专题04 全等三角形模型（倍长中线、一线三等角、半角模型、手拉手全等模型、雨伞模型、胖瘦模型）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题04 全等三角形模型 （倍长中线、一线三等角、半角模型、手拉手全等模型、雨伞模型、胖瘦模型） 1. “倍长中线”模型 模型构成：在三角形中，延长中线，使延长部分与中线长度相等，构造全等三角形。 核心原理：利用对顶角相等、延长后得到的相等线段以及原三角形的中线所分的两条线段相等（SAS 判定定理），证明新构造的两个三角形全等。 应用场景：当题目中出现三角形中线时，可考虑通过倍长中线的方法，将分散的线段或角集中起来，便于解决线段相等、角相等以及求线段长度和角度等问题 。 2. “一线三等角”全等模型 模型构成：一条直线上有三个相等的角，一般在直线同侧，且在直线上的两个角分别位于两个三角形中，通过这三个角及相关边构造全等三角形。 核心原理：利用三角形内角和定理以及等角的余角相等，结合已知的等角和公共边或对应边相等的条件，依据 AAS 或 ASA 判定定理证明三角形全等。 应用场景：在几何图形中，当出现一条直线上有多个相等角的情况时，可借助此模型寻找全等三角形，进而解决线段比例、线段长度计算、角度计算等问题。 3. “半角”模型 模型构成：在一个角内有一个等于它一半大小的角，通过旋转等方式，将含半角的图形中的部分三角形进行变换，构造全等三角形。 核心原理：利用旋转后对应线段相等、对应角相等，结合半角与原角的关系，根据 SAS 判定定理证明三角形全等。 应用场景：常用于正方形、等腰直角三角形等图形中，解决与线段和差、面积相关的问题，通过构造全等三角形将分散的线段转化到同一条直线上进行求解。 4. “手拉手”全等模型 模型构成：两个顶角相等且有公共顶点的等腰三角形，将它们的相等的边进行连接，形成类似手拉手的图形。 核心原理：利用等腰三角形两腰相等以及公共角，根据 SAS 判定定理证明由两腰和公共角组成的两个三角形全等。 应用场景：在涉及多个等腰三角形的图形中，可通过此模型证明三角形全等，进而得到对应边相等、对应角相等，用于解决线段等量关系、角度计算以及判断三角形形状等问题。 5. “雨伞”模型 模型构成：通常是两个直角三角形，一条直角边重合，斜边和另一条直角边构成类似雨伞骨架的形状。 核心原理：利用直角相等，以及重合直角边相等，再结合其他边或角的条件（如 HL 定理用于直角三角形，或 SAS、ASA 等一般三角形全等判定定理 ）来证明两个三角形全等。 应用场景：在解决与直角三角形相关的几何问题中，如求线段长度、证明线段相等或角相等，若出现这种类似“雨伞”形状的两个直角三角形组合时，可考虑用此模型证明全等。 6. “胖瘦”模型 模型构成：两个三角形有一组对应角相等，且这组角的两条夹边对应成比例，一个三角形相对“胖”（边较长），一个相对“瘦”（边较短）。 核心原理：根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，当相似比为 1 时即为全等，也就是 SAS 判定定理 ）来证明三角形全等。 应用场景：在判断两个三角形是否全等的问题中，若能找到一组相等角和角的夹边对应相等的条件，可利用此模型思路证明全等，进而解决与三角形相关的各类几何问题。 【模型一】“倍长中线”模型 已知：在中，是边上的中线， 延长到点, 使, 连接. 结论1：. 已知：在中，点是边的中点， 点是边上一点，连接, 廷长到点, 使, 连接. 结论2：. 已知：在中，点是边的中点， 作于于, 结论3：易证： 【模型二】“一线三等角”全等模型 已知：点在线段上， ,(或或. 结论. 已知：点在的延长线上， ( 或或. 结论. 【模型三】“半角”模型 等边三角形-半角 已知：是等边三角形，为外一点，, 点分别在上， 结论, 正方形-半角 已知：四边形是正方形， 点,分别在上， 结论, 等腰直角三角形-半角 已知：是等腰直角三角形；, 点在上 ， 结论. 【模型四】“手拉手”全等模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE， 结论2：∠BOC=∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． 【模型五】“雨伞”模型 结论：如图，是的平分线，, 垂足为, 延长交于点, 则. 【模型六】“胖瘦”模型 在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 在等腰三角形中，, 点在线段上且不是的中点 (变胖)在上截取, 连接 （变瘦）在上截取, 连接 (中间状态)过点作于点 【模型一】“倍长中线”模型 【典例】1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得． 【详解】证明：如图，延长交于，    ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【典例】2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【模型二】“一线三等角”全等模型 【典例】1．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 【典例】2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键 【典例】3．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 【模型三】“半角”模型 【典例】1．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】延长至H，使，连接，如图，则可用证明，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得，，进而可根据证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差求出，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】证明：延长至H，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 则在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 【典例】2．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（    ） ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，AM=AN，即可证出． ②当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值． ③当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，利用三角形中位线定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面积为：，即可得到答案． ④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可得，根据等量代换，最后得到答案． 