3.3平面向量的数量积（分层训练）-2026届高三体育单招数学一轮复习

3.3平面向量的数量积（分层训练） 目录 1 题型一、判断向量夹角的大小 2 2 题型二、向量的数量积的运算 2 3 题型三、向量夹角的余弦值 2 4 题型四、向量垂直 2 5 题型五、向量的投影和投影向量 2 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型一、判断向量夹角的大小 1．向量与的夹角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据两向量的夹角的定义，即可得到答案. 【详解】根据两向量的夹角的定义，可得向量与向量的夹角的范围是，即. 故选：D. 2．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】利用向量的夹角定义直接得解. 【详解】如图，与的夹角为， 故选：C 3．在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 【答案】C 【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错； 对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错； 对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错； 故选：C. 4．等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量夹角的定义可得结果. 【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．    故选：C． 5．在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形， 所以，则向量与的夹角为. 故选：B 6．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 7．已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 8．满足的△ABC（    ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得，即可判断三角形形状. 【详解】由，而， 所以且，故. 所以△ABC一定为钝角三角形. 故选：C 题型二、向量的数量积的运算 1．若向量，满足且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【分析】利用共线向量的定义可得，进而计算可求结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A和B由图即可判断；对C根据菱形性质即可判断；对D，根据向量加法和图形即可判断. 【详解】对A，因为四边形是菱形，则，故A错误； 对B，由图知，故B错误； 对C，因为四边形是菱形，则，则，故C正确； 对D， ，故D错误； 故选：C. 3．已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 故选：C 4．已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据数量积运算性质展开，结合数量积定义即可得解. 【详解】由题知， 所以. 故选：C 5．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 6．已知平面向量，满足，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意，结合计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以. 故选：D 7．已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解. 【详解】由已知，即， 又，则， 解得，， 故选：A. 8．已知向量满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 9．若，则直线AB与CD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【分析】根据垂直直线的向量表示可知直线AB与CD垂直，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB与CD垂直， 所以AB与CD相交或异面． 故选：D 10．在 中， ，则 的值为（ ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 题型三、向量夹角的余弦值 1．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数量积的运算律结合夹角的计算代入即可. 【详解】设与的夹角为，， 由题意可知，，， 则，即，故，结合，解得. 故选：A 2．已知非零向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量夹角公式求解. 【详解】由，， 得， 而，因此，又， 所以. 故选：A 3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，结合已知计算可求得，进而可求夹角. 【详解】因为，所以，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以. 所以与的夹角为. 故选：A. 4．已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，结合向量夹角的范围可得结果. 【详解】由题意得， ， ∵，∴. 故选：A. 5．已知向量，满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用得出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】， ， ， ， 又， 与的夹角为 故选： 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 7．若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可． 【详解】设向量与的夹角是，则， 又因为，所以． 故选：C． 8．已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对式子两边同时平方，得到，再利用两个向量的数量积代入数值即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为，， 即，解得， 解得.又因为，故向量与向量的夹角为. 故选：B 9．已知向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用模长公式求出，再用夹角公式即可得到答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式. 故选：A. 10．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角. 【详解】由，得，而，则， ，而， 所以与的夹角. 故选：C 题型四、向量垂直 1．已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据向量垂直得到，再根据向量数量积的运算律即可得到答案. 【详解】因为，则，则， 即，所以， 所以. 故选：C. 2．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直关系结合数量积公式计算即可. 【详解】因为，所以，即， ，因为向量与的夹角范围为，所以向量与的夹角是. 故选：B 3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由可得，再将两边平方，结合数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，即， 所以， 则，解得（负值已舍去）. 故选：B 4．已知平面向量的夹角为，满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直得出向量数量积为0，再应用数量积定义计算即可. 【详解】因为， 可得， 可得. 故选：B. 5．设，已知向量与的夹角为，，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】直接根据计算求解即可. 【详解】由得， 解得. 故选：C. 6．已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算及数量积的运算律计算即可. 【详解】边长为1的正方形ABCD，，， ，， 所以. 故选：D. 7．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 8．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 9．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合，则由数量积为0结合数量积的定义以及运算律即可求解夹角. 【详解】设与的夹角为，， ，，， ， ，， 故选：C. 题型五、向量的投影和投影向量 1．已知为单位向量，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模长公式可得，即可利用投影向量的计算公式求解. 【详解】由且为单位向量，平方可得，故， 所以在上的投影向量为， 故选：C． 2．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】设向量与的夹角为，则所求投影向量为． 因为，所以，又因为，，所以， 所以， 故选：B 3．已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义，求得，又由，求得，即可由夹角公式求得夹角. 【详解】若在上的投影向量为，即， 由，则有，即，可得， 又由， 则有，解可得：， 设与的夹角为，则， 又由，则； 故选：D 4．已知向量满足在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】A 【分析】根据投影向量的公式代入已知条件计算即可求值. 【详解】因为在上的投影向量为，所以. 故选：A. 5．已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 6．若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 7．已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式计算可得向量和夹角的余弦值. 【详解】因为在上的投影向量为，所以， 代入，，化简得. 故选：A. 8．已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由及，得，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 9．已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：B $$3.3平面向量的数量积（分层训练） 目录 1 题型一、判断向量夹角的大小 2 2 题型二、向量的数量积的运算 2 3 题型三、向量夹角的余弦值 2 4 题型四、向量垂直 2 5 题型五、向量的投影和投影向量 2 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型一、判断向量夹角的大小 1．向量与的夹角的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ） A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角 4．等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．满足的△ABC（    ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 题型二、向量的数量积的运算 1．若向量，满足且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 4．已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 6．已知平面向量，满足，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 7．已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．若，则直线AB与CD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 10．在 中， ，则 的值为（ ） A．20 B． C． D． 题型三、向量夹角的余弦值 1．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知非零向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（   ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，若，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量满足，则（   ） A． B． C． D． 10．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型四、向量垂直 1．已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A．2 B． C． D． 2．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．1 4．已知平面向量的夹角为，满足，则（    ） A． B．1 C． D． 5．设，已知向量与的夹角为，，，且，则（    ） A． B． C．2 D． 6．已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 8．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五、向量的投影和投影向量 1．已知为单位向量，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．12 D．6 5．已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为(    ) A． B． C． D． 8．已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． $$