精品解析：上海市进才中学北校2024-2024-2025学年九年级下学期 数学3月月考试卷

2024学年度第二学期初三3月自适应考试 数学学科 2025.3.18 （测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 4. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A B. 5 C. 和5 D. 1和3 5. 下列命题中，属于真命题的是（　　） A. 两条对角线相等的四边形是矩形； B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形： C. 四条边相等的四边形是正方形； D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 6. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：_______． 8. 分式方程的解是___________． 9. 函数的定义域是___________． 10. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围是___________． 11. 从这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是___________． 12. 上海某开发区实际使用外资金额从1月份的25亿元增长到3月份的36亿元，如果2月份和3月份实际使用外资金额的月增长率相同，那么这个增长率是___________． 13. 已知反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大，则实数的取值范围是___________． 14. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示_______． 15. 如果相切两圆圆心距是12，其中一个圆的半径为8，则另一个圆的半径是___________． 16. 周长相等正方形与正六边形的面积分为，则的值为___________． 17. 如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是___________． 18. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为__________ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 22. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 23. 已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 24. 如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 25. 如图，已知在中，，，，点P是边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，为半径的圆与射线相交于点Q，线段与边交于点D． （1）求的长； （2）设，面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）过点C作，垂足为F，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度第二学期初三3月自适应考试 数学学科 2025.3.18 （测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可． 【详解】由数轴可知， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键． 3. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错； 当时，， ∴图象与y轴交于点，故B正确； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当时，，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 4. 已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. B. 5 C. 和5 D. 1和3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义列出关于的方程，求出的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解即可． 【详解】解：∵数据的平均数是1， ∴， 解得， 则， ∴这组数据的众数是和5， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数概念． 5. 下列命题中，属于真命题的是（　　） A. 两条对角线相等的四边形是矩形； B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形： C. 四条边相等的四边形是正方形； D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，菱形，矩形和正方形的判定，掌握特殊平行四边形的判定是解题的关键． 根据菱形，矩形和正方形的判定分别判断即可． 【详解】解：A、两条对角线相等的四边形不一定是矩形，也可以为等腰梯形，故原说法错误，不符合题意； B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，正确，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故D正确，符合题意， 故选：D． 6. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点N，与交于点P，与交于点Q，根据题意可知，，根据得，根据正方形的性质可证明是等腰三角形，可得，根据相似性质可得，，利用可证明，可得，即可得出，，利用勾股定理可用表示出的长，即可表示出的长，进而可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点N，与交于点P，与交于点Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解， 本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式． 【详解】解： ． 8. 分式方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母化为整式方程是解题的关键． 先去分母，化为一元二次方程，再求解，注意检验是否有增根即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的根为：， 故答案为：． 9. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义域，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 10. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程有实数根，得到，解不等式求出的取值范围，注意即可． 【详解】解：化为一般式为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故答案为：且． 11. 从这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念、简单的概率计算，会利用概率公式计算概率是解答的关键． 先根据无理数的定义找出无理数，再无理数的个数除以数的总个数即可求解． 【详解】解：是分数，为有理数；是有限小数，为有理数；是无理数；是无理数；是分数，为有理数； ∴选出的这个数是无理数的概率为， 故答案为：． 12. 上海某开发区实际使用外资金额从1月份的25亿元增长到3月份的36亿元，如果2月份和3月份实际使用外资金额的月增长率相同，那么这个增长率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均增长率为x，根据等量关系式：1月份外资金额3月份外资金额，列出方程求解即可． 【详解】解：设增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， ∴增长率为， 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质与判定以及平面向量，先证明，再利用比例关系结合平面向量的运算法则进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 15. 如果相切两圆的圆心距是12，其中一个圆的半径为8，则另一个圆的半径是___________． 【答案】4或20 【解析】 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系．两圆相切，有两种可能：外切，内切；根据外切和内切时，两圆半径与圆心距的数量关系，分别求解． 【详解】解：当两圆外切时， 则圆心距等于两圆半径之和，此时另一个圆的半径是； 当两圆内切时， 圆心距等于两圆半径之差，则另一个圆的半径是． 故答案为：4或20． 16. 周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的相关计算，涉及解直角三角形，中心角，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为，则，对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D，解直角三角形求出高，即可求出一个等边三角形的面积，再乘以6就是正六边形的面积． 【详解】解：设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为， ∴， 对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂径定理的推论，勾股定理，正确理解题意，作出图形是解题的关键．先根据题意画图，连接，与交于点，设，由勾股定理建立方程，求出，再由即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴经过圆心O， ∴， 设， 则， 连接， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：3． 18. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算绝对值，负整数指数幂，零次幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可． 详解】解： ； 20. 解方程组： 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法，把二元二次方程组转化为二元一次方程组，求解即可，解题的关键是把二元二次方程组转化为二元一次方程组． 【详解】解： ∴， ∴原方程可化为：或， 解得：或． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． （1）先求出，再利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则，由，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中，得： ， 又∵在一次函数的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设点的坐标为，则， ， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 22. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）；（2）36米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角和坡比问题，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交延长线于点，由题意得：米，米，则由勾股定理得米，则，继而可求坡比； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点，设，则，，在中，，则，故，在中，，得到，即可求解． 【详解】解：（1）延长，过点A作，交延长线于点， 由题意得：米，米， 则由勾股定理得：米， ∴， ∴斜坡的坡比为：； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点， 则由题意得：米，，米，米， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 答：这个5G信号塔的高度为36米． 23. 已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，则，，再证明，利用相似比得到，同理方法证明，则，所以，然后利用，可得到结论； （2）先利用得到，，则，加上，则可判断，所以，然后利用平行线的性质得到，从而得到结论． 【小问1详解】 解：证明：四边形平行四边形， ，， 是边的中点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质． 24. 如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 【答案】（1）;（2）P（1，）; （3）3或5. 【解析】 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式. （2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, 由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标. （3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4） ∴，解得, ∴抛物线解析式为, （2）, ∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO， ∴, ∴， ∴, ， ∴P（1，）, （3）设新抛物线的表达式为 则,，DE=2 过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴， ∴FH=1. 点D在y轴的正半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=3, 点D在y轴的负半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=5 ∴综上所述m的值为3或5. 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键. 25. 如图，已知在中，，，，点P是边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，为半径的圆与射线相交于点Q，线段与边交于点D． （1）求的长； （2）设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）过点C作，垂足为F，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）3 （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）易证，只需运用三角函数和勾股定理求出即可； （2）过点Q作于H，如图1，只需用x的代数式表示就可解决问题； （3）由于是以为腰的等腰三角形，故需分和两种情况讨论，只需将等腰三角形的性质和三角函数相结合，就可解决问题． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴， ∴． ∵，∴． ∵即， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点Q作，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，则有． 过点P作于G，如图2， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：当是以为腰的等腰三角形，的长为2或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、同角或等角的余角相等、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$