精品解析：重庆市第八中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

重庆八中2024—2025学年度（下）高二年级第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（ ） A. 两次均正面朝上 B. 至多有一次正面朝上 C. 两次均反面朝上 D. 至少有一次反面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件的定义求解即可. 【详解】因为事件“至少有一次正面朝上”， 所以由对立事件的定义得事件“两次均反面朝上”，故C正确. 故选：C 2. 甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出总事件数，再求出符合条件的事件数，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有种情况， 符合条件的有，共种， 且设概率为，则，故B正确. 故选：B 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值排除A，C，D，进而得到正确结果即可. 【详解】对于，有，， 下面，我们开始分析选项，对于A，C，不满足，故A，C错误， 对于D，不满足，故D错误， 对于B，满足的全部性质，故B正确. 故选：B 4. 两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（ ） A. 包含于 B. C. 与互斥 D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出所有基本事件，由古典概型概率公式及和事件加法公式即可求解； 【详解】随机取出2只，所有可能结果：；；；； ；； 包含：；； ；； 包含：；； 包含：；； 对于A： 包含，故错误； 对于B：，故错误； 对于C：与可以同时发生，故错误； 对于D：，正确； 故选：D 5. 过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，建立方程，求解参数即可. 【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为， 且设和的切点为， 因为，所以，由导数的几何意义得， 则切线方程为，将代入方程，得到， 解得，则切线方程为，设和的切点为， 且，由斜率的几何意义得，解得， 代入中，得到切点为，代入中， 得到，解得，故A正确. 故选：A 6. 正项数列的前项和为，首项，已知函数有且仅有两个零点，则（ ） A. 120 B. 125 C. 57 D. 247 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件分析得到有且仅有一个根，再利用判别式得到，继续构造等比数列求出，最后利用公式法求和得到，最后求解即可. 【详解】因为， 所以，而， 则方程有且仅有一个根， 得到，即， 而是正项数列，得到， 则，又，得到， 令，，且， 得到是首项为，公比为的等比数列， 则，得到，即， 故，得到，故A正确. 故选：A 7. 定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合两角和差的正弦公式对各个选项进行大小比较即可. 【详解】因为，所以，. 由，得， 则，即， 设，则， 可得，则在定义域上单调递减， 对于A，可得，则， 得到，即，故A错误， 对于B，可得，则， 得到，即，故B错误， 对于C，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故C正确， 对于D，可得，则， 而由两角和的正弦公式得， 得到，故D错误. 故选：C 8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据双曲线和椭圆定义得，再利用角分线定理得，最后根据余弦定义和余弦定理得到方程，解出值，即可得到离心率. 【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，由题意：， 不妨令，，得：． 由角平分线定理：，即：， ，一方面：， 另一方面：， (负舍)， 故双曲线的离心率为：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组： 乙组： 则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的第百分位数是 B. 乙组数据的众数是 C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为 D. 乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用总体百分位数的估计判断A，利用众数的特征判断B，分别设出事件，表示概率，结合独立事件的概率公式判断C，求出两个组的平均数后判断D即可. 【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字， 而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数， 为，故A错误， 对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次， 则乙组数据的众数是，故B正确， 对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为， 乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件， 从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为， 得到，，而相互独立， 由独立事件概率公式得，故C正确； 对于D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后， 甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确. 故选：BCD 10. 椭圆的左、右焦点分别为，点在上，圆是以椭圆的短轴为直径的圆，为圆的一条直径（在第一象限），直线与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积为 B. 