专题4.8 探究三角形全等几何模型——一线三等角（2大知识点6类题型）（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.8 探究三角形全等几何模型——一线三等角（2大知识点6类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 【知识点一】一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角，“一线三等角”也称之为 “K 形图”。 【知识点二】一线三等角的分类 （1）三等角在直线同侧，如下图 锐角 直角 钝角 （2）三等角在直线异侧，如下图 考点与题型目录 【模型基本夯实】 【题型1】一线三直角同侧模型.................................................2 【题型2】一线三直角异侧模型.................................................3 【题型3】作辅助线构造一线三直角模型.........................................5 【题型4】一线三等角（非直角）模型...........................................6 【题型5】一线三直线与一线三等角综合模型.....................................7 【模型延伸拓展】 【题型6】一线三直线与一线三等角拓展延伸模型.................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一线三直角同侧模型 【例1】（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，，，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，经过点A，，，点D，E为垂足． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线交于点F，请判断与之间的关系，并说明理由． 【题型2】一线三直角异侧模型 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知：如图，在平面上，将等腰直角三角板的直角顶点C放在直线上，点A，B位于直线的两侧，作于点D，于点E，点E在点D的左侧、求证：．嘉淇给出了证明过程： 证明：∵，， ∴． ∵，， ∴（①___）， ∴，②___． 又， ∴． 如果嘉淇的证明过程正确，那么①②分别为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，，，，垂足分别为． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积． 【题型3】作辅助线构造一线三直角模型 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ． 【变式1】（2024·重庆·三模）如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A．α B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川·期中）如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时， ． 【变式3】（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【题型4】一线三等角（非直角）模型 【例4】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，点是上一点，过点作，点在上方，连接，，与互补，求证：． 【变式】（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【题型5】一线三直线与一线三等角综合模型 【例5】（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】（2）如图2，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，顶点在过、两点的直线上： （1）若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； （2）若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； （3）①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 【题型6】一线三直线与一线三等角拓展延伸模型 【例6】（24-25八年级上·河南漯河·期末）综合与实践 （1）操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． （2）开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． （3）拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.8 探究三角形全等几何模型——一线三等角（2大知识点6类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型归纳与题型目录】 【知识点一】一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角，“一线三等角”也称之为 “K 形图”。 【知识点二】一线三等角的分类 （1）三等角在直线同侧，如下图 锐角 直角 钝角 （2）三等角在直线异侧，如下图 考点与题型目录 【模型基本夯实】 【题型1】一线三直角同侧模型.................................................2 【题型2】一线三直角异侧模型.................................................6 【题型3】作辅助线构造一线三直角模型........................................10 【题型4】一线三等角（非直角）模型..........................................16 【题型5】一线三直线与一线三等角综合模型....................................18 【模型延伸拓展】 【题型6】一线三直线与一线三等角拓展延伸模型................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一线三直角同侧模型 【例1】（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，勾股定理，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法判定出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用勾股定理求出的长，结合三角形面积公式运算即可． 解：（1）证明：∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）知： ∴，， 在中，， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，，，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由判定，再由全等三角形的性质，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 解：A.，，，，，在和中，（），结论正确，故不符合题意； B.，，结论正确，故不符合题意； C.由选项A得，结论错误，故符合题意； D.，，，结论正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，经过点A，，，点D，E为垂足． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线交于点F，请判断与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）根据一线三等角，证明，即可得证； （2）延长交于点，可得是等腰直角三角形，根据（1）可得，进而证明，证明（AAS），得出，根据三线合一可得是等腰直角三角形，然后可得． 解：（1）证明：∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下， 延长交于点，如图， ∵，的平分线交于点F， ， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴（AAS）， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴是底边上的中线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴．    【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三线合一，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型2】一线三直角异侧模型 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知：如图，在平面上，将等腰直角三角板的直角顶点C放在直线上，点A，B位于直线的两侧，作于点D，于点E，点E在点D的左侧、求证：．嘉淇给出了证明过程： 证明：∵，， ∴． ∵，， ∴（①___）， ∴，②___． 又， ∴． 如果嘉淇的证明过程正确，那么①②分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；根据推导过程结合三角形全等的判定定理即可解答． 解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 又， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 解：，，， ， ，， ，且，， ， ，， ， 故答案为：4.1． 【变式2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 解：（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，，，，垂足分别为． （1）求证：； （2）延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）9 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，证明，即可求解； （2）根据，可得，再证，得到，由，即可求解． 解：（1）证明： ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型3】作辅助线构造一线三直角模型 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）图①是一个单摆小球实验器，图②是摆球摆动过程中的示意图．已知摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得长为；当摆线位于位置时，，则此时摆球到的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作于，可证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024·重庆·三模）如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　） A．α B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰直角三角形的性质，先由，得出，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以再结合等边对等角，即可作答． 解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 即 ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·四川·期中）如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时， ． 【答案】2或6 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，分两种情形：如图1中，过点E作于H，证明，可得结论，如图2中，当时，点D与B重合，此时． 解：∵， ∴分以下两种情况： 当时，如图1中，过点E作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，当时，此时． 综上所述，满足条件的的长度为2或6． 故答案为：2或6． 【变式3】（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 【题型4】一线三等角（非直角）模型 【例4】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，点是上一点，过点作，点在上方，连接，，与互补，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键；由同角的补角相等可得，再证明即可得证． 解：证明：与互补， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式】（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键；平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； （1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明； （2）根据，得到，进而求得，再根据外角的性质得到，证得，即可求解； 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴； 【题型5】一线三直线与一线三等角综合模型 【例5】（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】（1）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】（2）如图2，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，顶点在过、两点的直线上： （1）若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； （2）若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； （3）①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2），理由见分析；（3）①；② 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理、外角定理． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②由得到，，进而求解即可； （2）根据得，据此即可求解； （3）①利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； ②设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，，可得答案． 解：（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）证明见分析；（4）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，进而可得，，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 解：（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为6． 【题型6】一线三直线与一线三等角拓展延伸模型 【例6】（24-25八年级上·河南漯河·期末）综合与实践 （1）操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． （2）开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． （3）拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论成立．证明见分析；（3）证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． 解：（1）解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，见分析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，，进而得到，然后结合得证，推出，，即可求解； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，推出，，即可证明； （3）由，，得出，证明，得出，根据，得出，即可得出结果． 解：（1）， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3），， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， 与的面积之和为． 【变式2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见分析；（2）成立，见分析；（3）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 解：（1）∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$