专题03 三角形模型（8字型、A字型、飞镖模型、老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型、三角形折叠模型）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题03 三角形模型 （8字型、A字型、飞镖模型、老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型、三角形折叠模型） 1. “8 字”模型 模型构成：由两个三角形，通过一组对顶角组合而成，形似“8”字 。 核心原理：利用三角形内角和为以及对顶角相等的性质，得出两个三角形中不相邻角的和相等。 应用场景：在复杂图形中，当出现对顶角相关的两个三角形，可用于推导角之间的等量关系，辅助证明或计算角度。 2. “A 字”模型 模型构成：大三角形中包含一个小三角形，形状如字母“A”，常由平行线分割形成 。 核心原理：依据平行线的性质，同位角相等，进而判定两三角形相似，满足相似三角形对应边成比例。 应用场景：在涉及相似三角形的问题中，如求线段长度比例、证明线段成比例等问题时使用。 3. “飞镖”模型 模型构成：四边形中，连接其中一条对角线后形成类似飞镖的形状 。 核心原理：通过三角形外角性质，将外部大角与内部三个角建立联系。 应用场景：用于求解不规则四边形中角的度数关系，或在几何证明中推导角的等量、不等量关系。 4. 老鹰捉小鸡模型 模型构成：包含多个三角形组合的图形结构。在上方图形中，有两个三角形通过对顶角关联；下方图形中， 存在三角形间角的交错关系。 核心原理： 上方图形：依据三角形内角和为以及对顶角相等的性质。两个三角形中，因对顶角相等，通过内角和等式变换，推导出, 即所谓腋下两角之和等于上下两角之和”。 下方图形：借助三角形外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。通过合理的角的拆分与组合，得出. 应用场景：在复杂几何图形中，当出现类似的角的交错、关联关系时，可利用该模型快速推导角之间的数量关系，辅助解决角度计算、角度等量关系证明等几何问题，尤其适用于需要对多个三角形内角、外角关系进行梳理整合的情境。 5. “双角平分线”模型 模型构成：三角形中两角平分线相交（或外角平分线相交等情况） 。 核心原理：结合三角形内角和定理，通过对角平分线所分角的计算，得出角之间的数量关系。 应用场景：用于求解三角形内两角平分线相交形成角的度数，或在综合几何证明中推导角的关系。 6. 三角形折叠模型 模型构成：以三角形为基础，沿边进行折叠操作，根据点折叠后的位置不同，分为三种情况：点落在线段.上、点落在四边形内部、点落在四边形外部。 核心原理 点落在线段.上：利用折叠前后对应角相等的性质，通过角之间的等量代换，得出。 点落在四边形内部：结合三角形内角和定理以及折叠前后角的对应关系，经过角度的加减运算，推导出,即. 点落在四边形外部：依据三角形外角性质以及折叠性质，通过分析角的和差关系，得到,即。 应用场景：在涉及三角形折叠的几何问题中，该模型可用于求解折叠后角的度数、证明角之间的数量关系等。帮助我们在处理与图形折叠相关的综合几何题目时，快速梳理角度关系，找到解题思路，尤其适用于中考、竞赛等对几何综合能力考查的场景。 【模型一】“8 字”模型 图形像“8”字，叫“8 字”模型 已知相交于O 已知线段平分, 线段平分 【模型二】“A 字”模型 图形像“A”字，叫“A字”模型 与 已知, 延长至D,延长至 【模型三】“飞镖”模型 四边形 已知四边形, 线段平分, 线段平分 【模型四】“老鹰抓小鸡”模型 【模型五】“双角平分线”模型 【模型六】三角形折叠模型 【模型一】“8 字”模型 【典例】1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据，即可得证． 【详解】证明：∵是的一个外角， ∴， 即． 【典例】2．如图，和的平分线相交于点，若，，则的度数为 ．    【答案】/25度 【分析】如图所示，设与交于点，与交于点，根据是，的外角，可得，根据是的角平分线，是的角平分线，可得，，根据是，的外角，可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点，与交于点，    ∴， ∵是，的外角， ∴，又，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， 在，中，是外角， ∴，即， ∴， ∴，且， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形外角和的性质，角平分线的性质，理解图示，掌握三角形外界和性质，角平分线的性质是解题的关键． 【典例】3．如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ，， ， 又， ， ， ， 故选C． 【模型二】“A 字”模型 【典例】1．（2025·山东一模）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：A． 【典例】2．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【典例】3．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【典例】4．如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A．210° B．110° C．150° D．100° 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论． 【详解】解：∵∠A=30°， ∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150° ∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180° ∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210° 故选A． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 【模型三】“飞镖”模型 【典例】1．如图所示，已知四边形，求证． 【答案】见解析 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 【典例】2．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 【答案】C 【详解】如图，连接BC， ∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC， ∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB， 又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°． 故选：C． 【典例】3．如图，则的度数是 ．    【答案】/180度 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键． 【模型四】“老鹰抓小鸡”模型 【典例】1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于 ． 【答案】80° 【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题． 【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得 ∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）． 