若，则直线被椭圆截得的弦长为 C. 若是以为其中一腰的等腰三角形，则满足条件的点有6个 D. 若为与轴正半轴的交点，，则直线的斜率为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆的定义及余弦定理可得，故求出焦点三角形的面积后可判断正误，对于B，根据可求得，从而可得直线及方程，联立直线方程和椭圆方程后求出交点坐标得弦长后可判断其正误，对于C，由题设条件求出的坐标后可判断其正误，对于D，由题设条件可求到直线的距离，求出的斜率后得其直线方程，再联立直线方程和圆的方程求出的坐标得的坐标，故可求直线的斜率，故可判断D的正误. 【详解】由题设，椭圆，得， 则，， 对于A，因为在椭圆上，所以， 而，即， 则，得，故， 所以，故A正确； 对于B，若，则， 又，故， 故，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 由可得，故或， 故直线被椭圆截得的弦长为，故B错误； 对于C，设，则，即，， 因为是以为其中一腰的等腰三角形，， 故或， 当时，则， 解得或（舍），故， 可知满足条件的有2个，即， 由椭圆的对称性可知时，满足条件的有2个， 所以满足条件的共有4个点，故C错误； 对于D，由题意，圆的半径为， 设，则，设的中点为，连接， 则，故， 又， 则，故， 故， 因为在第一象限，故在第三象限， 故的斜率存在且为正数，设直线的斜率为， 则直线，则，故， 则直线，又圆， 由可得，解得或， 故，则，得， 故，故，故D正确. 故选：AD. 11. 定义域为的函数的导函数记为，的导函数为，若为奇函数，为偶函数，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和复合函数求导得的图象关于对称，再次求导得关于直线对称，再通过计算得到其对称中心，从而得到其最小正周期，最后一一分析即可. 【详解】由为偶函数，得：， 故， 令， 则：， 即：的图象关于对称； 继续求导，得：， 即：关于直线对称． 又由为奇函数，得：， 即：图象以为对称中心. 是周期为的周期函数， 也是周期为的周期函数． 对于A，，故A正确； 对于B，，而题设条件无法支撑B错， 对于C，根据对称性，因为关于对称，则， 又因为的周期，则， 又因为关于直线对称，则， 则， ，C对； 对于D，同样根据对称性，， 故，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过抛物线焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线方程，再把其和抛物线联立。利用韦达定理得到，最后利用焦半径公式建立方程，求解参数即可. 【详解】设，，直线斜率为， 因为倾斜角为，所以，则直线方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，由焦半径公式得， ， 因为，所以，解得. 故答案为： 13. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先对求导，再对分类讨论，分析其有两个零点的情况，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，，则此时单调递增，得到不可能有两个零点， 当时，令，，令，， 得到在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点， 所以需有， 而，此时满足，解得，则实数的取值范围是. 故答案为： 14. 对恒成立，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，再设，证明其单调性，最后根据洛必达法则即可得到答案. 【详解】由题意：对恒成立， 设，则， 设， 则， 因为，则，，， 设，，则，则在上单调递增， 则，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，故，故在上单调递增， 又， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记是公差大于0的等差数列的前项和，，且成等比数列． （1）求和． （2）若，证明：数列的前项和． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先设出公差，利用等比中项的性质建立方程，解出公差，进而求出，再利用公式法求和得到即可. （2）利用给定条件得到，进而结合裂项相消法得到，最后利用证明即可. 【小问1详解】 因为是公差大于0的等差数列， 所以设公差为，因为成等比数列， 所以，即， 解得或，因为，所以符合题意， 则，. 小问2详解】 由上问得，因为， 所以，则， 得到， 因为，所以，得到，即得证. 16. 某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求出参数值，再求解平均数即可. （2）利用分层抽样的性质求出每一部分的学生数，再结合古典概型概率公式求解概率即可. （3）结合题意算出新的平均数和，再利用方差公式求解方差即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以， 解得，而设平均分为， 得到， ， 即本次竞赛成绩的平均分为分. 【小问2详解】 若从样本成绩为和的学生中共抽取6人， 且成绩在的人数为人， 在的人数为人， 即从的学生中取人，从中取人， 设这名学生分别为，2人中有来自组的学生的概率为， 则基本事件为， ，共有种基本事件， 符合条件的有，共种， 则，故2人中有来自组的学生的概率为. 【小问3详解】 因为这6个分数的平均数，标准差， 所以这6个分数的平均数为分，， 则，解得， 设新的方差为， ，则这8个分数的方差为. 17. 如图，三棱柱的各棱长均相等，是棱的中点，平面． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为三棱柱的各棱长均相等， 所以不妨设棱长为，则， 得到是等边三角形，因为是的中点， 所以，且平面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为平面，所以， 因为是棱的中点， 所以，而，由勾股定理得， 同理可得，则，，，， ，，由中点坐标公式得，， 由题意得，则，设， 故，得到，，即， 由中点坐标公式得，则， ，，设面的法向量为， 得到，， 令，解得，，故， 则，而面，故平面. 