCB。 （1）因为∠AEB与∠DEC是对顶角， 根据“对顶角相等”， 所以∠AEB=∠DEC。 在△AEB 和△DEC中， 因为∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DEC，BE =CE， 根据三角形全等的判定条件“AAS”， 所以△AEB ≌△DEC。 （2）由（1）可知，△AEB ≌△DEC ， 根据“全等三角形的对应边相等”， 所以AB =DC，AE =DE。 因为BE =CE， AC =AE +EC，DB =DE +EB， 所以AC =DB。 在△ABC和△DCB中， 因为AB =DC，∠A=∠D，AC =DB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”， 所以△ABC ≌△DCB。 2.活动目的 在培养学生分析问题的过程中，必须注重条理的清晰性。若学生能运用多种方法进行分析，并能够清晰阐述其发现及其理由，教师应予以鼓励。通过这种方式，让学生建立推理意识，积累推理经验，为日后的证明学习奠定坚实基础。同时，在提升学生演绎推理能力的过程中，应有意识地强化数学语言的三种形式之间的转换，即图形语言、符号语言与文字语言之间的转换，以增强学生对数学语言的理解和应用能力。 3.实际效果 在解决问题（2）时，还可以由AB =DC，BC=CB，AC =DB，利用SSS，也可以说明△ABC与△DCB全等。待我们学习了等腰三角形的相关知识后，这道题目将能够运用更多判定方法进行解答。 【第五环节】课堂小结 1.活动内容 （1）本节课我们是怎样判断两对三角形全等的？ （2）本节课你有什么收获？ （3）你还有哪些想继续探究的问题？ 2.活动目的 鼓励学生勇于表达，分享其对问题解决的独特见解、思考和体会，这不仅是交流解题经验的过程，也是提升学生语言表达能力的良机。 总结与梳理在学习过程中扮演着至关重要的角色。通过这一过程，学生能够整理自身的学习成果，明确存在的疑问，并阐述个人的见解，从而形成良好的学习习惯和思维模式。 3.实际效果 学生自由地阐述观点，不必追求面面俱到，只要论点合理即可。 【第六环节】布置作业 1.活动内容 必做题：习题4.3第5，7，11题。 选做题：习题4.3第12，14，16题。 2.活动目的 （1）必做题第11题是一道综合性问题，它在学生已经掌握全等三角形相关知识的基础上，通过一系列问题引导学生进行思维的变式与拓展。最终的开放性问题为学生提供了更广阔的探究空间，有助于促进学生空间观念的发展、数学经验的积累，以及个性的展现。 （2）选做题第12题旨在通过生动且引人入胜的三角形应用实例，使学生体会到数学与日常生活的紧密联系，并且能够应用于实际生活中。此题目的设计意图在于培养学生的空间观念，积累数学活动经验，提高抽象思维能力，并能够解决一些基础的实际问题，学会用数学的眼光观察现实世界。 （3）选做题第14题旨在培养学生运用三角形全等的判定条件解决实际问题的能力，进而领悟数学与日常生活的紧密联系，并在问题解决过程中培养条理性的思考与表达技巧，使学生会用数学的思维思考现实世界。 （4）作业设计旨在从基础知识的检验到能力的提升，逐步深入，分层次对学生进行不同能力的训练。其重视数学学习与日常生活的结合，让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。 3.实际效果 学生可以根据个人能力选择是否挑战选做题。教师应积极倡导学生在课后以小组形式讨论未解决的问题，力求共同攻克。 五、教学反思 1.为学生提供实践学习的平台 在例题讲解、合作探究、巩固提升等环节中，应尽可能为学生提供实践学习的平台，给予他们展示的机会，激发其主观能动性。让学生在实践过程中，借助自身已掌握的知识和方法，主动探索新知识，进一步提升思维能力和语言表达能力。在此过程中，教师能够发现学生面临的问题，并及时提供指导。同时，教师亦可通过学生的表达，实现教学相长。 2.细节决定成败 为确保小组讨论的成效，教师需确保每位学生均能积极参与并提出个人见解或疑问。为此，教师应在课前进行周密的预判，以便在课堂上能够从容应对各种情况。教师的讲解应恰到好处，旨在启发思路和纠正错误。通过讲解和合作探究等方法，教师应致力于培养学生的推理能力。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$