又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠3+∠4＝∠B+∠C， ∵∠B＝60°，∠C＝80°， ∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°， ∴∠1+∠2＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典例】2．如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，折叠的性质，根据四边形内角和定理得到，进而由折叠的性质得到，再由平角的定义得到，由此利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【模型五】“双角平分线”模型 【典例】1．如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心的定义是解题关键．根据截三边所得的弦长相等可知，到三条边的距离相等，即是的内心，进而得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：截三边所得的弦长相等， 到三条边的距离相等，即是的内心， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例】2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案. 【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键． 【典例】3．（2024·山东烟台一模）如图，在中，，根据图中尺规作图痕迹，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和，尺规作一个角的平分线．解题的关键是确定点O为三条角平分线的交点．由作图可知，点为三条角平分线的交点，利用角平分线平分角和三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵中，， ∴， 由作图可知，点O为三条角平分线的交点， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【典例】4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，点是它的内心，则 ． 【答案】/115度 【分析】根据三角形内心是三条角平分线的交点进行求解即可．本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和，熟知内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 【详解】解；∵， ∴， ∵点是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为；． 【模型六】三角形折叠模型 【典例】1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 【典例】2．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得： ， ∴， ∵， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键． 【典例】3．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解． 【详解】解：∵∠A＝55°， ∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°， ∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°， 由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°， ∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， ∵∠1＝95°， ∴∠2＝110°－95°＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 【典例】4．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 1．如图，中，截的三条边所截得弦长相等，则（ ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数． 【详解】解：如图，    ∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-65°=115°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，掌握三角形内心的性质是解答此题的关键． 2．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，含角平分线的三角形的内角和问题．由作图痕迹可知，是线段的中垂线，是的角平分线，根据中垂线的性质以及角平分线平分角，结合三角形的内角和是，进行求解即可． 【详解】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（  ） A．360º B．250º C．180º D．140º 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°， ∴∠A+∠B=180°-∠C， ∴∠1+∠2=360°-110°=250°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键． 5．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 【答案】/32度 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 6．如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键． 7．如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 8．如图， ． 【答案】720°/720度 【分析】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解． 【详解】解：如图，连接DH， ∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360° ∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°， ∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°， ∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°， ∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE， ∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键． 9．如图,,相交于点,且,点的对应点为点,若,,则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形性质,三角形内角和定理．根据题意可知,又因,再利用三角形内角和定理即可求出本题答案． 【详解】解:∵,, ∴, ∵, ∴, 故选:D． 10．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和． 【答案】360° 【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2， ∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2， ∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°． 