精品解析：湖北省黄石市黄石市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年下学期八年级3月质量监测数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A ，2， B. C. 5，12，13 D. 6，8，10 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 点到坐标原点的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 5 5. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（　　） A B. C. 6 D. 6. 已知、、在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，长方形的边在数轴上，点的坐标为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧与数轴交于点，则点表示的实数是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，那么的值是（　　） A. B. C. 8 D. 9 9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形的边长为、的边长为、的边长为，则正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知实数、满足，则___________． 12. 若一个等腰三角形的腰长为20，底边长为24，则其底边上的高为___________． 13. 若，那么的取值范围是___________． 14. 如图，长方体高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点开始，爬向顶点，那么它爬行的最短路程为___________． 15. 如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________． 三、解答题（共9小题，满分75分，解答题要有必要的文字说明） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简：，再求当时的值． 18. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 19. 如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，且． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 20. “草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级的小吒和小丙学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为18米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小丙的身高为米． （1）求风筝垂直高度； （2）如果小丙想使风筝沿方向下降6米，则他应该往回收线多少米？ 21. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 22. 2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． （1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：； （2）解决问题：如图2，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，且满足． （1）如图1，则点A坐标___________，点坐标___________，___________； （2）如图2，若点在第一象限且满足，，线段交轴于点，求线段的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点，满足．请探究、之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期八年级3月质量监测数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可，掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2. 分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A. ，2， B. C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，直角三角形，故此选项不符合题意， B．，不直角三角形，故此选项符合题意， C．，是直角三角形，故此选项不符合题意， D．，是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 4. 点到坐标原点的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标，勾股定理求两点之间的距离的运用，理解点的位置，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理求解． 【详解】解：点到坐标原点的距离是， 故选：D ． 5. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（　　） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 已知、、在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴的特点，绝对值、二次根式的性质化简，整式的混合运算，理解数轴的特点，掌握整式的混合运算，二次根式的化简是解题的关键． 根据数轴特点得到，再结合绝对值、二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，，， ∴，， ∴ ， 故选：A ． 7. 如图，长方形的边在数轴上，点的坐标为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧与数轴交于点，则点表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，勾股定理的运用，理解数轴的特点，两点之间距离的计算，运用勾股定理求线段长是关键． 根据数轴特点得到线段，由勾股定理得到，结合点的移动即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：C ． 8. 已知，那么的值是（　　） A. B. C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件的运用，掌握二次根式被开方数为非负数是关键． 根据二次根式的性质得到的值，代入计算即可． 【详解】解：已知， ∴， ∴，则， ∴， 故选：C ． 9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形的边长为、的边长为、的边长为，则正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图形面积与勾股定理是解题的关键． 根据题意，，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，正方形的边长为、的边长为、的边长为，的边长为，设的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴正方形的边长为， 故选：A ． 10. 已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，设，则，在中由勾股定理得到，则，结合三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据折叠可得，， ∴设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D ． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知实数、满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根、算术平方根的非负性、二次根式的加减运算等知识点，根据非负数的性质求得m、n的值是解题的关键．先根据非负数的性质求得m、n的值，然后代入代数式运用二次根式的加减运算法则计算即可． 详解】解：∵实数、满足， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若一个等腰三角形腰长为20，底边长为24，则其底边上的高为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．先画出图形，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图，，，为底边上高， 在中，，， 则， 在中，，， ， 故答案为：16． 13. 若，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式被开方数为非负数列式，求不等式的解集即可求解． 【详解】解：根据题意得到，，， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形，一只蚂蚁从顶点开始，爬向顶点，那么它爬行的最短路程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径的计算，掌握勾股定理是关键． 根据题意，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图， （1）； （2）， 由于； 则蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：． 15. 如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与不重合），连接，当是等腰三角形时，则的长为___________． 【答案】或12 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的定义，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义得到，，，当时，；当时，解得；由此即可求解． 【详解】解：， ， 是的平分线， ， ， ， ， 如图，作于， 在Rt中，， ， ， ， 在Rt中，， ， 在中，， ， 当时， ∴； 当时， ∵， ∴，， 在中，，即 ∴， 解得，， 点与不重合， ， 综上所述：当是等腰三角形时，的长为或12． 故答案为：或12． 三、解答题（共9小题，满分75分，解答题要有必要的文字说明） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简：，再求当时的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式，分式的混合运算法则是关键． 根据二次根式的混合运算法则，分式的化简求值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图，四边形中，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解； （2）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， 则； 【小问2详解】 解：根据题意得：． 19. 如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，且． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可知，结合，根据勾股定理逆定理即可推出是直角三角形，得证； （2）设，根据垂直平分线的性质可知，则，在中利用勾股定理解得，进而得到，即可求得的周长． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：设， 垂直平分， ， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 解得：， 即，． 的周长． 20. “草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟．儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级的小吒和小丙学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为18米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小丙的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小丙想使风筝沿方向下降6米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示中的线段的数量关系，正确运用勾股定理是关键． （1）在Rt中，由勾股定理得，根据即可求解； （2）如图风筝下降到点，由勾股定理得到（米），根据米即可求解． 【小问1详解】 解：在Rt中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为25.6米； 【小问2详解】 解：如图风筝下降到点，由题意得，（米）， （米）， （米）， 米， 他应该往回收线米． 21. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式等，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法化简即可； （2）可得，按照题中步骤，求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ． 22. 2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距． （1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】（1）农场会受到台风的影响，理由见解析； （2）小时． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． （1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：农场会受到台风的影响，理由如下： 如图，过作于， ， ， ， 的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； 【小问2详解】 解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是（小时）． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足，求证：； （2）解决问题：如图2，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造合理的辅助线是解题的关键． （1）根据题意，垂足为，由勾股定理即可求解； （2）如图所示，连接相交于点，由勾股定理得到，再证明，由即可求解． 【小问1详解】 证明：，垂足为，如图1， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接相交于点， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，且满足． （1）如图1，则点A坐标___________，点坐标___________，___________； （2）如图2，若点在第一象限且满足，，线段交轴于点，求线段的长； （3）如图3，在（2）条件下，若在第四象限有一点，满足．请探究、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），, （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质求出b的值，然后再求出a的值，如图1所示：取的中点，连接，则再证明为等边三角形 ，得出，求出即可； （2）求出，即，可得，易得，证明即有，可得，得出，进而有，可得，即有，进而完成解答； （3）由（2）可知：，可得，进而有，延长至F，使，连接，过A点作于点，根据，即有，进一步有，即可证明，接着证明，进而完成解答． 【小问1详解】 解： 有意义， ，解得：， 点在轴的负半轴上， ， ， ， 点， ， ， ， 如图1所示：取的中点，连接，则 则， ， 为等边三角形， ， ． 【小问2详解】 解：， 在中，，即， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，. 【小问3详解】 解：，理由如下： 由（2）可知：， ， ， ， ， 如图3：延长至，使，连接，过A点作于点， ， ， ， ， ， ， 又， , ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题主要，考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、中点公式，勾股定理等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$