【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC， ∵， ∴，与为等边三角形， 又， ， ∴， 在与中 ∴， ∴AM=AN， 即为等边三角形， 故①正确； ∵， 当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小， ∵， ∴ 即， 故②正确； 当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 而菱形ABCD的面积为：， ∴， 故③正确， 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ 故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质与面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位线定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【模型四】“手拉手”全等模型 【典例】1．（2022·山东东营·中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. (1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________； (2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 【答案】(1)CD=EF，CDEF (2)CD=EF，CDEF，成立，理由见解析 (3)点D运动到BC的中点时，是菱形，证明见解析 【分析】（1）根据和均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CDEF； （2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE是等边三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF； （3）过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EGAD，推出△EBG∽△ABD，推出，得到= h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，推出，根据EF=BD，EFBD，推出四边形BDEF是平行四边形，根据BF=EF，推出是菱形． 【详解】（1）∵和均为等边三角形， ∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°， 当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB， ∴CD=EF，CDEF； 故答案为：CD=EF，CD∥EF； （2）CD=EF，CDEF，成立． 证明： 连接BF， ∵∠FAD=∠BAC=60°， ∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD， 即∠FAB=∠DAC， ∵AF=AD，AB=AC， ∴△AFB≌△ADC(SAS)， ∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD， ∵AE=BD， ∴BE=CD， ∴BF=BE， ∴△BFE是等边三角形， ∴BF=EF，∠FEB=60°， ∴CD=EF，BCEF， 即CDEF， ∴CD=EF， CDEF； （3）如图，当点D运动到BC的中点时，四边形的面积是面积的一半，此时，四边形是菱形． 证明： 过点E作EG⊥BC于点G，设△ABC的边长为a，AD=h， ∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE， ∴AE=BE= AB， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴EGAD， ∴△EBG∽△ABD， ∴， ∴= h， 由（2）知，CD=EF， CDEF， ∴四边形CEFD是平行四边形， ∴, 此时，EF=BD，EFBD， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵BF=EF， ∴是菱形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定． 【典例】2．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 【典例】3．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 【模型五】“雨伞”模型 【典例】1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AB＝3， 由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°， 在Rt△AFP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL）， ∴PF＝PD， 设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【典例】2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 【典例】3．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得． 请你证明：． 【迁移应用】 延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系． 【答案】证明见解析；垂直； 【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 迁移应用：， 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 拓展延伸：， 证明：在中，， 在中，， ， 由上一问题可知，， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质． 【模型六】“胖瘦”模型 【典例】1．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【详解】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 【典例】2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（    ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 1．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 2．如图，中，，则点B的坐标为 ． 【答案】（4，1） 【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案． 【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D， ∵A（0，3），C（1，0）， ∴OA=3，OC=1， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCA+∠DCB=90°， ∵∠OAC+∠OCA=90°， ∴∠OAC=∠DCB， 在△OAC和△DCB中，， ∴△OAC≌△DCB， ∴BD=OC=1，CD=OA=3， ∴OD=OC+CD=4， ∴点B坐标为（4，1）． 故答案为：（4，1） 【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 3．如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后根据直角三角形两锐角互余列出等式解答即可． 【详解】证明：是的平分线， ， 由三角形的外角性质得，， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 【答案】2 【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF， ∴△ADG≌△CDF（SAS）， ∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE， ∴△GDE≌△FDE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵F是BC的中点， ∴AG=CF=BF=3， 设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴AE＝2， ∴DE＝， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 5．如图，和都是等腰直角三角形，，A，D，E三点在一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点B作交的延长线于点F．证明，得，，从而证得，，即可求得，，即可求解． 【详解】证明：过点B作交的延长线于点F． 则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ，， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解． 【详解】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、， ， ， 在△和△中， ， ， ，， 是中点， ， 在△和△中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 7．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论； （2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可； （3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至点，使得，连接， 由正方形基本性质得：，， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键． 8．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在的数量关系为，理由如下： 如图3， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 9．综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 10．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 11．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 【答案】【模型学习】见解析；【模型应用】（1）；（2），；（3）1或3 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类思想讨论解决问题是解题的关键． 模型学习：由可证； 模型应用：（1）由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由路程速度时间可求解； （3）分和两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】模型学习，， ， ， ， ， ， ， ； 模型应用（1）， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动， ， 动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向点运动， 当点在线段上运动时，线段的长度为， 故答案为：；； （3）当时，， ， 则， 解得； 当时，， ， 则， 解得， 综上所述：的值为或． 12．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，运用边角边的方法证明； （2）由（1）中三角形全等可得，在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，可得，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等边对等角，等角对等边等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 13．（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 【答案】（1）5；（2）点到的距离为3；（3）的周长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰直角三角形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（型全等)． （1）由，得，可证明，即得，，利用勾股定理求出即可； （2）过作交延长线于，由，得，即得，可证明，得，据此求解即可； （3）过作于，过作交延长线于，由，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图：    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴的周长为． 14．【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）根据定理解答，再根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）解：，，， ， 小亮证明用到的判定定理是， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；，； （2）如图，过作于，于， 为的角平分线， ， ，， ； （3）， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形模型 （倍长中线、一线三等角、半角模型、手拉手全等模型、雨伞模型、胖瘦模型） 1. “倍长中线”模型 模型构成：在三角形中，延长中线，使延长部分与中线长度相等，构造全等三角形。 核心原理：利用对顶角相等、延长后得到的相等线段以及原三角形的中线所分的两条线段相等（SAS 判定定理），证明新构造的两个三角形全等。 应用场景：当题目中出现三角形中线时，可考虑通过倍长中线的方法，将分散的线段或角集中起来，便于解决线段相等、角相等以及求线段长度和角度等问题 。 2. “一线三等角”全等模型 模型构成：一条直线上有三个相等的角，一般在直线同侧，且在直线上的两个角分别位于两个三角形中，通过这三个角及相关边构造全等三角形。 核心原理：利用三角形内角和定理以及等角的余角相等，结合已知的等角和公共边或对应边相等的条件，依据 AAS 或 ASA 判定定理证明三角形全等。 应用场景：在几何图形中，当出现一条直线上有多个相等角的情况时，可借助此模型寻找全等三角形，进而解决线段比例、线段长度计算、角度计算等问题。 3. “半角”模型 模型构成：在一个角内有一个等于它一半大小的角，通过旋转等方式，将含半角的图形中的部分三角形进行变换，构造全等三角形。 核心原理：利用旋转后对应线段相等、对应角相等，结合半角与原角的关系，根据 SAS 判定定理证明三角形全等。 应用场景：常用于正方形、等腰直角三角形等图形中，解决与线段和差、面积相关的问题，通过构造全等三角形将分散的线段转化到同一条直线上进行求解。 4. “手拉手”全等模型 模型构成：两个顶角相等且有公共顶点的等腰三角形，将它们的相等的边进行连接，形成类似手拉手的图形。 核心原理：利用等腰三角形两腰相等以及公共角，根据 SAS 判定定理证明由两腰和公共角组成的两个三角形全等。 应用场景：在涉及多个等腰三角形的图形中，可通过此模型证明三角形全等，进而得到对应边相等、对应角相等，用于解决线段等量关系、角度计算以及判断三角形形状等问题。 5. “雨伞”模型 模型构成：通常是两个直角三角形，一条直角边重合，斜边和另一条直角边构成类似雨伞骨架的形状。 核心原理：利用直角相等，以及重合直角边相等，再结合其他边或角的条件（如 HL 定理用于直角三角形，或 SAS、ASA 等一般三角形全等判定定理 ）来证明两个三角形全等。 应用场景：在解决与直角三角形相关的几何问题中，如求线段长度、证明线段相等或角相等，若出现这种类似“雨伞”形状的两个直角三角形组合时，可考虑用此模型证明全等。 6. “胖瘦”模型 模型构成：两个三角形有一组对应角相等，且这组角的两条夹边对应成比例，一个三角形相对“胖”（边较长），一个相对“瘦”（边较短）。 核心原理：根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，当相似比为 1 时即为全等，也就是 SAS 判定定理 ）来证明三角形全等。 应用场景：在判断两个三角形是否全等的问题中，若能找到一组相等角和角的夹边对应相等的条件，可利用此模型思路证明全等，进而解决与三角形相关的各类几何问题。 【模型一】“倍长中线”模型 已知：在中，是边上的中线， 延长到点, 使, 连接. 结论1：. 已知：在中，点是边的中点， 点是边上一点，连接, 廷长到点, 使, 连接. 结论2：. 已知：在中，点是边的中点， 作于于, 结论3：易证： 【模型二】“一线三等角”全等模型 已知：点在线段上， ,(或或. 结论. 已知：点在的延长线上， ( 或或. 结论. 【模型三】“半角”模型 等边三角形-半角 已知：是等边三角形，为外一点，, 点分别在上， 结论, 正方形-半角 已知：四边形是正方形， 点,分别在上， 结论, 等腰直角三角形-半角 已知：是等腰直角三角形；, 点在上 ， 结论. 【模型四】“手拉手”全等模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE， 结论2：∠BOC=∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． 【模型五】“雨伞”模型 结论：如图，是的平分线，, 垂足为, 延长交于点, 则. 【模型六】“胖瘦”模型 在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 在等腰三角形中，, 点在线段上且不是的中点 (变胖)在上截取, 连接 （变瘦）在上截取, 连接 (中间状态)过点作于点 【模型一】“倍长中线”模型 【典例】1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【典例】2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【模型二】“一线三等角”全等模型 【典例】1．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【典例】2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【典例】3．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【模型三】“半角”模型 【典例】1．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，，若，，则的长为 ． 【典例】2．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（    ） ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【模型四】“手拉手”全等模型 【典例】1．（2022·山东东营·中考真题）和均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿运动，运动到点B、C停止. (1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段的数量关系是____________，位置关系是____________； (2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)当点D运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 【典例】2．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【典例】3．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【模型五】“雨伞”模型 【典例】1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ． 【典例】2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【典例】3．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得． 请你证明：． 【迁移应用】 延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系． 【模型六】“胖瘦”模型 【典例】1．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【典例】2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（    ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 1．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 2．如图，中，，则点B的坐标为 ． 3．如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：． 4．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 5．如图，和都是等腰直角三角形，，A，D，E三点在一条直线上，求证：． 6．如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 7．如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 8．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 9．综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 10．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 11．【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 12．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 13．（1）【问题提出】如图1，在和中，，，，，三点在一条直线上，，，则的长度为________；    （2）【问题探究】如图2，在中，，，，且，求点到的距离； （3）【问题解决】如图3，在四边形中，，，，求的周长． 14．【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$