精品解析：重庆市九龙坡区四川外国语大学附属学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

重庆实验外国语学校2024—2025（下） 初二数学定时作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读等题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，诸将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列垃圾分类标识图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子有意义，则x的取值范围为(　　) A. x≥2 B. x≠3 C x＞2或x≠3 D. x≥2且x≠3 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 四个角相等四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它的大致图象是（ ） A B. C D. 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（ ） A. B. C. D. 8. A，B两地相距，如果平均车速提高了，则从A地到B地的时间缩短了，设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若点G是线段的中点，，，的面积为4.5，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（ ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将案写在题卡中对应的横线上． 11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000000000335米，把数据0.000000000335用科学记数法表示为______． 12. 一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为______． 13. 已知一组数据，，，的平均数是2025，则另一组数据，，，的平均数是______． 14. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为______． 15. 如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则______． 16. 若关于x的一元一次不等式组恰好有3个偶数解，关于y的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数a的和是______． 17. 如图，在矩形中，，平分，过点E作于点F，连接，过点B作于点G，，连接，将沿直线翻折至矩形所在的平面内，得，连接，过点F作交于点N，则四边形的周长为______． 18. 对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”，将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为，；5621是“顺利数”，因为，，则______．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中，、，x、y、a、b均为整数），若能被8整除，，则所有可能的值的和为______． 三、解答题（本大题8个小题，第19题16分，第25题12分，其余每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产，全球范围内对春节文化的关注度日益提升，为此某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用x表示，共分为4个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息： 七年级学生测评成绩在B组的数据为：81，83，83，83，87，88，88，89． 八年级学生测评成绩在B组的数据为：81，82，84，84，84，84，84，85，87，89． 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 84 b （1）上述图表中，则______，______，______； （2）通过上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1700人，八年级有1800人，若测评成绩不低于90分的记为优秀，估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？ 21. 如图，矩形中，，，点E是中点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿折线方向运动，到达点C时停止运动（点M不与点A、点C重合），设点M的运动时间为x秒，的面积为y． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 22. 随着环保意识的增强，太阳能充电宝颇受户外爱好者的青睐．某商场看准时机，准备购进A、B两款太阳能充电宝，已知一个A款充电宝的进价比一个B款充电宝的进价多30元，用6000元购进B款充电宝的数量是用3200元购进A款充电宝数量的3倍． （1）求购进一个A款充电宝、一个B款充电宝分别需要多少元？ （2）该商场计划购进A、B两款充电宝共100个，且花费的总价不高于6000元．购进后，商场均按高于进价的定价出售A、B两款充电宝，若充电宝全部售完，设购进A款充电宝a个，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 23. 随着城市共享单车的普及，越来越多的人选择骑行作为短途出行的方式，小李家位于点A处，决定骑共享单车前往位于点C处的健身房．根据导航显示，点B在点A的正东方向，点C在点A的东北方向，且在点B的北偏西的方向上，测得B、C两点的距离为米，点D在点A的北偏西方向上距A点1200米处． （1）求A、C两点的距离； （2）由于道路施工，小李有两条骑行路线可以选择，路线①，速度为每分钟240米，路线②，速度为每分钟180米，请通过计算说明，小李选择哪条路线才能更快地回到家？（参考数据：，，） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C和点D，且，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式： （2）若点F为线段上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G，当时，求点F的坐标及的面积； （3）如图2，将向右平移2个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，点M为上一动点，当时，请写出所有满足条件的点M的坐标，并写出求其中一个点M坐标的过程． 25. 