【小问2详解】 由上问得，，， ，，则，， ，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到， 设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若当时，存在极大值，求实数的取值范围； （3）证明：函数存在零点的充要条件是． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再利用二次函数性质对导函数分子分类讨论即可； （2）根据极大值的特点得到不等式组，解出即可； （3）分离参数，等价转化为在有解，再设新函数，多次求导得到其值域即可. 【小问1详解】 由， 得：， 令，对称轴为：， 当，即时，，所以，即恒成立， 此时的单调增区间是，无减区间； 当时，即， 若，即，此时，即恒成立， 此时的单调增区间是，无减区间； 若，即，抛物线开口向上，与轴有两个交点； 令，可得：， 此时在，，即， ，，即， 在，，即， 所以的单调递增区间：和， 单调递减区间：； 综上所述：时，单调增区间是，无减区间； 当时，单调递增区间：和，单调递减区间：； 小问2详解】 由（1）可知，若时，存在极大值，结合（1）中单调性知： 需满足，解得， 所以实数的取值范围. 【小问3详解】 ， 存在零点在有解在有解， 令，， 令，显然与同号， 对恒成立，在上单调递增， 注意到：， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ，当时，，. 当时，由于， 故方程有解，有零点．证毕． 19. 双曲线的离心率为，斜率为的直线和斜率为的直线均过原点，且分别与的右支交于点和点． （1）求实数的值； （2）作斜率为的过原点的直线（异于）与的右支分别交于点，记的面积为． （i）求证：： （ii）若，且，记，证明：． 【答案】（1）16 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式得到方程，解出即可； （2）（i）通过联立方程求出，，，的坐标，再利用两点斜率公式即可证明平行； （ii）利用点到直线的距离公式和三角形面积公式求出的表达式，利用导数求出其值域，最后再利用放缩和裂项相消法即可证明不等式. 【小问1详解】 双曲线的离心率，，. 【小问2详解】 （i）联立：， 即：， 同理，有：． ， 同理，有：， . 比较可得：． （ii）由（i）知：当时，． ，且. 同理有：， 到的距离. . 令，则， 令，解得，令，解得， 则当时，单调递减；当时，单调递增， ，当时，；当时，， 因此， ， . 又时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中2024—2025学年度（下）高二年级第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（ ） A. 两次均正面朝上 B. 至多有一次正面朝上 C. 两次均反面朝上 D. 至少有一次反面朝上 2. 甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（ ） A. 包含于 B. C. 与互斥 D. 5. 过原点直线与及的图象都相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 正项数列的前项和为，首项，已知函数有且仅有两个零点，则（ ） A. 120 B. 125 C. 57 D. 247 7. 定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 8. 已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组： 乙组： 则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据第百分位数是 B. 乙组数据的众数是 C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为 D. 乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 10. 椭圆的左、右焦点分别为，点在上，圆是以椭圆的短轴为直径的圆，为圆的一条直径（在第一象限），直线与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积为 B. 若，则直线被椭圆截得的弦长为 C. 若是以为其中一腰的等腰三角形，则满足条件的点有6个 D. 若为与轴正半轴的交点，，则直线的斜率为 11. 定义域为的函数的导函数记为，的导函数为，若为奇函数，为偶函数，下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则_______________． 13. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______________． 14. 对恒成立，则实数的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记是公差大于0的等差数列的前项和，，且成等比数列． （1）求和． （2）若，证明：数列的前项和． 16. 某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分． （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差． 17. 如图，三棱柱的各棱长均相等，是棱的中点，平面． （1）求证：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若当时，存在极大值，求实数取值范围； （3）证明：函数存在零点的充要条件是． 19. 双曲线的离心率为，斜率为的直线和斜率为的直线均过原点，且分别与的右支交于点和点． （1）求实数的值； （2）作斜率为过原点的直线（异于）与的右支分别交于点，记的面积为． （i）求证：： （ii）若，且，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$