精品解析：北京市西城区德胜中学2024-2025学年九年级下学期数学3月考月考试题

德胜中学初三数学学科活动（综合练习四） 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可． 【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意； B. 俯视图是长方形，此选项不符合题意； C. 俯视图是三角形，此选项不符合题意； D. 俯视图是正方形，此选项不符合题意． 故选：A． 2. 据报道，2025年春节假期北京接待游客约1758万人次，其中北京中轴线日均接待游客42.4万人次．将17580000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，17580000用科学记数法表示应为， 故选：C． 3. 直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ∵， ∴， 由题意得，直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选D． 4. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， 故选：D． 5. 已知， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键． 根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下： A B B A （B，A） （B，A） B （A，B） （B，B） B （A，B） （B，B） 共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况， 则抽取的两张牌花色相同的概率为． 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图，是的弦，与的半径交于点，过点作的切线交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③设的半径为，则的长是关于的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，由切线得到，再由垂径定理结合得到垂直平分，推出，，，，然后利用勾股定理和相似三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：连接，，， ∵过点作的切线交延长线于点， ∴， ∵是的弦，， ∴垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴， ①中，， 中，， ∴，故①说法正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ③设的半径为，则， ∵中，， ∴， 整理得， ∴的长是关于的方程的一个实数根，故③正确； 综上所述，所有正确结论的序号是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的性质，勾股定理，一元二次方程，相似三角形的判定与性质． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：将代入 ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，点在边上，，的延长线交于点．若，，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．利用平行四边形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故答案为：2． 14. 如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， 故答案为：25． 15. 如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，取的中点，连接，可得，进而利用正方形的性质证明，得到，即得，得到，即可得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，取的中点，连接，则，． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形四平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为A、B、C．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 【答案】A、C、B 或 C、A、B． 【解析】 【分析】本题是位置变换的逻辑推理题：用字母 A、B、C 分别表示杯子、勺子、筷子，按题设三步规则分析“勺子的位置不变”时三样物品的可能初始排列． 【详解】解：记杯子为 A，勺子为 B，筷子为 C，初始从左到右排成一行（第 1、2、3 位）． 操作规则：第一步 A 与左边交换；第二步 B 与右边交换；第三步 C 与左边交换；某侧无物品则不交换． 讨论勺子 B 的初始位置： ① 若 B 在第 1 位（最左），第一步“A 与左边交换”会把 B 挤到第 2 位，位置改变，不合题意； ② 若 B 在第 2 位（中间），第二步“B 与右边交换”使 B 移到第 3 位；第三步 C 与左边交换后，B 仍落在第 3 位，不能回到第 2 位，不合题意； ③ 若 B 在第 3 位（最右），第二步“B 与右边交换”因右侧无物品而不交换，B 始终在第 3 位；第一、三步只在左边两位（A、C）之间交换，不影响第 3 位的 B． 因此勺子 B 必在最右边，左边两位是 A、C 的任意排列，初始顺序为 A、C、B 或 C、A、B． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可． 【详解】解∶ ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后把分母合并同类项得到，再根据已知条件可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ． 原式． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）函数的解析式为，点C的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，及解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式，结合这个条件，得，然后再解，结合这个条件，得，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：∵函数的值大于函数的值， 由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∵函数的值小于函数的值， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 22. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 【答案】（1）， （2），四 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价的涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； 【小问3详解】 解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 23. 如图，为的直径，为的弦，于点．的切线与的延长线交于点为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接并延长交于点H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接并延长交于点H，由切线得到，然后得到，由垂径定理得到，，证明出，得到，即可得到； （2）如图所示，过点G作于点M，得到，求出，由全等得到，，然后利用勾股定理和解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点G作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 某校为促进学生的体能发展，培养学生的运动习惯，特开展“运动悦生活”主题活动．同学们可以选择不同的体育运动进行每日打卡，当运动量累计达到一定标准，同学们可领取相应的奖励．下面是针对跳绳运动的两种打卡方式： 方式一：每天跳绳100个； 方式二：第一天跳绳10个，之后每天跳前一天的2倍． 表一每天跳绳个数 天数 1 2 3 4 ．．． 方式一 100 100 100 100 ．．． 100 方式二 10 ．．． 表二累计跳绳个数 天数 1 2 3 4 ．．． 方式一 100 200 300 400 ．．． ___________ 方式二 ．．． ___________ （1）根据上述两种打卡方式补全表二； （2）根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势．其中表示方式二变化趋势的图象是___________（填或），根据趋势判断，从第___________天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一； （3）李华想通过打卡领取一份累计跳绳1000个以上对应的奖励，已知选择方式一比选择方式二所需的打卡天数多5天，李华需要累计的跳绳个数（单位：个）的取值范围是___________． 【答案】（1），； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，函数图象，一元一次不等式的应用，找出规律是解题的关键． （1）根据表格数据，总结规律，即可作答． （2）根据表二变化趋势，得出表示方式二变化趋势的图象是，再分析当时和当时，两种方式的跳绳个数，即可作答． （3）先设方式二所需的打卡天数为天，则方式一所需的打卡天数为天，列出不等式，则，再分析当时和当时，两种方式的跳绳个数，即可作答． 【小问1详解】 解： 结合表二数据， 方式一： 得天数为，则累计跳绳个数为100， 天数为2，则累计跳绳个数为200， 天数为3，则累计跳绳个数为300， 天数为4，则累计跳绳个数为400， …… 以此类推：天数为，则累计跳绳个数为； 方式二： 得天数为，则累计跳绳个数为， 天数为2，则累计跳绳个数为， 天数为3，则累计跳绳个数为， 天数为4，则累计跳绳个数为， …… 以此类推：天数为，则累计跳绳个数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势． ∵一开始，方式一的跳绳个数大于方式二， ∴其中表示方式二变化趋势的图象是，根据趋势判断， 依题意，当时，则，， 当时，则，， ∵， ∴从第6天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一； 故答案为：； 【小问3详解】 解：依题意， 设方式二所需的打卡天数为天，则方式一所需的打卡天数为天， ∵李华想通过打卡领取一份累计跳绳1000个以上对应的奖励， 则， ∴， 当时，则，，不符合题意； 当时，则，，符合题意； 当时，则，， ∴李华需要累计的跳绳个数（单位：个）的取值范围是． 同理方式二李华需要累计的跳绳个数s（单位：个）的取值范围是． 综上，李华需要累计的跳绳个数s（单位：个）的取值范围是或． 故答案为：或． 25. 已知抛物线． （1）若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． （2）已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，以及函数图象交点与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）把代入，然后令求解即可； （2）①由顶点坐标可知，即可求出的值；②画出函数图象，结合图象求出h的临界值即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， 当时，， 解得， ∴， ∴物线与轴的两个交点之间的距离为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵抛物线顶点坐标为， ∴顶点在直线上移动． 如图1，当与抛物线的交点在对称轴的右侧时，当时，不总有，故不符合题意； 如图2，当与抛物线的交点在对称轴上及对称轴的左侧，与抛物线相切时，当时，总有， 把代入，得 ， 解得，即． 由，得 ， ∵与抛物线相切， ∴， 解得， ∴当时，总有，的取值范围是． 26. 在等腰直角中，．是线段上一点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点． （1）当时，如图1，点在线段上，，求证：． （2）当时，线段与交于点，依题意补全图2，判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） ， 证明：当时，线段与交于点，依题意补全图2如下： 过作交延长线于， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，即， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形； （1）连接，证明，得到，即可得到，根据等角对等边得到． （2）先根据题意画出图形，过作交延长线于，由旋转得到，，则，，推出， ，设，，则，，，然后根据，利用不同的三角函数在不同的直角三角形中依次求出，，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 在平面直角坐标系中，点是正方形边上的点，且满足．点是正方形外一点，若存在线段，使得点关于线段中点的对称点在正方形内，且满足，则称点为正方形的“对称直角点”．