已知正方形的边长为8，连接． （1）如图1，点E是外一点，且，连接，若，求的面积； （2）如图2，点F是射线上一点，连接，在线段上取点G，使，连接交于点H，若点N为的中点，连接，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点M是平面内任意一点，连接、，且，将线段绕点C逆时针旋转得线段，连接，若，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校2024—2025（下） 初二数学定时作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读等题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，诸将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 若式子有意义，则x的取值范围为(　　) A. x≥2 B. x≠3 C. x＞2或x≠3 D. x≥2且x≠3 【答案】D 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件可得关于x的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由题意，要使在实数范围内有意义，必须且x≠3， 故选D. 3. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：A、与不是最简二次根式，故A错误； B、与被开方数相同，故与是同类二次根式，故B正确； C、，故与不是同类二次根式，故C错误； D、，故与不是同类二次根式，故D错误； 故选：B． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中所给的已知条件逐一判断结论是否成立即可． 【详解】A：不正确，四边相等，且有一个角为直角的四边形才是正方形 B：不正确，对角线相等的平行四边形才是矩形 C：正确，四个角相等的四边形是矩形 D：不正确，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形 故答案选C 【点睛】本题主要考查了正方形，矩形和菱形的性质，熟悉掌握图形的性质特点是解题的关键． 5. 一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，且km＜0，则在坐标系中它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质以及有理数乘法的性质，求得、的符号，即可求解． 【详解】解：一次函数y＝kx－m，y随x的增大而增大，可得， ，可得， 则一次函数y＝kx－m，经过一、二、三象限， 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，涉及了一次函数的增减性，有理数乘法的性质，解题的关键是掌握一次函数的有关性质以及有理数乘法的性质，正确判断出、的符号． 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先得出，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第9个化合物的分子式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查规律型−数字的变化类,列代数式等知识点，观察图形，发现其中的规律即可得到答案，观察图形得到规律是解题关键． 【详解】观察图形可得C右下角的数字是从1开始连续的正整数，H右下角的数字是从4开始的偶数， ∴第n个化合物的分子式为， ∴第9个化合物的分子式为， 故选：D． 8. A，B两地相距，如果平均车速提高了，则从A地到B地的时间缩短了，设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 设原来的平均速度为，表示出提速后的平均速度，然后根据提速之后比原来从甲地到乙地的时间缩短了，列方程． 【详解】解：设原来的平均速度为，车速提高了后车速为，根据题意得： 故选：C． 9. 如图中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若点G是线段的中点，，，的面积为4.5，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求理，再列面积等式求得是解题的关键． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是， 故选：A． 10. 已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（ ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以， 因为 ， ∴， 故④错误． 故选B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将案写在题卡中对应的横线上． 11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.000000000335米，把数据0.000000000335用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 12. 一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若、分别平分正五边形与正六边形的一个内角，则的度数为______． 【答案】##114度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角计算，角的平分线的计算，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键； 先计算正多边形的内角，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】∵正五边形的内角为，正六边形的内角为， 、分别平分正八边形与正六边形的内角， ∴， 故答案为：． 13. 已知一组数据，，，的平均数是2025，则另一组数据，，，的平均数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是算术平均数，解决本题的关键是掌握平均数的计算方法．由，，，的平均数是2025，得，再根据平均数的计算公式计算数据，，，的平均数即可． 【详解】解：∵，，，的平均数是2025， ， ∴，，，平均数 ， 故答案为：2024． 14. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形中线定理，中位线定理和勾股定理，熟悉掌握相关的判定和性质是解题的关键．因为，平分，求得，因为点E分别是的中点, 是直角三角形, 根据直角三角形中线定理求得：，，因为点E、F分别是、的中点,根据中位线定理求得，所以，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，平分， ， 点E是的中点, 是直角三角形， ， ∴ ， 点E、F分别是、的中点, ，， ∴， ， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 16. 