【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 12．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数. 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 13．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形模型 （8字型、A字型、飞镖模型、老鹰抓小鸡模型、双角平分线模型、三角形折叠模型） 1. “8 字”模型 模型构成：由两个三角形，通过一组对顶角组合而成，形似“8”字 。 核心原理：利用三角形内角和为以及对顶角相等的性质，得出两个三角形中不相邻角的和相等。 应用场景：在复杂图形中，当出现对顶角相关的两个三角形，可用于推导角之间的等量关系，辅助证明或计算角度。 2. “A 字”模型 模型构成：大三角形中包含一个小三角形，形状如字母“A”，常由平行线分割形成 。 核心原理：依据平行线的性质，同位角相等，进而判定两三角形相似，满足相似三角形对应边成比例。 应用场景：在涉及相似三角形的问题中，如求线段长度比例、证明线段成比例等问题时使用。 3. “飞镖”模型 模型构成：四边形中，连接其中一条对角线后形成类似飞镖的形状 。 核心原理：通过三角形外角性质，将外部大角与内部三个角建立联系。 应用场景：用于求解不规则四边形中角的度数关系，或在几何证明中推导角的等量、不等量关系。 4. 老鹰捉小鸡模型 模型构成：包含多个三角形组合的图形结构。在上方图形中，有两个三角形通过对顶角关联；下方图形中， 存在三角形间角的交错关系。 核心原理： 上方图形：依据三角形内角和为以及对顶角相等的性质。两个三角形中，因对顶角相等，通过内角和等式变换，推导出, 即所谓腋下两角之和等于上下两角之和”。 下方图形：借助三角形外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。通过合理的角的拆分与组合，得出. 应用场景：在复杂几何图形中，当出现类似的角的交错、关联关系时，可利用该模型快速推导角之间的数量关系，辅助解决角度计算、角度等量关系证明等几何问题，尤其适用于需要对多个三角形内角、外角关系进行梳理整合的情境。 5. “双角平分线”模型 模型构成：三角形中两角平分线相交（或外角平分线相交等情况） 。 核心原理：结合三角形内角和定理，通过对角平分线所分角的计算，得出角之间的数量关系。 应用场景：用于求解三角形内两角平分线相交形成角的度数，或在综合几何证明中推导角的关系。 6. 三角形折叠模型 模型构成：以三角形为基础，沿边进行折叠操作，根据点折叠后的位置不同，分为三种情况：点落在线段.上、点落在四边形内部、点落在四边形外部。 核心原理 点落在线段.上：利用折叠前后对应角相等的性质，通过角之间的等量代换，得出。 点落在四边形内部：结合三角形内角和定理以及折叠前后角的对应关系，经过角度的加减运算，推导出,即. 点落在四边形外部：依据三角形外角性质以及折叠性质，通过分析角的和差关系，得到,即。 应用场景：在涉及三角形折叠的几何问题中，该模型可用于求解折叠后角的度数、证明角之间的数量关系等。帮助我们在处理与图形折叠相关的综合几何题目时，快速梳理角度关系，找到解题思路，尤其适用于中考、竞赛等对几何综合能力考查的场景。 【模型一】“8 字”模型 图形像“8”字，叫“8 字”模型 已知相交于O 已知线段平分, 线段平分 【模型二】“A 字”模型 图形像“A”字，叫“A字”模型 与 已知, 延长至D,延长至 【模型三】“飞镖”模型 四边形 已知四边形, 线段平分, 线段平分 【模型四】“老鹰抓小鸡”模型 【模型五】“双角平分线”模型 【模型六】三角形折叠模型 【模型一】“8 字”模型 【典例】1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 【典例】2．如图，和的平分线相交于点，若，，则的度数为 ．    【典例】3．如图是由线段组成的平面图形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模型二】“A 字”模型 【典例】1．（2025·山东一模）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【典例】3．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【典例】4．如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　） A．210° B．110° C．150° D．100° 【模型三】“飞镖”模型 【典例】1．如图所示，已知四边形，求证． 【典例】2．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 【典例】3．如图，则的度数是 ．    【模型四】“老鹰抓小鸡”模型 【典例】1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于 ． 【典例】2．如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 【模型五】“双角平分线”模型 【典例】1．如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是 ． 【典例】2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【典例】3．（2024·山东烟台一模）如图，在中，，根据图中尺规作图痕迹，的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例】4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，点是它的内心，则 ． 【模型六】三角形折叠模型 【典例】1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【典例】2．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例】3．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 【典例】4．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 1．如图，中，截的三条边所截得弦长相等，则（ ）．    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 4．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（  ） A．360º B．250º C．180º D．140º 5．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 6．如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 7．如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）． A． B． C． D．无法确定 8．如图， ． 9．如图,,相交于点,且,点的对应点为点,若,,则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和． 12．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 13．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$