专题01 实数（考题猜想，压轴必刷5大题型）七年级数学下学期新教材沪科版

专题01 实数 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 无理数整数部分的有关计算 1 题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合 3 题型三 新定义下的实数运算 7 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 10 题型五 与实数运算相关的规律题 14 题型一 无理数整数部分的有关计算 1.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知为的整数部分，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合 1.（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 题型三 新定义下的实数运算 1.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）对于两个实数a，b（其中），定义一种新运算： 如：那么 ． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 1.（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 2．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． a 4 400 0.02 0.2 2 20 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 4．（23-24八年级上·河北沧州·期中）探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 题型五 与实数运算相关的规律题 1.观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 2．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 3．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 4．先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 5．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． $$专题01 实数 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 无理数整数部分的有关计算 1 题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合 3 题型三 新定义下的实数运算 7 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 10 题型五 与实数运算相关的规律题 14 题型一 无理数整数部分的有关计算 1.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知为的整数部分，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键； 本题根据实数估算的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4； 故答案为：4； 3．（23-24七年级下·北京·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知、分别是的整数部分和小数部分，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分，已知字母的值求代数式的值，先得出，再由、分别是的整数部分和小数部分，得出，最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵、分别是的整数部分和小数部分， ∴， 则． 故答案为： 5．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：的算术平方根是3， ，即； 的立方根是2， ， 即， 是的整数部分，而， ， ， ∴的平方根为． 题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合 1.（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是绝对值最小的数． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】题主要考查了立方根，平方根，算术平方根，正确理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先根据立方根和平方根的定义得到关于a、b的值，再由绝对值的性质可求出c的值； （2）把（1）中a，b，c的值代入，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵c是绝对值最小的数， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的平方根是，的立方根为，则，再解出，即可作答． （2）把代入，得出，再求其的算术平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴， 则的算术平方根是． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，的立方根是2． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后，再根据算术平方根的定义即可求得答案； （2）将，的值代入中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案． 本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得，的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，的立方根是2 ，， 解得：，， 则； （2）解：∵，， ∴， ∴， 则， 即的立方根为． 4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义列方程组求解即可； （2）将（1）中的结果代入中求出值，再求平方根即可． 【详解】（1）由的立方根是3， 的算术平方根是4， 可得：， 解得：． （2）由（1）可知， ∵， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了算术平方根，解方程组，平方根和立方根的定义等知识点， （1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算即可解答； 熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴的算术平方根． 题型三 新定义下的实数运算 1.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解． 【详解】由题意可知，， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）对于两个实数a，b（其中），定义一种新运算： 如：那么 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义下的实数混合运算，根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【知识点】算术平方根的实际应用、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）规定表示一对数对，给出如下定义：，，与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______； (2)若数对的一个“对称数对”是，则的值是______； (3)若数对一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)与 (2)1 (3)或 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得出答案； （3）根据新定义得出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 数对的一对“对称数对”是与， 故答案为：与 （2）解：数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：1； （3）解：数对一个“对称数对”是， 或， 或． 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 1.（24-25八年级上·福建宁德·期中）探究发散： (1)完成下列填空 ① 3 ，② 0.5 ，③______， ④ 0 ，⑤ ，⑥______． (2)根据上述计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：______． (3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简： 【答案】(1)6； (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) 【知识点】化简绝对值、与算术平方根有关的规律探索题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．． （1）先计算平方，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，，，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6；； （2）解：不一定等于a， 规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 （3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知，，， ，， ． 2．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)0.02，0.2，2，20 (2)24.08，68 (3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，它的算术平方根扩大或缩小10倍，说明见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）由表格可以发现被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律即可得到答案； （3）根据解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：，，，， 填表如下： a 4 400 0.02 0.2 2 20 故答案为：0.02，0.2，2，20； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24.08，68； （3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 4．（23-24八年级上·河北沧州·期中）探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，； (2)a扩大100倍，扩大10倍 (3)，32400； (4) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：（1），， 故答案为，； （2）a扩大100倍，扩大10倍． （3）①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）∵，， ∴， 故答案为： 题型五 与实数运算相关的规律题 1.观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】河南省平顶山市汝州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 2．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】2024--2025学年华东师大版数学八年级上册期中自我评估试卷 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 3．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【来源】安徽省安庆市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 4．先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【来源】广东省江门市蓬江区省实学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】与实数运算相关的规律题、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 5．先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【来源】广东省东莞市弘正学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】数字类规律探索、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． $$