若关于x的一元一次不等式组恰好有3个偶数解，关于y的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数a的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用一元一次不等式组及分式方程的解求参数，学会解一元一次不等式组及分式方程是解题的关键．首先分别解一元一次不等式组及分式方程得到，，再根据一元一次不等式组恰好有个偶数解及分式方程有整数解即可解答． 【详解】解：∵， 由得：， 由得：， ∵不等式组恰好有个偶数解， ∴， ∴不等式组的个偶数解为， ∴， ∴， 解得：， ∵分式方程可化为， 解得：， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴为整数，必须为的倍数， ∵且， ∴符合条件整数为， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，平分，过点E作于点F，连接，过点B作于点G，，连接，将沿直线翻折至矩形所在的平面内，得，连接，过点F作交于点N，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证，得出，，再证与是等腰直角三角形，在直角中利用勾股定理求出的长，进一步求出的长，可通过解直角三角形分别求出，，，的长，即可求出答案． 【详解】∵在矩形中，，平分， ，， ， ∴， 于点F， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ∴， 沿直线翻折得， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 四边形的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质． 18. 对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”，将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为，；5621是“顺利数”，因为，，则______．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中，、，x、y、a、b均为整数），若能被8整除，，则所有可能的值的和为______． 【答案】 ①. 44 ②. 【解析】 【分析】本题以新定义为背景，考查了整式的运算，因式分解，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给“顺利数”的定义．对于，直接根据新定义求解即可；对于：先根据题意，得出，，再将化简，根据能被8整除，得出x和y的值，最后进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：； 设A的百位数为m，十位数为n， 则， ∴， ∴ ， ∵A为“顺利数”， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 整理得：， ∵能被8整除，，x、y均为非0整数， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∵、，a、b均为整数， ∴， ， ∴，解得，此时， 或，解得，此时， 或，解得（不合题意，舍去）， 或，解得，此时， ∴所有的可能值的和为， 故答案为：44；． 三、解答题（本大题8个小题，第19题16分，第25题12分，其余每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算； （1）先利用完全平方公式，多项式乘以多项式及单项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简，再计算分式加法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产，全球范围内对春节文化的关注度日益提升，为此某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用x表示，共分为4个组：A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息： 七年级学生测评成绩在B组的数据为：81，83，83，83，87，88，88，89． 八年级学生测评成绩在B组的数据为：81，82，84，84，84，84，84，85，87，89． 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 84 b （1）上述图表中，则______，______，______； （2）通过上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1700人，八年级有1800人，若测评成绩不低于90分的记为优秀，估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）七年级学生测评成绩更好，理由见解析 （3）七、八年级测评成绩为优秀的学生共有615人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，再求出七年级学生测评成绩在D组的人数，最后求出的值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：七年级20名学生的成绩在组中的人数有（人），在组中的人数有（人）， 七年级20名学生的成绩在组中的人数有（人）， ， 七年级学生测评成绩在B组的数据为：81，83，83，83，87，88，88，89， C组合D组共（人）， 把七年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是81，83， 故中位数， 在八年级20名学生的成绩中84出现的次数最多，为5次，故众数； 【小问2详解】 解：七年级学生测评成绩更好，理由如下： 因为两个年级成绩的平均数相同，但七年级的中位数高于八年级， 所以七年级学生测评成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：七、八年级测评成绩为优秀的学生共有615人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． 21. 如图，矩形中，，，点E是中点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿折线方向运动，到达点C时停止运动（点M不与点A、点C重合），设点M的运动时间为x秒，的面积为y． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的综合运用，涉及一次函数的图象与性质，矩形的性质，解题的关键是分类讨论，数形结合． （1）当时，点在上，根据题意得，根据求解；当时，点在上，，，根据求解； （2）当时，；当时，；当时，；描点即可画出图象，根据图象即可写出函数的性质； （3）分别令求出值，即可求解． 小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 当时，点在上，如图： 根据题意得，点到的距离为的长为， ∴； 当时，点在上，如图： 根据题意得，， ∴ ； 综上，； 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，； 画出的图象如下： 由图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：令， 解得：； 令， 解得：， ∴时x的取值范围为． 22. 随着环保意识的增强，太阳能充电宝颇受户外爱好者的青睐．某商场看准时机，准备购进A、B两款太阳能充电宝，已知一个A款充电宝的进价比一个B款充电宝的进价多30元，用6000元购进B款充电宝的数量是用3200元购进A款充电宝数量的3倍． （1）求购进一个A款充电宝、一个B款充电宝分别需要多少元？ （2）该商场计划购进A、B两款充电宝共100个，且花费的总价不高于6000元．购进后，商场均按高于进价的定价出售A、B两款充电宝，若充电宝全部售完，设购进A款充电宝a个，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】（1）一个A款充电宝80元，一个B款充电宝50元 （2），最大利润1797元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到W与a的函数关系式，从而可以求得W的最大值． 【小问1详解】 解：设购进一个B款充电宝x元，则一个A款充电宝元，根据题意可得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：购进一个A款充电宝80元，一个B款充电宝50元； 【小问2详解】 由题意可得： ， 花费的总价不高于6000元， ， 解得：， 为正整数， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1797元． 23. 随着城市共享单车的普及，越来越多的人选择骑行作为短途出行的方式，小李家位于点A处，决定骑共享单车前往位于点C处的健身房．根据导航显示，点B在点A的正东方向，点C在点A的东北方向，且在点B的北偏西的方向上，测得B、C两点的距离为米，点D在点A的北偏西方向上距A点1200米处． （1）求A、C两点的距离； （2）由于道路施工，小李有两条骑行路线可以选择，路线①，速度为每分钟240米，路线②，速度为每分钟180米，请通过计算说明，小李选择哪条路线才能更快地回到家？（参考数据：，，） 【答案】（1）A、C两点的距离米 （2）小李选择路线①才能更快地回到家 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，由题意可得，，，，依次求出，， ，，即可求解； （2）先求出，，再分别求出两条路线的骑行时间，最后判断即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 由题意可得，，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即A、C两点的距离米； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，， ∴， 如图，过作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴路线①骑行时间为（分钟）； 路线②骑行时间为（分钟）； ∴小李选择路线①才能更快地回到家． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C和点D，且，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式： （2）若点F为线段上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G，当时，求点F的坐标及的面积； （3）如图2，将向右平移2个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，点M为上一动点，当时，请写出所有满足条件的点M的坐标，并写出求其中一个点M坐标的过程． 【答案】（1） （2） （3），，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合，全等三角形的判定和性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． （1）求出点B、C、E的坐标，然后运用待定系数法求出解析式即可， （2）设，则，，可得，然后再根据，得到，再列方程求得a，进而求得及其上的高，最后根据三角形的面积公式解答即可解答； （3）点M在直线右侧和左侧，分别讨论，构造辅助线与推导角度关系，联立解析式即可解答. 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点． 当时，， ， ∴， ∵直线与x轴和y轴分别交于点A、点B， ∴令，则，令，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵点C在x轴的负半轴上， ∴ 把，，代入中得 ，解得：， ∴直线的解析式 【小问2详解】 解：∵点F为线段上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， ， 边上的高为：， ∴的面积； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ， 为等腰直角三角形， ∵将向右平移2个单位长度得到直线与y轴交于点Q， ∴,， ∴，， 当点M在直线右侧，时， 过点A作轴，交于点D， ∴轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得 ∴直线的解析式为， ∵直线和交于点M，联立得 ， ∴， 当点M在直线左侧，时，交x轴于点F， 为等腰直角三角形， ， 即 ∵ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得 ∴直线的解析式为， ∵直线和交于点M，联立得 ， ∴. 综上所述：点M的坐标，． 25. 已知正方形的边长为8，连接． （1）如图1，点E是外一点，且，连接，若，求面积； （2）如图2，点F是射线上一点，连接，在线段上取点G，使，连接交于点H，若点N为的中点，连接，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点M是平面内任意一点，连接、，且，将线段绕点C逆时针旋转得线段，连接，若，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2） （3）线段的最小值为 【解析】 【分析】（1）过作于，根据正方形和得到，根据直角三角形和勾股定理求出，，最后根据计算即可； （2）延长、交于点，由点N为的中点可得，再根据得到，，把，，代入整理计算即可； （3）由可得，，由（2）可得，求出，得到，再构造等腰直角三角形，结合将线段绕点C逆时针旋转得线段，得到，，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为8， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 延长、交于点， ∵点N为的中点，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由可得， 整理得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 解得， ∴， 过作，使，如图，则， ∵将线段绕点C逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $