安徽省铜陵市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 铜陵市第三中学高二级部 3 月份月考 数学试题 （卷面分值：120 分 考试时间：120 分钟 命题： 审题： ） 注 意 事 项： 1.本试卷共 4 页。答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内。 2.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必 须将答案写在答卷的相应题号框内。请保持试卷卷面清洁，不折叠、不破损。 3.考试结束后，请将答卷和答题卡交回。 第Ⅰ卷 （选择题 共 58 分） 一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1．已知直线 与直线 互相平行，则m为（ ） A． 1 2  B．-2 C．-2或 2 D．2 2．若 0 (2 2 ) (2)lim 6 x f x f x       ，则 (2)f  （ ） A．3 B．6 C．12 D． 3 3．在等差数列 na 中， 1 3 52 16a a a   ，则 6 43a a  （ ） A． 8 B． 6 C． 4 D． 2 4.已知 ，则 , ,a b c的大小关系是（ ） A． a b c  B． a c b  C． c b a  D． c a b  5．已知圆 2 2 21 :C x y b  与椭圆   2 2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     ，若在椭圆 2C 上存在一点 P，过 P点 能作圆 1C 的两条切线，切点为 ,A B，且 π 2 APB  ，则椭圆 2C 离心率的取值范围为（ ） A． 20, 2       B． 10, 2      C． 2 ,1 2       D． 1 ,1 2     6．若直线 l同时是曲线  e 1xy a a  和曲线 exy a  的切线，则 l斜率的最小值为（ ） A．1 B．2 C． e D． 2e 062  mmyx 042  ymx 2025 2026ln,, 2025 1a 2025 2024   ceb 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7．在空间四边形OABC中，点M 在线段OA上,且 2OM=MA，N为 BC的中点，则MN  等于（ ） A． 1 1 1 3 2 2 OA OB OC      B． 1 2 1 2 3 2 OA OB OC     C． 1 1 1 2 2 2 OA OB OC     D． 2 2 1 3 3 2 OA OB OC     8．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中， 点A、 B的坐标分别为  1 1,x y ，  2 2,x y ，那么称   1 2 1 2,d A B x x y y    为A、 B两点间 的“曼哈顿距离”．已知 a为常数，动点 , ln ln aA a x x      ，  3,2B ，则  ,d A B 的最小值为（ ） A．3 ln2 B． 2 ln3 C． 3e 2 D． 2e 3 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．下列函数的求导运算正确的是（ ） A． 1(ln 2024) 2024   B． 2 1(tan ) cos x x   C．  3 1 2 23x x x x    D．  2 2e ( 1)ex xx x   10．如图，四棱锥 P ABCD 底面 ABCD是边长为 4 的正方形，若点 M在四边形 ABCD内（包 含边界）运动，N为 PD的中点， 4PD  ， π 3 PDA PDC   ，则（ ）． A．当 M为 AD的中点时，异面直线MN与 PC所成角为 π 2 B．当MN∥平面 PBC 时，点 M的轨迹长度为 2 3 C．当MN与平面 ABCD所成的角是 π 4 时，点 M到 AB的距离可能为 3 2 2 D．点 Q是四棱锥外接球上的一点，则QP QD   的最大值是8 8 2 11．双曲线 2 2 2 2 1( 0) x y b a a b     的左、右焦点分别 1F， 2F ，具有公共焦点的椭圆与双曲线在 第一象限的交点为 P，双曲线和椭圆的离心率分别为 1e ， 2e ， 1 2PFF 的内切圆的圆心为Ⅰ，过 2F 作直线 PI的垂线，垂足为 D，则（ ） A．I到 x轴的距离为 a B．点 D的轨迹在圆上 C．若 1 2 1 2 1 3IPF IPF IF F S S S △ △ △ ，则 11 3e  D．若 1OP OF ，则 2 2 1 2 1 1 2 e e   学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷（主观题 共 92 分） 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知直线 l的方向向量  1, 2, 2e    ，平面 的法向量  2, , 1n   .若 / /l  ，则   . 13．已知点 M，N在直线 : 2 2 0l x y   上运动，且 2 5MN  ，点 P在圆  2 2: 4 5C x y   上，则 PMN 的面积的最大值为 ． 14．已知函数 和 的图像有交点，则 取最小值时， 的值为 . 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13 分) 已知函数 . (1)求 ( )f x 的极值； (2)若 ( ) ( ) 2g x f x x b   ，讨论 ( )g x 的零点个数. 16.（15 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PBC ⊥平面 ABCD . PBC△ 是等腰三角形，且 3PB PC  .在梯形 ABCD中， //AB DC， AD DC ， 5AB  ， 4AD ， 3DC  . (1)求证： //AB 平面 PCD； (2)求平面 APB与平面 PBC 夹角的余弦值； ) 3 1aln()( bxxf  9 1)(g 2  xx 22a b a b 23 2 1 3 1)( xxxf  学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17.（15 分) 已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的离心率为 2，且C的一个焦点到其一条渐近线的 距离为 1. (1)求双曲线C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点  3,0 的直线 l与C的右支交于 ,P Q两点，且直线 ,AP AQ 与 y轴分别交于 ,M N两点，记四边形 PQNM 的面积为 1,S AMN△ 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的取 值范围. 18.（17 分) 已知函数   1 eln xax x x f x     （ Ra ）． (1)当 0a  时，求  f x 的单调区间； (2)若对 1x  ，   11f x x x  ≤ 恒成立，求 a的取值范围． 19.（17 分) 已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F，在第一象限内的点  1 1 1,A x y 和第二象限内的点  1 1 1,B x y  都在抛物线C上，且直线 1 1AB 过焦点F．按照如下方式依次构造点 ( 2,3, )nA n   ： 过点 1nA  作抛物线 C的切线与 x轴交于点 1nD  ，过点 1nD  作 x轴的垂线与抛物线 C相交于 点 nA ，设点 nA 的坐标为  ,n nx y ．用同样的方式构造点 ( 2,3, )nB n   ，设点 nB 的坐标为  ,n nx y  ． (1)求 的值 (2)证明：数列   ,n nx x 都是等比数列； (3)记 16n n n na x x  ，求数列 na 的前 n项和 nS ； 11xx  null