精品解析：福建省莆田市荔城区莆田第九中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年九中八年级下学期第一次月考试卷 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是6， 故选：． 2. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意； 、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴的三角形不是直角三角形，符合题意； 、∵， ∴， ∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意； 、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数）， ∵， ∴的三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意， 选项B：，故不符合题意， 选项C：，故不符合题意， 选项D：是最简二次根式，符合题意， 故选：D 5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意； C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意； D、逆命题是：相等的两个角都是45°，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再进一步判断真假． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5， 此时这个三角形的周长=3+4+5=12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=， 此时这个三角形的周长=3+4+=7+． 故选C 8. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，利用勾股定理正确得出的长是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故弧与数轴的交点P表示的数为：． 故选：B． 9. ，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定，由非负数的性质可得且，即得且，根据勾股定理的逆定理及等腰三角形的定义即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴的形状为等腰直角三角形， 故选：D． 10. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落点处，其中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，再由为边的中点，可得，设，则，，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵为边的中点， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简的结果是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 若，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 14. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为， 故答案为：15． 15. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上则边上的高为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴是直角三角形，且； 过点A作于点D，如图， ∴， ∴，即边上高为2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理，熟记勾股定理及逆定理是解题的关键． 16. 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=１，得OP3=2…依此法继续作下去，得=____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和已知条件，找出线段长度的变化规律，从而求出的长度，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1= 再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2= 又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3= ∴PnPn+1=1，OPn= ∴P2014P2015=1，OP2014= ∴=P2014P2015·OP2014= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是利用勾股定理探索规律题，找到线段长度的变化规律并归纳公式是解决此题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握乘法公式以及二次根式的运算法则是关键． （1）先计算二次根式乘法，化简二次根式，再合并即可； （2）平方差公式和完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 若，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据，得到，结合代入计算即可． （2）根据，得到，结合代入计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的求值，因式分解，完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质是解题的关键． 19. 实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴得到 ， ， ，直接根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：由数轴得： ， ∴ ， ， ， ∴（）2﹣+|b﹣c|+ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，实数与数轴，能利用二次根式的性质和绝对值的性质化简是解题的关键． 20. 如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积. 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可； （2）利用三角形的面积解题即可． 【小问1详解】 因为，米，米， 所以（米）， 因为米，米， 所以， 所以是直角三角形，． 【小问2详解】 图中阴影部分的面积（平方米）． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， 本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解． 小问1详解】 解：如图1所示：正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2所示：三角形即为所求． 22. 1．数学兴趣小组学习了《勾股定理》后，利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．即米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向下降7米，且长度不变，则他应该回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）风筝的高度为17.6米；（2）他应该回收5米线． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出下降后风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】解：（1）在中，米，米 由勾股定理得：米， 米， 米， 答：风筝的高度为17.6米； （2）设点A沿着方向下降7米到点M的位置，则，连接， 在中 米，米 由勾股定理得：米 米 答：他应该回收5米线． 23. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可；把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； 小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ． 24. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）27 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵， 即， 整理得， 故； 【小问3详解】 解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 25. 在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，E为上一点，，，则的长为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质和证明即可；②利用①的结论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可证得结论； （2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求出，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：①∵、是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， 在和中，， ∴． ②∵、是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在中，， 在中，，即， ∴． 【小问2详解】 如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴， 则直角三角形中，根据勾股定理可得， 即，解得（负值已舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述知识、证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九中八年级下学期第一次月考试卷 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 2. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都45°，那么这两个角相等 6. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对 8. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 9. ，，是的三边长，且满足关系，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落点处，其中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 化简的结果是______． 12. 若，满足，则_______． 13. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要_______米． 14. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节。小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为_____． 15. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上则边上的高为___________． 16. 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=１，得OP3=2…依此法继续作下去，得=____． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 若，求下列代数式的值． （1）； （2）． 19. 实数a，b，c数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+． 20. 如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米. （1）求的度数； （2）求图中健身区（阴影部分）的面积. 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 22. 1．数学兴趣小组学习了《勾股定理》后，利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．即米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向下降7米，且长度不变，则他应该回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 23. 观察下列运算：； ； ； …… （1）通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． （2）化简：． 24. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 25. 在等腰中，，且． （1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，E为上一点，，，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$