精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

三明一中2024-2025学年下学期3月月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，再根据坐标法计算其模. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：D 2. 设的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】正弦定理求解. 【详解】由正弦定理得：，即， 则．又，则,则， 故选:A． 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则cosA＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边长比，设出边长，再利用余弦定理推导即可求解. 【详解】在△ABC中，a：b：c＝4：5：6， 不妨设，且， 所以. 故选：C 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4. 如图，中，，分别是，边的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心定义和性质知，结合可得结果. 【详解】分别为中点，为的重心，， 又，. 故选：A. 5. 在中，，，则一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理结合题意化简即可判断的形状. 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得，， 所以，即， 所以，结合可得一定是等边三角形． 故选：D. 6. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得，根据数量积公式，代入计算，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以 . 故选：B 7. 平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】,, , 与的夹角等于与的夹角 , ,,解得, 故选D. 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 8. 已知锐角中，角对应的边分别为，，若， 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理化边为角可求A，再由利用角表示边，结合基本不等式求其最小值. 【详解】∵， ∴ ∴， ∴，因为， ∴，即，又， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ∴ ， ∵ 为锐角三角形， ∴ ， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴ 最小值是， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知是边长为2正六边形内一点，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，设（），利用平面向量数量积的坐标表示计算，从而得解. 【详解】如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 易知正六边形的每个内角为，所以， 则，， 设，则，且. 所以，则BC正确，AD错误. 故选：BC. 10. 已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为5 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例； B：两向量垂直，数量积为零； C：当两向量同向时，它们差的模最小； D：两向量夹角钝角时，数量积为负且夹角不能为18°. 【详解】由，得，A不正确； 由，得，，B正确； ，当时，取得最小值5，C正确； 当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则，或，D不正确. 故选：BC. 11. 已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 若，则外接圆的半径为2 D. 若，则的面积的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解. 【详解】对A：由题意可得，由余弦定理可得， 即有，即， 由，故，即，故A正确； 对B：则，，解得，故B正确； 对C：由正弦定理可得，即，故C错误； 对D：若，则， 由正弦定理可得，即， 即 ， 由，则，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量表示出来，结合的范围即可得解. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可. 【详解】 由题意得解得． 故答案为：2. 13. 设向量满足且，则向量在向量方向上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知模长求出，再根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， ， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在中，D是的中点，E在边上，且，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用表示出，再由即可得出结论. 【详解】因为在中，D是的中点，E在边上，且， 所以 , 又，所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量. （Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直； （Ⅱ）若，，，求证：三点共线. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）令，展开再利用向量数量积定义，即可确定实数. （Ⅱ）由条件推得，再根据向量共线的条件得证结论． 【详解】（Ⅰ）∵和垂直 ∴ ∴ ∴ ∴ （Ⅱ）∵， ∴ ∵有公共点 ∴三点共线 【点睛】向量共线： （1）， （2） （3）若，则三点共线 （4）三点共线 16. 设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用等面积法结合已知条件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 解：由及正弦定理可得， 、，则，所以，，解得， 所以. 【小问2详解】 解：因为，即， 所以，因为，则， 所以，所以. 17. 在中，是边BC上一点，，设． （1）试用表示； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得结果； （2）将和分别用表示，再结合向量数量积的运算律即可得结果. 【详解】（1）边BC上一点，，， 又，， ． （2），，， ， ． 【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算与向量的数量积，求解数量积时，先将和分别用表示，再利用数量积公式代入运算，考查学生的分析能力与运算求解能力，属于基础题. 18. 已知的内角所对的边分别是，已知． （1）求角； （2）若的面积为，求取最小值时的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合及两角和的正弦公式即可求解； （2）由已知利用三角形的面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴. 【小问2详解】 ∵，∴， 由余弦定理及基本不等式，得， 当且仅当时取等号， ∴，解得， 则的最小值是4，此时， ∴的周长为12． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由，得， 故. 由正弦定理可得，故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由，得， 整理得， 则. 【小问3详解】 如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明一中2024-2025学年下学期3月月考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则cosA＝（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，分别是，边的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则一定（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角中，角对应边分别为，，若， 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知是边长为2的正六边形内一点，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 4 D. 6 10. 已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为5 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则 11. 已知锐角的三个内角，，的对边分别是，，，且的面积为.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围为 C. 若，则外接圆的半径为2 D. 若，则的面积的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则实数__________． 13. 设向量满足且，则向量在向量方向上的投影向量为______. 14. 如图，在中，D是的中点，E在边上，且，若，则的值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两个非零向量. （Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直； （Ⅱ）若，，，求证：三点共线. 16. 设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且． （1）求； （2）若，求． 17. 在中，是边BC上一点，，设． （1）试用表示； （2）求的值． 18. 已知的内角所对的边分别是，已知． （1）求角； （2）若的面积为，求取最小值时的周长． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$