精品解析：广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

勤建学校高一年级下学期第一次调研考试 数学试卷 2025.3 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案． 【详解】由，， 则． 故选：A． 2. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 在中，D是AB边上中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 5. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A 6. 已知平面上三点满足，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】设AC的中点为D，则，题干条件可转化为，分析即得解 【详解】 设AC的中点为D，则， 因为，即 所以， 即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形 ． 故选：A 7. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算律，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可. 【详解】解：因为，且，所以， 即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 8. 已知在中，，，若的最小值为3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，将问题转换成二次函数的最值问题，即可求解； 【详解】 令， 由题意的最小值为9， 当时，显然不符合； 所以，此时抛物线开口向上，对称轴为， 所以， 解得， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 若点G是的重心，则 C. 若，则或 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】由基底的概念即可判断A，由三角形重心的定义即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由投影向量的概念即可判断D. 【详解】因为向量，，则，即，则不能作为平面内的基底，故A错误； 如图所示，连接并延长交于点，点为中点，延长到点，使得，则，，所以，故B正确； 因为，若，则或或，故C错误； 因为向量，，则向量在向量上的投影向量为 ，故D正确； 故选：BD 10. 在中，若，，，则a等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理可得，据此可得或，然后可得答案. 详解】由正弦定理得，即，所以． 又，所以或．故或， 当时，，； 当时，． 故选：AB 11. 如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，由坐标运算即可求解． 【详解】如图令，由于故，， 如图，，故，， 故， 同理可求得，即， ，， ， 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行四边形中，，若点满足则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算得到，，然后求数量积即可. 【详解】 由题意得，，所以. 故答案为：36. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 14. 笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出，，根据向量数量积运算法则得到方程，求出. 【详解】由题意得，，， 故 ， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求+向量的模． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【小问1详解】 依题意，向量， ， . 【小问2详解】 由于， 所以. 16. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 即，即， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 17. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得 即， 即， 又在中， 所以， 则在中； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以的周长. 18. 某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，． （1）求景点电动车专用道BE的长； （2）由于受资金限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？ 【答案】（1）15km． （2）景区可以铺设该步行道． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得到，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求； （2）根据正弦定理得到，然后利用换元法求范围来判断即可. 【小问1详解】 连接BD，在中，，， 所以， 所以．由题意可知，所以． 在中，， 所以，即景点电动车专用道BE的长为15km． 【小问2详解】 设，则，，． 在中，由正弦定理得， 所以， ， 所以． 设，，则． 因为在上单调递增，所以． 因为，所以景区可以铺设该步行道． 19. 在锐角三角形ABC中，. （1）求证：为定值； （2）求下列各式的取值范围； ①；②. 【答案】（1）证明见解析； （2）；. 【解析】 【分析】（1）由两角差的正弦公式结合题意可得答案； （2）①由（1）结合余弦二倍角公式可得，然后由三角形为锐角三角形，结合余弦函数单调性可得答案；②由（1）及两角和的正弦公式可得，然后由正弦函数单调性及单调性可得答案. 【小问1详解】 因， 则 得， 则或（排除），则； 【小问2详解】 ①由（1），. 又，结合三角形ABC为锐角三角形， 则，因在上单调递减， 则.令，则， 则. 因函数在上单调递增，则. 即. ②由， 则. 注意到，， 则, 由①，，又在上单调递增，则. 又在上单调递增，则在上单调递减. 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高一年级下学期第一次调研考试 数学试卷 2025.3 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，D是AB边上中点，则=（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 6. 已知平面上三点满足，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，，若的最小值为3，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底 B. 若点G是重心，则 C. 若，则或 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 10. 在中，若，，，则a等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行四边形中，，若点满足则__________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 14. 笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求+向量的模． 16. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数值； （2）求与的夹角的余弦值. 17. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 18. 某景区拟开辟一个平面示意图是如图所示的五边形ABCDE的观光步行道，BE为景点电动车专用道，，，，． （1）求景点电动车专用道BE的长； （2）由于受资金的限制，折线步行道BAE（即）不能超过20km，问景区可不可以铺设该步行道？ 19. 在锐角三角形ABC中，. （1）求证：定值； （2）求下列各式的取值范围； ①；②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $