专题01（难点）中考数学中的存在性-2025年中考数学重难热点提升精讲与实战训练（江苏专用）

专题01（难点）中考数学中的存在性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、新定义的存在性 1 二、三角函数值的存在性 3 三、正方形的存在性 4 四、矩形的存在性 4 五、菱形的存在性 5 六、定值的存在性 6 七、（等腰）直角三角形的存在性。 8 八、相似的存在性 9 九、面积关系的存在性 10 十、最值的存在性 12 一、新定义的存在性 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）． （1）b＝　　，c＝　　． （2）连接BD，求直线BD的函数表达式． （3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长． 2．在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”． (1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值． 3．对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．    (1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______； (2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数； (3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由． 4．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 5．【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示． 【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 6．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 二、三角函数值的存在性 7．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值； (3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 三、正方形的存在性 8．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、矩形的存在性 9．如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 五、菱形的存在性 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 11．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 六、定值的存在性 12．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 13．已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值． 14．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 15．如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 七、（等腰）直角三角形的存在性。 16．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 17．如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为 （1）若 ①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值 ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由 （2）当P点不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由. 18．如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中． （1）求、两点的横坐标； （2）若是以为腰的等腰三角形，求的值； （3）二次函数图像的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 八、相似的存在性 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 九、面积关系的存在性 20．如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．    (1)求二次函数的表达式； (2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________． 21．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． （1）求的度数及点的坐标； （2）求的面积； （3）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 22．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． （1） ， ； （2）若点在点的上方，且，求的值； （3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标． 23．如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个． 十、最值的存在性 24．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由． (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标． 25．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，等边中，，点在上，从A向运动，运动速度为1cm/s；点在上，从向运动，运动速度是，两点同时出发，设运动时间为，当一点到达终点时，另一点停止运动．连接、，交点为． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，取中点，为上一动点，连接、，则的最小值为______； (3)若，求为何值时，的值最小，并求出最小值是多少？ 27．如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中． （1）求的值； （2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形的面积． 28．如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值． 29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．    (1)求点的坐标； (2)随着点在线段上运动． ①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 ． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01（难点）中考数学中的存在性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、新定义的存在性 1 二、三角函数值的存在性 17 三、正方形的存在性 20 四、矩形的存在性 26 五、菱形的存在性 31 六、定值的存在性 39 七、（等腰）直角三角形的存在性。 49 八、相似的存在性 58 九、面积关系的存在性 60 十、最值的存在性 73 一、新定义的存在性 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）． （1）b＝　　，c＝　　． （2）连接BD，求直线BD的函数表达式． （3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长． 【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4） 【详解】（1）把代入，列方程组求出b，c的值； （2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式； （3）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t的值； （4）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长． 【详解】解：（1）把代入， 得，解得， 故答案为：，． （2）∵ ， ∴该抛物线的顶点坐标为； 设直线BD的函数表达式为， 则，解得， ∴． （3）存在，如图1、图2． 由题意得，， ∴，； ∵，且， ∴，解得＜t＜，且； ∵， ∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形， ∴； 由， 解得，（不符合题意，舍去）； 由， 解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． （4）由（2）得，抛物线的对称轴为直线， 过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G， 如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方， 当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高， 此时点Q与点A重合， ∵， ∴， ∴， ∴ ＝＝6， ∴R（0，4）； 如图4，为原图象的局部入大图， 当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方， 由， 得，， ∴GR＝； 设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2）， ∴GR＝＝r2＋r＝， ∴当r＝时，GR的最小值为， ∴R（0，）； 如图5，为原图象的缩小图， 当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方， 当点M与点B重合时，点R的位置最高， 由， 得，， ∴GR＝＝＝28， ∴R（0，26）， ∴， ∴点R运动路径的长为． 【点睛】本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题． 2．在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”． (1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值． 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3)1 【详解】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断； （2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC； （3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解． 【详解】（1）不存在， 理由如下： 假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD， ∵在正方形ABCD中，点O在边BC上， ∴∠ABO=90°， ∵△OAB≌△OCD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， ∴CD⊥DO， ∵CD⊥BC， ∴， ∵O点在BC上， ∴DO与BC交于点O， ∴假设不成立， 故正方形不存在“等形点”； （2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图， ∵O点是四边形ABCD的“等形点”， ∴△OAB≌△OCD， ∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD， ∵，OA=5，BC=12， ∴AB=CD=，OA=OC=5， ∴OB=BC-OC=12-5=7=OD， ∵AM⊥BC， ∴∠AMO=90°=∠AMB， ∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a， ∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，， ∴，即， 解得：，即， ∴MC=MO+OC=， ∴在Rt△AMC中，， 即AC的长为； （3）如图， ∵O点是四边形EFGH的“等形点”， ∴△OEF≌△OGH， ∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH， ∵， ∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO， ∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE， ∴OE=OH， ∵OF=OH，OE=OG， ∴OF=OG， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 3．对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．    (1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______； (2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数； (3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是 【详解】（1）根据“可旋四边形”的性质可得，根据正方形的判定可得菱形为正方形，根据正方形四条边都相等的性质即可求解； （2）连接，根据“可旋四边形”的性质和题意可得，，推得，根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理即可求出结果； 分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，根据垂直平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，求得，即可证明四边形是“可旋四边形”． 【详解】（1）解：∵菱形为“可旋四边形”， 则菱形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合， 即， 则菱形为正方形， ∵菱形的面积为， ∴菱形的边长是． 故答案为：． （2）解：连接，如图：    ∵四边形为“可旋四边形”，且点是四边形的一个“旋点”， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． （3）解：四边形是“可旋四边形”；理由如下： 分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，如图：    ∵点在线段和线段的垂直平分线上， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则， 即， ∴四边形是“可旋四边形”． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线，构建全等三角形． 4．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)见解析 (3)n的取值范围为且 【详解】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． （3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 5．【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．    【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 【答案】（1）；（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；（3）①④；（4），见解析 【详解】（1）证明，得出，进而勾股定理求得，即，整理后即可得出函数关系式； （2）若为图像上任意一点，则．设关于原点的对称点为，则．当时，可求得．则也在的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解； （3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解； （4）将（1）中的4换成，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解． 【详解】（1）在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴，∴． ∵，点是的中点，∴． 在中，， ∴．∴． ∴关于的表达式为：． （2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称． 理由如下： 若为图像上任意一点，则． 设关于原点的对称点为，则． 当时， ． ∴也在的图像上． ∴当取任意实数时，的图像关于原点对称． 函数图像如图所示．    （3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确， ②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误； ③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误； ④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． （4）关于的函数表达式为； 当取任意实数时，有如下相关性质： 当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为； 当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为； 函数图像经过原点； 函数图像关于原点对称； 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式是解题的关键． 6．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)图见解析（答案不唯一） (3)或． 【详解】（）根据平移的性质，进行求解即可； （）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）解：∵点的坐标分别是、、， ∴， ∴，， ∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴或， 如图，当 DE在外时,分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴上半轴时，   ,, , ∴； 同理当在内时，分别以点D,E为圆心,3为半径画弧,两弧交于点F,则取点F在y轴下半轴时，   ,, ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 二、三角函数值的存在性 7．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值； (3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)，， 【详解】（1）二次函数与y轴交于点，判断，根据，即二次函数对称轴为，求出b的值，即可得到二次函数的表达式； （2）证明，得到，即，设，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用求出t的值，即可，的值，进一步得出tan∠CDA的值； （3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴，即， ∵，即二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， 设：，点D在第一象限， ∴，，， ∴， 解得：（舍），（舍）， 当时，， ∴，， ∴， ∵在中， ∴ （3）解：存在， 如图，（2）图中关于对称轴对称时，， ∵点D的坐标为， ∴此时，点C的坐标为， 如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即， 当点C在x轴上方时， 过点C作CE垂直于x轴，垂足为E， ∵，点C、D关于对称轴对称， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点C的坐标为， ∴，， ∴ 解得：，（舍）， 此时，点C的坐标为， 当点C在x轴下方时， 过点C作CF垂直于x轴，垂足为F， ∵，点C、D关于对称轴对称， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点C的坐标为， ∴，， ∴ 解得：（舍），， 此时，点C的坐标为， 综上：点C的坐标为，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 三、正方形的存在性 8．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【详解】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 四、矩形的存在性 9．如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 【答案】(1) (2)9 (3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或 (4)证明过程见解析 【详解】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，过点P作于点E，利用点的坐标表示出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）当为矩形的边时，画出符合题意的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点P的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出结果；当为对角线时，画出相应的图形，求出结果即可； （4）利用配方法求得抛物线的顶点坐标、对称轴，再利用待定系数法求得直线、的解析式，进而求得点I、G的坐标，利用点的坐标表示出线段、的长度，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点P作于点E，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ； （3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： 如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， 分解因式得：， 解得：（舍去），（舍去），， ∴此时点Q的坐标为：． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或； （4）证明：∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的中点． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 五、菱形的存在性 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【详解】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． （3）如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（不合题意，舍去）或 故 答：点的横坐标为 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 11．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为，，补图见解析 (3)、、、 【详解】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据平行线的性质可得，求得，进而分别求得，，根据可得，设直线交轴于点，则，．进而可得，的解析式为，，连接交抛物线于，连接交抛物线于，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解． （3）①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于，设，根据两点距离公式可得，根据中点坐标公式可得，②以为边，如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，根据勾股定理求得，进而得出，，根据平移的性质得出，，③以为边，如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，连接，，则，过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，则、，根据，可得，过点作，过作，和相交于点，的中点．根据中点坐标公式可得； 【详解】（1）解：∵把点，代入得 ， 解得， ∴． （2）存在． 理由：∵轴且， ∴， ∴（舍去），， ∴． 过点作于点， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 设直线交轴于点， ，， ∴，． 连接交抛物线于，连接交抛物线于， ∴，的解析式为，， ∴，解得， 或，解得． ∴把，代入得，， ∴，． 综上所述，满足条件的点坐标为，． （3）、、、． 方法一： ①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于 ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ． ②以为边 如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，， 过点作，过点作，和相交于点，同理可得 ，， ， ． 过点作直线于点，则； 在和中，由勾股定理得， ， ，． 点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， ，， ③以为边 如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和， 连接，，则， 过点作于点，则，在和中，由勾股定理得， ， 、， ， ， 、、三点共线， 过点作，过作， 和相交于点， ∵、， 的中点． ，点为的中点， ． 综上所述：、、、． 六、定值的存在性 12．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标； （3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）（2）或（3）为定值，定值为8． 【详解】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值． （2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标． （3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值． 【详解】（1）∵抛物线经过点，． ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为． （2）①若点在轴下方，如图1， 延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点． ∵当，解得：， ∴ ∵，， ∴，，，， ∴中，，， ∵，为中点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴中，，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴中，，，. ∴，， ∴，，即， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：. ∵，解得：（即点），， ∴. ②若点在轴上方，如图2， 在上截取，则与关于轴对称， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：. ∵，解得：（即点），， ∴. 综上所述，点的坐标为或． （3）为定值. ∵抛物线的对称轴为：直线， ∴，， 设， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， 当时，， ∴， ∴，为定值． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算． 13．已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值． 【答案】（1）①，；②；（2）①或4；②，． 【详解】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出； （2）①，，，由或或得：或0或2，即可求解；②点的坐标为， ，即可求解． 【详解】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：， 将点的坐标代入反比例函数得：； ②由图象可以看出时，； （2）①当时，点、、的坐标分别为、、， 则，，， 则或或， 即：或或， 即：或0或2或4， 当时，与题意不符， 点不能在的下方，即也不存在，，故不成立， 故或4； ②点的横坐标为：， 当点在点左侧时， ， 的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值， 当时，此时，从而． 当点在点右侧时， 同理， 当，时，（不合题意舍去） 故，． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． 14．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】(1)①1；②；③是，值为1 (2)或 【详解】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 【详解】（1）①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，    由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【详解】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 七、（等腰）直角三角形的存在性。 16．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【详解】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 17．如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为 （1）若 ①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值 ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由 （2）当P点不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由. 【答案】（1）①；②t=2或t=6或t=2（2）见解析. 【详解】(1)①先利用勾股定理求出AC长，再根据△APB≌△APB′，继而根据全等三角形的性质推导得出∠B=∠PB′C=90°，B′C= ，再证明，根据相似三角形的性质求出PB′=2-4，由此即可求得答案； ②根据题意分三种情况，分别画出图形，结合图形分别讨论求解即可； (2)如图，根据∠PAM=45°以及翻折的性质可以证明得到△DAM≌△B′AM，从而可得AD=AB′=AB，证得四边形ABCD是正方形，继而根据题意画出图形，根据翻折的性质以及全等三角形的知识进行推导即可求得答案. 【详解】(1)①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴AC=， ∵△APB≌△APB′， ∴∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=2，BP=B′P， ∴∠B=∠PB′C=90°，B′C=AC-AB′=， 又∵∠PCB′=∠ACB， ∴， ∴， 即， ∴PB′=2-4， ∴PB=2-4， 即t=2-4； ②如图，当∠PCB′=90 °时，此时点B′落在BC上， 在Rt△AB′D中，∠D=90°，∴B′D=， ∴B′C=， 在△PCB′中，由勾股定理得：， 解得t=2； 如图，当∠PCB′=90 °时，此时点B′在CD的延长线上， 在Rt△AB′D中，∠ADB′=90°，∴B′D=， ∴B′C=3， 在△PCB′中，由勾股定理得：，解得t=6； 当∠CPB′=90 °时，易得四边形ABPB′为正方形， ∴BP=AB=2， 解得t=2； 综上，t=2或t=6或t=2； (2)如图 ∵∠PAM=45°， ∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45°， 又∵翻折， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠ADM=∠AB′M=90°，AM=AM， ∴△DAM≌△B′AM， ∴AD=AB′=AB， ∴四边形ABCD是正方形， 如图， 设∠APB=x， ∴∠PAB=90°-x， ∴∠DAP=x， ∵AD=AB′，AM=AM，∠ADM=∠AB′M=90°， ∴Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL)， ∴∠B′AM=∠DAM， ∵翻折， ∴∠PAB=∠PAB′=90°-x， ∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x， ∴∠DAM=∠DAB′=45°-x， ∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°. 【点睛】本题是四边形综合题，涉及了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确画出符合题意的图形，熟练运用相关知识是解题的关键. 18．如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于、两点，点在点的右侧，直线分别与、轴交于、两点，其中． （1）求、两点的横坐标； （2）若是以为腰的等腰三角形，求的值； （3）二次函数图像的对称轴与轴交于点，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点、横坐标分别为，；（2）的值为或；（3）存在，的值为或，见解析. 【详解】（1）根据二次函数与一次函数相交，可列出一元二次方程，求得、坐标. （2）根据是以为腰的等腰三角形，则和,可列出含有的方程并求解. （3）分在轴上方和在轴下方两种情况，作辅助线，应用勾股定理等公式进行求解. 【详解】（1）二次函数的图像与一次函数的图像交于、两点， 联立， 解得：或． 点在点的右侧， 点、横坐标分别为，． （2）由（1）得点坐标为，点坐标为， 故，，． 若是以为腰的等腰三角形 ①当时，，解得：，． ②当时，，解得：，（舍） 综上所述：的值为或或． （3）存在． ①点在轴上方时，则，即时， 过点作点，在上作点，使， ，轴， 轴 ， ， ， 轴，， ，． ． 又，， ，， ，，，， ，，， ， 解得：，（舍） ②点在轴下方时，则即时， 过点作直线于点，在的延长线上作点，使． ，轴， 轴，． ， ． 轴，． ， ， ． 又，． ． ，，，， ， ， ， 解得：，（舍）． 综上所述：存作实数，使得，的值为或． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程组的求解，三角形的勾股定理，等腰三角形中角的关系、边长的关系等定理. 八、相似的存在性 19．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 九、面积关系的存在性 20．如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．    (1)求二次函数的表达式； (2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)或． 【详解】（1）用待定系数法求解即可； （2）证明，得，由，得到，则的最小值就是的最小值，当时，求得最小，则最小，即的值最小，再求出，代入即可求解； （3）根据相似三角形的性质求得，则，如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，证明，得到，则，设，则，，由勾股定理，得：，解得：，（舍去），则，，从而求得，然后用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线与抛物线的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：把，分别代入，得 ，解得：， ∴； （2）解：∵二次函数与x轴交于两点，顶点为C， 根据抛物线的对称性，∴，， 由翻折可得：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值就是的最小值， ∵ ∴ ∴ ∴当时，最小，则最小，即的值最小， ∴的最小值 ∴的最小值为． （3）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，    ∵， ∴，， ∴， 由翻折可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，（舍去）， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把 ，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得，则 解得：， ∴直线与二次函数的交点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，求二次函数与一次函数交点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，本题属二次函数综合题目，难度较大． 用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 21．如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． （1）求的度数及点的坐标； （2）求的面积； （3）的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在最大值，的面积的最大值为． 【详解】(1)如图，作于M，于， 于，证明，，可得，，PM=PN，继而证明四边形PMON是正方形，可得，则可求得，再设，由在上，利用待定系数法求得m的值即可得； (2)设，，则， ，利用勾股定理求出，之间的关系，证明△AOC∽△AMP，利用相似三角形的性质表示出，同法可得，再根据三角形的面积公式进行求解即可解决问题； (3)设，，则，，可得，推出，可得，由(a-b)2≥0，可得a2+b2≥2ab，继而根据a>0，b>0，可得a+b≥2，由此可确定出ab的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】(1)如图，作于M， 于，于， ， ，， ， ，， 同理可证：， ，， ， ， 四边形是矩形， ∴四边形PMON是正方形， ， ， ， 可以假设， 在上， ， ， ， ； (2)∵，， ∴AM=AH，BN=BH， 设，，则，， ， ， ， 可得， ， ， ∴△AOC∽△AMP， ， ， ，同法可得， ； (3)设，，则， ， ， ， ， ∵(a-b)2≥0， 即a2-2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab， ∴(a+b)2-2ab≥2ab， ∴(a+b)2≥4ab， ∵a>0，b>0， ∴a+b≥2， ， ， ， ， ， 的面积的最大值为． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，基本不等式等知识，综合性较强，有一定的难度，利用参数构建方程解决问题是解题的关键. 22．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． （1） ， ； （2）若点在点的上方，且，求的值； （3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标． 【答案】（1）1，﹣2；（2）m=0或2；（3）①存在，且，，；②或． 【详解】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b，于是可得抛物线的解析式，再把点B的坐标代入抛物线的解析式即可求出n； （2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点P（m，0），则点M、N的坐标可得，于是MN的长可用含m的代数式表示，由MN=3可得关于m的方程，解方程即可求出m的值； （3）①易求出平移后直线CD的解析式，进而可得点C坐标，然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线NC的解析式，设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，然后即可用含m的代数式表示出和，由可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出结果； ②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2，由条件，根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK，然后根据两个角的正切相等即可求出CK的长，于是可得点F的坐标，进而可求出直线OF的解析式，进一步即可求出直线OF与抛物线交点的横坐标；当旋转后点F在点C右侧时，易得满足的点F不存在，从而可得答案． 【详解】解：（1）把代入抛物线，得，解得：b=1， ∴抛物线的解析式是：， ∵点在抛物线上， ∴， 故答案为：1，﹣2； （2）设直线的解析式是，把点、两点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式是， 如图1，∵点P（m，0），∴点M（m，﹣m+1）、N（m，）， 当点在点的上方时，则 ， 当时，，解得：m=0或2； （3）①直线向上平移4个单位长度后的解析式为， ∴点C、D的坐标分别是（5，0）、（0，5）， 则由、C（5，0）可得直线AC的解析式为， 由N（m，）、C（5，0）可得直线NC的解析式为， 设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2， 当x=3时，，∴点E（3，）， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 由于当时，， 此时点N在直线AC的下方，故舍去； 当时，，； ∴存在，使，且此时，； ②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线AB的解析式为， ∴∠AMG=45°， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴∠AMF=90°，MA=MF， ∴△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形， ∴AG=GM=MH=FH=m+1， ∵M（m，﹣m+1）， ∴KH=PM=m－1， ∴FK=（m+1）－（m－1）=2， ∵，∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF， ∴45°+∠QBF+∠AOD－∠BFC=45°， ∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK， ∵FK∥BQ，∴∠QBF =∠BFK， ∴∠AOD=∠CFK， ∴， ∴，OK=4， ∴点F的坐标是（4，2）， ∴直线OF的解析式是， 解方程：，得； 当旋转后点F在点C右侧时，满足的点F不存在； 综上，直线与该二次函数图象交点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 23．如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个． 【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4 【详解】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）求出OC的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可． 【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4） 设直线AB的解析式为， 把A，B点坐标代入得 解得， 所以，直线AB的解析式为：； （2）对于直线AB： 当时， ∴ ∴==6 （3）设点P的坐标为（，） ∵的面积等于的面积的一半， ∴的面积等于=3， ①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； ②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； 综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论． 十、最值的存在性 24．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由． (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)2或或 【详解】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，可得的周长的最小值为； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可． 【详解】（1）将代入， ∴， 解得， ∴； （2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B点关于直线对称， ∴， ∴的周长， ∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值， 当时，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， （3）设， 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍）或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：M点横坐标为2或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 25．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的周长的最小值，点M的坐标为 (3)存在，或或 【详解】（1）用待定系数法即可求解； （2）连接交于点M，此时最小，进而求解； （3）分、两种情况，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 26．如图，等边中，，点在上，从A向运动，运动速度为1cm/s；点在上，从向运动，运动速度是，两点同时出发，设运动时间为，当一点到达终点时，另一点停止运动．连接、，交点为． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，取中点，为上一动点，连接、，则的最小值为______； (3)若，求为何值时，的值最小，并求出最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)s，的最小值为 【详解】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆、相似三角形的判定于性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键 （1）根据运动速度相等可得，在根据等边三角形的性质可证，即；然后运用角的和差即可解答； （2）先说明为定角，再作的外接圆，链接，则，进而得到如图：作于M，则，解直角三角形可得；再通过轴对称和两点之间线段最短可得在同一条直线上时，有最小值；再证明四边形为矩形，运用矩形的性质以及勾股定理即可解答； （3）如图：过A作且使，作于N，连接；证明可得，进而得到当共线时，有 最小值；再证求得的长，进而求得，即可求得时间；然后再运用解直角三角形和勾股定理即可求得最小值 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵等边中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由为定角，则如图：作的外接圆，连接，则， ∴， ∴， ∴ 如图：作于M，则， ∴， 如图：作P关于的对称点，连接交于T， ∴， 如图：过作交延长线于R， 由两点之间、线段最短可得：， ∴， ∴当在同一条直线上时，有最小值， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． （3）解：如图：过A作且使，作于N，连接， 由题知：，即， ∵， ∴    ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 由两点之间线段最短可得：，即    ， ∴当共线时，有 最小值， ∵， ∴，， ∴，2， ∴，， ∴，的值为． ∴当的值为时，的最小值为． 27．如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中． （1）求的值； （2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形的面积． 【答案】（1）8cm；（2）存在，当t=4时，线段OB的长度最大，最大为；（3） 【详解】（1）根据题意可得，，由此可求得的值； （2）过作，垂足为，则，设线段的长为，可得，，，根据可得，进而可得，由此可得，由此可得，则可得到答案； （3）先证明是等腰直角三角形，由此可得，再利用勾股定理可得，最后根据四边形的面积即可求得答案． 【详解】解：（1）由题可得：，． ∴． （2）当时，线段的长度最大． 如图，过作，垂足为，则． ∵平分， ∴， ∴，． 设线段的长为， 则，，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴． ∴当时，线段的长度最大，最大为． （3）∵， ∴是圆的直径． ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴ ． 在中，． ∴四边形的面积 ． ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定及性质，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． 28．如图：已知抛物线与x轴交于A、两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为，点P是抛物线上第一象限内的点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，是否存在点P，使的内心恰好在直线上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，交x轴于点D，交于点E，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点 (3) 【详解】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据使的内心恰好在直线上，得出平分，即，过点作轴的平行线交于点，证出，求出直线的表达式设点，则点，根据，列方程求解即可； （3）由抛物线的表达式知，点，得出，设点，根据，直线的表达式为：，求出直线的表达式，从而求出点，，得出的最大值为，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，即可得出取得最大值时，取得最小值即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 故抛物线对应的函数表达式为：． （2）存在，理由： ∵使的内心恰好在直线上， 则平分，即， 过点作轴的平行线交于点， 则， 则， 设直线的表达式为：， 由点的坐标得，， 解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 由点的坐标得，， 解得：， 则点； （3）∵抛物线的表达式， 令，则，解得：或， ∴点， 则， 设点， ∵，直线的表达式为：， 设直线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 令，则，解得：， 则点， 则， 故的最大值为， ∵，则， 则， 故取得最大值时，的最小值为：， 即的最小值为：． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．    (1)求点的坐标； (2)随着点在线段上运动． ①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 ． 【答案】(1)，； (2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为； (3) 【详解】（1）得，解方程即可求得的坐标，把化为顶点式即可求得点的坐标； （2）①在上取点，使得，连接，证明是等边三角形即可得出结论；②由，得当最小时，的长最大，即当时，的长最大，进而解直角三角形即可求解； （3）设的中点为点，连接，过点作于点，证四边形是菱形，得，进而证明得，再证，得即，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， 令，， 解得或， ∴； （2）解：①的大小不变，理由如下： 在上取点，使得，连接，    ∵， ∴抛物线对称轴为，即， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴， ， ， ∴，   ∴是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，即的大小不变； ②，∵， ∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴，   ∴ ， ∴ ， ∴ ，即线段的长度存在最大值为； （3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，    ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵的中点为点， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵的中点为点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴，   ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$