已知点． （1）已知． ①在点中，点___________是正方形的“对称直角点”； ②记正方形的“对称直角点”到原点的距离为，则的取值范围是___________； （2）已知点在直线上，位于第一象限．若点是正方形的“对称直角点”，且点到线段的距离不大于1，则的取值范围是___________． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，圆外一点到圆上的距离的最值问题，圆周角定理；理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义画出点的轨迹，进而结合坐标系即可求解； ②根据圆外一点到圆上的距离的最值问题，结合①的图形，求得最大值，根据新定义得出正方形边到的距离为，则； （2）根据题意先求得临界值点的坐标，进而根据新定义，满足新定义的条件，在为直径的圆上，且满足，当取得最小值，都在上，且当于点重合时刚好经过点，求得最小值，同理当在上，在上时，取得最大值，根据两点距离公式以及圆的定义，求得半径，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图：当时，若为正方形的“对称直角点”，则与均在以为直径的圆上，且， 则正方形的“对称直角点”在图中阴影部分，不包含正方形的边上， ∵距离线段的距离最小为，故不符合题意， 同理符合题意， 当与分别在与边上时，此时以为直径的圆过点，不经过， ∴点是正方形的“对称直角点”， 故答案为：； ②解：由①可得，正方形边到的距离为，则 又∵， ∴ 当取得最大值时，如图所示，当的中点在时，则，连接并延长，交阴影部分外部于点， 的最大值为 综上所述， 【小问2详解】 解：点到线段的距离不大于1，点又在 ∴由（1）可得 当时，，则 依题意，在为直径的圆上，且满足，当取得最大值，都在上，且当于点重合时刚好经过点，如图所示， ∵， ∵以为直径的圆的圆心在上， ∴， ∴ ∴ 解得： 当在上，在上时，取得最大值，如图所示， ∵关于轴对称，又平行于轴，， ∴的中点在轴上， 设，交轴于点，则 ∴ ∴， 又 ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德胜中学初三数学学科活动（综合练习四） 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（ ） A. B. C. D. 2. 据报道，2025年春节假期北京接待游客约1758万人次，其中北京中轴线日均接待游客42.4万人次．将17580000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形 5. 已知， 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 如图，是的弦，与的半径交于点，过点作的切线交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③设的半径为，则的长是关于的方程的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式：2a3﹣8a=________． 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 13. 如图，在中，点在边上，，的延长线交于点．若，，则___________． 14. 如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则_______． 15. 如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为______（用含的式子表示）． 16. 桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为A、B、C．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算： ． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 23. 如图，为的直径，为的弦，于点．的切线与的延长线交于点为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若的半径为3，，求的长． 24. 某校为促进学生的体能发展，培养学生的运动习惯，特开展“运动悦生活”主题活动．同学们可以选择不同的体育运动进行每日打卡，当运动量累计达到一定标准，同学们可领取相应的奖励．下面是针对跳绳运动的两种打卡方式： 方式一：每天跳绳100个； 方式二：第一天跳绳10个，之后每天跳前一天的2倍． 表一每天跳绳个数 天数 1 2 3 4 ．．． 方式一 100 100 100 100 ．．． 100 方式二 10 ．．． 表二累计跳绳个数 天数 1 2 3 4 ．．． 方式一 100 200 300 400 ．．． ___________ 方式二 ．．． ___________ （1）根据上述两种打卡方式补全表二； （2）根据表二，以天数为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势．其中表示方式二变化趋势的图象是___________（填或），根据趋势判断，从第___________天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一； （3）李华想通过打卡领取一份累计跳绳1000个以上对应的奖励，已知选择方式一比选择方式二所需的打卡天数多5天，李华需要累计的跳绳个数（单位：个）的取值范围是___________． 25. 已知抛物线． （1）若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． （2）已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 26. 在等腰直角中，．是线段上一点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点． （1）当时，如图1，点在线段上，，求证：． （2）当时，线段与交于点，依题意补全图2，判断线段与的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，点是正方形边上的点，且满足．点是正方形外一点，若存在线段，使得点关于线段中点的对称点在正方形内，且满足，则称点为正方形的“对称直角点”．已知点． （1）已知． ①在点中，点___________是正方形的“对称直角点”； ②记正方形的“对称直角点”到原点的距离为，则的取值范围是___________； （2）已知点在直线上，位于第一象限．若点是正方形的“对称直角点”，且点到线段的距离不大于1，则的取值范围是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $