重难点02 相似三角形（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

重难点02 相似三角形 中考数学中计相似三角形部分主要考向分为三类： 一、相似前的基础知识（每年1~2道，3~6分） 二、相似三角形的性质与判定（每年2~3道，6~12分） 三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~8分） 四、相似综合题（每年1~3题，3~18分） 中考统考后，对相似的单独考察，特别是大题中的相似问题，占比有所减少；但相似毕竟是一个容量较大，并且兼容性比较强的考点，所以在各地模拟考中相似的地位依然很重要。鉴于这种改变，对于相似三角形的复习，比例线段、比例中项、黄金分割、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、相似三角形的应用等基础考点必须熟练掌握，因为当中考的难度降低的时候，综合题可能会减少，基础依然会考。综合题中，则需要多注意相似与其他几何图形的融合性，比如，相似与四边形的综合、相似与圆的综合等。 考向一：相似前的基础知识 【题型1 比例线段、比例中项与黄金分割】 1、比例的性质：； 2、比例中项：，此时，c为a、b的比例中项； 3、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC(AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中： 特别注意： ①、对1、2考点的掌握，注意分清题目中是直接的数，还是线段。线段参与比例时，数据都是正数。 ②、黄金分割除了应用于线段的黄金分割点等计算，也注意联想记忆“黄金三角形”，即顶角为72°，底角为36°的等腰三角形，其底边与腰长之比也等于黄金分割比。 1．（2024•桐乡市校级一模）已知，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据合比性质，可得答案． 【解答】解：由合比性质，得 ， 故选：C． 【点评】本题考查了比例的性质，利用了合比性质：⇒． 2．（2024•西湖区校级模拟）如果2x＝5y（y≠0），那么　　． 【分析】根据比例的性质直接求解即可． 【解答】解：∵2x＝5y（y≠0）， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3．（2024•萧山区一模）在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题：“如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是△ABC的中线，用尺规作图作出线段AB的黄金分割点”小方和小程前面的作法都是：“以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E．”，后面的作法不同． 小方的作法为：以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M，则M为线段AB的黄金分割点； 小程的作法为：连结CE并延长交AB于点N，则N为线段AB的黄金分割点．则（　　） A．小方、小程都正确 B．小方、小程都错误 C．小方错误，小程正确 D．小方正确，小程错误 【分析】令AB＝AC＝2a，用a分别表示出BM和AN的长即可解决问题． 【解答】解：令AB＝AC＝2a， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝a， 由作图可知， DE＝AD＝a． 在Re△ABD中， BD， ∴BE＝BD﹣DE＝（）a， ∴BM＝BE＝（）a， ∴， ∴点M为线段AB的黄金分割点． 故小方的作法正确． 连接AE，过点E作AB的垂线，垂足为H， ∵EH∥AC， ∴△BEH∽△BDA， ∴， 又∵BE＝（）a，BD，AB＝2a，AD＝a， ∴， 则BH，EH， ∴AH＝2a． 在Rt△AEH中， tan∠EAH． ∵CD＝DE，AD＝DE， ∴∠DCE＝∠CED，∠DAE＝∠DEA， ∴∠CAE+∠ACE． ∵∠CAE+∠EAH＝90°， ∴∠EAH＝∠ACE， ∴tan∠ACE＝tan∠EAH． 在Rt△ACN中， tan∠ACE， ∴， ∴AN＝（）a， ∴， ∴点N为线段AB的黄金分割点． 故小程的作法正确． 故选：A． 【点评】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 4．（2024秋•余杭区校级期末）如果线段a＝2，c＝8，且线段b是线段a和c的比例中项，那么b＝（　　） A．16 B．4 C．4或﹣4 D．16或﹣16 【分析】根据比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求，注意线段的长为正数． 【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项， ∴b2＝ac＝16， 解得b＝±4， 又∵线段是正数， ∴b＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了比例线段，掌握线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 5．（2023•金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为 　4　． 【分析】根据比例中项的定义得到c2＝ab，然后利用算术平方根的定义求c的值． 【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴c2＝ab＝2×8＝16， ∴c＝4（负值舍去）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【题型2 平行线分线段成比例】 如图：AB∥CD∥EF 1．（2024•钱塘区三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF＝4，CD＝6，则线段AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接BE交CD于G，根据平行线分线段成比例先求出，再求出DG，则CG，根据平行线分线段成比例即可求解． 【解答】解：连接BE交CD于G， ∵AB∥CD∥EF，， ∴，， ∴， ∵CD∥EF， ∴， ∴ ∴DG， ∴CG＝CD﹣DG＝6， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴AB＝9， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．（2024•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴，， ∴，A正确； ∵DE∥BC， ∴，B错误； ∵DE∥BC， ∴，C错误； ∵DE∥BC， ∴，D错误， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2024•义乌市模拟）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为 　8　． 【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E， ∵a∥b， ∴， ∵AC＝12， ∴AB＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 4．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，CD上，且∠1＝∠2． （1）求证：AD∥EF． （2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到BD＝DC，∠1＝∠CAD，根据同位角相等，两直线平行证明EF∥AD； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出DF，进而求出BC． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高线， ∴BD＝DC，∠1＝∠CAD， ∵∠1＝∠2， ∴∠CAD＝∠2， ∴EF∥AD； （2）解：∵EF∥AD， ∴， ∵CE：AE＝3：5，CF＝6， ∴， 解得：FD＝10， ∴CD＝CF+DF＝10+6＝16， ∴BC＝2CD＝32． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 考向二：相似三角形的性质与判定 【题型3 相似三角形的性质】 相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。 特别记忆：因为相似三角形对应边成比例的性质特点，所以中考数学中，求解线段长度时，列方程常以相似三角形对应边成比例为等量关系。 1．（2024•镇海区校级三模）如图OA：OD＝7：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB∽△ODC，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可． 【解答】解：∵△OAB∽△ODC，OA：OD＝7：5， ∴， ∴选项D正确，选项C错误， ∵无法确定和的比的值，故选项A，B错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 2．（2024秋•婺城区期末）如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【分析】相似三角形的对应角相等，据此解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△AED， ∴∠C＝∠ADE， ∵∠ADE＝80°， ∴∠C＝80°， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 3．（2024秋•上城区校级期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是6cm2，则较大三角形的面积是（　　） A．9cm2 B． C．4cm2 D． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴两个相似三角形的面积比是：（）2， ∵较小的三角形的面积是6cm2， ∴较大三角形的面积是cm2， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 　　． 【分析】根据AD＝2DB可设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x，再由△BCD∽△BAC可得出BD的长． 【解答】解：∵AD＝2DB，AC＝4，BC＝3， ∴设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵△BCD∽△BAC， ∴，即， ∴x2＝3， 解得x或x（负值舍去）， ∴， 解得CD． 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 5．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是． （1）若DE＝4cm，求BC的长． （2）若∠C＝35°，∠A＝20°，求∠EDA的度数． 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出∠B的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，相似比是，DE＝4cm， ∴，即， 解得BC＝10， 故BC为10cm； （2）∵∠C＝35°，∠A＝20°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣35°＝125°， ∵△ADE∽△ABC， ∴∠EDA＝∠B＝125°． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 【题型4 相似三角形判定与性质的综合】 重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型； 相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。 特别记忆：判定相似三角形的主要目的，就是要利用相似三角形的性质继续求解后续问题，所以问题中可以不直接让证明相似三角形，而是我们求解最后问题的中间手段。 1．（2024•拱墅区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE交AC于点F．若AE＝3ED，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】通过证明△AEF∽△CBF，可得． 【解答】解：∵AE＝3ED， ∴AD＝4DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4DE，AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（2024•滨江区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 　a　． 【分析】根据DE∥BC，可以证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，同理求得△BDF的面积，用△ABC的面积减去△ADE的面积和△BDF的面积即可求得． 【解答】解：∵， ∴，， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2＝（）2， ∴S△ADES△ABCa， 同理，S△BDFS△ABCa， ∴平行四边形DFCE的面积为：a﹣S△ADE﹣S△BDF＝aaaa． 故答案为：a． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的性质，求得△ADE的面积和△BDF的面积是解答本题的关键． 3．（2024•浙江模拟）有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 　12　cm． 【分析】根据相似三角形的判定得到△BDF∽△BEC，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到CD的长． 【解答】解：过点B作BM⊥CE，垂足为M，过点F作FN⊥CE，垂足为N， ∵DF∥CE， ∴∠BDF＝∠ACE， ∵∠DBF＝∠CBE， ∴△BDF∽△BCE， ∵BM＝8cm，FN＝6cm，BC＝16cm， ∴设CD＝x cm，则BD＝（16﹣x）cm， ∵△BDF的高为：BM﹣FN＝8﹣6＝2（cm）， ∴， ∴， ∴解得：x＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定得到△BDF∽△BEC，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到CD的长． 4．（2025•浙江模拟）有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在△ABC中，点D，E在AC上，点F在AB上，点G，H在BC上．若每个小正方形的边长为1，则△ABC的周长为 　　． 【分析】过点E作EM⊥BC于点M，利用相似三角形的性质计算长度，即可得到△ABC的周长． 【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M， 由题意得：BM＝5，EM＝2，DH＝3，HM＝3，EM∥DH∥AB， ∴， 设CM＝x，则CH＝CM+HM＝3+x， ∴， ∴x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴CM＝6， ∴BC＝BM+CM＝5+6＝11， ∴， ∴AB， ∴AC， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（2025•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E在AB的延长线上，DE分别交BC，AC于点F，G．若AB＝5，AE＝AD＝8，EF＝DG，则BC＝ 　　． 【分析】由平行线的性质推出∠DAE+∠ABC＝180°，求出∠DAE＝90°，判定△AED是等腰直角三角形，得到DEAD＝8，∠E＝45°，判定△EBF是等腰直角三角形，得到FEBE，BF＝BE，求出BE＝3，得到FE＝3，求出FG＝2，判定△CFG∽△ADG，推出FC：AD＝FG：GD，求出FC，即可得到BC的长． 【解答】解：∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠DAE+∠ABC＝180°， ∴∠DAE＝90°， ∵AD＝AE＝8， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴DEAD＝8，∠E＝45°， ∵∠EBF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴FEBE，BF＝BE， ∵BE＝AE﹣AB＝8﹣5＝3， ∴FE＝3， ∴DG＝EF＝3， ∴FG＝ED﹣EF﹣GD＝8332， ∵FC∥AD， ∴△CFG∽△ADG， ∴FC：AD＝FG：GD， ∴FC：8＝2：3， ∴FC， ∴BC＝BF+FC＝3． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是判定△CFG∽△ADG，推出FC：AD＝FG：GD． 6．（2024•浙江一模）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点F作FG∥CN交AB于点G，证明MN是△DGF的中位线，得GF＝2MN，由GF∥CN，EF∥AB，得四边形GFHN是平行四边形，证明MH＝MN，设MH＝MN＝a，则GF＝2a，然后证明CN＝4GF＝8a，所以CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，得CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，进而可以解决问题． 【解答】解：过点F作FG∥CN交AB于点G， ∵点M是DF的中点， ∴N是DG的中点， ∴MN是△DGF的中位线， ∴GF＝2MN， ∵GF∥CN，EF∥AB， ∴四边形GFHN是平行四边形， ∴NH＝GF＝2MN， ∴MH＝MN， 设MH＝MN＝a，则GF＝2a， ∵DE∥BC， △ADE∽△ABC， ∴， ∴BC＝4DE， ∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE＝BF， ∵FG∥CN， ∴△BFG∽△BCN， ∴， ∵， ∴， ∴CN＝4GF＝8a， ∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a， ∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 7．（2024•台州模拟）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD． （1）求证：AB2＝AD•AC； （2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数． 【分析】（1）由∠ABC＝2∠ABD，∠ADB＝2∠ABD，得∠ADB＝∠ABC，而∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，得，所以AB2＝AD•AC； （2）由相似三角形的性质得∠ABD＝∠C，因为∠ABD＝∠DBC，所以∠C＝∠DBC，求得DB＝DC＝2，AD＝1，所以AC＝3，则AB2＝AD•AC＝3，AD2＝1，DB2＝4，所以AB2+AD2＝DB2，则∠A＝90°． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ADB＝2∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴， ∴AB2＝AD•AC． （2）解：∵△ADB∽△ABC， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠C＝∠DBC， ∵DC＝2AD＝2， ∴AD＝1，DB＝DC＝2， ∴AC＝AD+DC＝1+2＝3， ∵AB2＝AD•AC＝1×3＝3，AD2＝12＝1，DB2＝22＝4， ∴AB2+AD2＝DB2＝4， ∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°， ∴∠A的度数是90°． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，证明△ADB∽△ABC是解题的关键． 8．（2024•拱墅区二模）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE． （1）求证：△ACD∽△AEB． （2）当，求的值． 【分析】（1）首先利用作图证明CD＝CB，然后利用等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠CBD，再利用角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，由此即可证明结论； （2）首先利用相似三角形的在可以得到，然后利用已知条件即可求解． 【解答】（1）证明：∵以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D， ∴CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠ADC＝∠ABE， ∵AB平分∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴△ACD∽△AEB； （2）解：∵△ACD∽△AEB， ∴ 而， ∴， ∴． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法解决问题． 9．（2024•杭州一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，点F分别在AB，AC上，连结DE，DF． （1）若，求证：△BDE∽△CFD． （2）如图2，在（1）的条件下，连结EF，若EF＝9，BE＝10，求DE的值． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出∠ABD＝∠ACD＝∠EDF，根据三角形外角性质求出∠BED＝∠CDE，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）结合（1）根据相似三角形的性质得出，则，结合∠B＝∠EDF，推出△BDE∽△DFE，根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∵∠EDF＝90°∠A， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠EDF， ∵∠EDC＝∠ABD+∠BED，∠EDC＝∠EDF+∠CDF， ∴∠BED＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）解：∵△BDE∽△CFD， ∴， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴， ∴， ∴， 又∵∠B＝∠EDF， ∴△BDE∽△DFE， ∴， ∵EF＝9，BE＝10， ∴DE＝3（负值已舍）． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 考向三：相似三角形的应用 【题型5 相似三角形的常见应用】 相似三角形在实际生活中的应用： （1） 建模思想：建立相似三角形的模型 （二）常见题目类型： 1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解 2.测量底部可以到达的物体的高度 3.测量底部不可以到达的物体的高度 4.测量河的宽度 1．（2024•金华三模）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD）可测量零件的内孔直径AB．若OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm 【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答． 【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴AB：CD＝2， ∴AB：5＝2， ∴AB＝10（cm）， ∵外径为12cm， ∴10+2x＝12， ∴x＝1（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长． 2．（2024•婺城区校级模拟）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】通过证明△POM∽△BON，得出PM：BN＝OM：ON＝5：3，即可解答． 【解答】解：根据题意可得：∠PMO＝∠BNO＝90°， ∵∠POM＝∠BON， ∴△POM∽△BON， ∴PM：BN＝OM：ON＝5：3， ∵PM＝10cm， ∴BN＝6cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 3．（2024•临安区二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝11.04m，EF＝2.76m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.24m，则旗杆AB的高度为（　　） A．12.96m B．12.76m C．12.56m D．12.36m 【分析】根据AC∥DF，AB⊥BC，DE⊥EF得出Rt△ABC∽Rt△DEF，利用相似三角形的性质代入解答即可． 【解答】解：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， 又∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴， 即：， 解得：AB＝12.96， 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 4．（2024•温州模拟）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，此时台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则树的高度AB为（　　） A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，推出△ASG∽△PQM，据此求解即可． 【解答】解：作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形， ∴BS＝GR＝0.2×2＝0.4（m），PQ＝0.2×3＝0.6， ∴RC＝2×0.4＝0.8（m）， ∴SG＝BR＝BC+RC＝1.9+0.8＝2.7（m）， 由题意得△ASG∽△PQM， ∴，即， ∴AS＝3.6（m）， ∴AB＝AS+BS＝3.6+0.4＝4（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．（2025•鹿城区校级一模）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时， 　　． 【分析】过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图，先利用三角形面积公式计算出AM＝8，再证明四边形DMNG为矩形得到DG＝MN，则AN＝8﹣DG，接着证明△AGF∽△ABC，所以，则DE（8﹣DG），根据矩形的面积公式得到矩形DEFG＝DG•DE（8﹣DG）DG，利用二次根式的性质，当DG＝4时，S矩形DEFG最大，然后求出对应的DE的长，从而得到的值． 【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图， ∵S△ABC＝40， ∴•BC•AM＝40， 即10×AM＝40， 解得AM＝8， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥DE，DE＝GF，∠GDE＝∠DGF＝90°， ∴AM⊥GN， ∵∠GDE＝∠DGF＝∠DMN＝90°， ∴四边形DMNG为矩形， ∴DG＝MN， ∴AN＝AM﹣MN＝AM﹣DG＝8﹣DG， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴，即， ∴DE（8﹣DG）， ∴S矩形DEFG＝DG•DE（8﹣DG）DG（DG﹣4）2+20， ∴当DG＝4时，S矩形DEFG最大， 当DG＝4时，DE（8﹣4）＝5， 此时， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用相似三角形对应边的高的比等于相似表示出GF和DE的关系是解决问题关键．也考查了二次函数的意义和三角形的面积． 6．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度． （1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 　2　米（影子完全落在地面）． （2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 　1　． 【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可． （2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GHGF，最后找到 CE与AD的长度比即可． 【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK， ∴四边形CESK是平行四边形， ∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米． 故答案为：2． （2）连结FH， 设DE＝a，CD＝b， 由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b， 在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB， ∴FH⊥GB， 又∵MK⊥GB， ∴MK∥FH， ∴△MOK∽△FOH． ∵FK＝MH， ∴OH＝OF， ∴∠OFH＝∠OHF， 又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°， ∴∠GFO+∠OHF＝90°， 又∵∠FGO+∠OHF＝90°， ∴∠GFO＝∠FGO， 即OG＝OF， ∴OH＝OF＝OG， ∴∠FGH＝45°， ∴GHGF． 即：ba， ∴1， ∴CE：AD1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 7．（2024•拱墅区二模）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD． （1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②CD的长度的最大值为 　80　cm． 【分析】（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．利用平行相似即可；（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．②先证明△GHA∽△GPO，再利用勾股定理求出AG＝30，由，即可求出CD的长度的最大值． 【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN． ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， △OEF∽△OMN， △OEB∽△OMD， ∴，，， ∴， ∵EF＝AB， ∴MN＝CD， ∴沿着AB方向平移时，CD长度不变． （2）①以A为圆心，AB长为半径画圆， 当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ． 此时AB所在位置为AH． ②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°， ∴△GHA∽△GPO， ∴， ∴设GA＝x，则GO＝2x， 在Rt△OPG中， OP2+PG2＝OG2， ∴362+（18+x）2＝（2x）2， ∴x2﹣12x﹣540＝0， ∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去）， ∴AG＝30， 由①， ∴， ∴CQ＝80， 即CD的长度的最大值为80cm． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． 8．（2024•西湖区三模）如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m． （1）求女孩的影子BD的长． （2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14） 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BC⊥AD，AO⊥AD， ∴BC∥AO， ∴△BDC∽△ADO， ∴， ∴， ∴BD＝1， 答：女孩的影子BD的长为1米； （2）∵女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积62π﹣52π＝11π． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 【题型6 位似变换】 位似图形满足的条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比） 1．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣2，4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8）， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键． 2．（2025•浙江一模）如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【分析】结合题意，根据位似图形的性质，得，再结合AB＝AE+BE，通过计算即可得到答案． 【解答】解：∵四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4， ∴ ∵AB＝AE+BE， ∴， ∴4AE＝AE+BE ∴3AE＝BE ∴AE：BE＝1：3， 故选：B． 【点评】本题考查了位似的知识，掌握其性质是解题的关键． 3．（2024•鹿城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0）， ∴OA＝OB＝2， 过A作AC⊥x轴于C， ∵△AOB是等边三角形， ∴OCOB，ACOA， ∴A（，）， ∵△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的16倍， ∴△OA'B'与△OAB的位似比为4：1， ∴点A的对应点A′的坐标是（4，4）或（（﹣4），（﹣4）），即（2，2）或（﹣2，﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 4．（2024•桐乡市校级一模）如图，在直角坐标系中，A（0，﹣1），B（2，0），以A为位似中心，把△ABC按相似比1：3放大，放大后的图形记作△ADE，则点D的坐标为 　（6，2）　． 【分析】以A为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：以A为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系， 在新坐标系中，点B的坐标为（2，1）， 在新坐标系中，以A为位似中心，把△ABC按相似比1：3放大，点B的坐标为（2，1）， ∴点D的坐标为：（2×3，1×3），即（6，3）， 则在原坐标系中，点D的坐标为（6，2）， 故答案为：（6，2）． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 5．（2023•上城区模拟）如图，在8×8的正方形网格中，已知△ABC的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形． （1）在图1中，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°得到△A1B1C（点A，B的对应点分别为A，B），并画出△A1B1C． （2）在图2中，以点C为位似中心，作△ABC的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出△ABC的位似图形． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A1、B1即可； （2）延长CA到点A′，使CA′＝2CA，延长CB到点B′，使CB′＝2CB，或反向延长CA到点A2，使CA2＝2CA，反向延长CB到点B2，使CB2＝2CB，则△A′B′C和△A2B2C满足条件． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C为所作； （2）如图2，△A2B2C和△A′B′C为所作． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换． 考向四：相似的综合题 【题型7 相似三角形常见模型】 相似三角形的常见模型： 1、 手拉手相似 如图：△ABC∽△ADE时，连结BD、CE，直线BD、CE交于点H， 则有：△ABD∽△ACE、△AOB∽△HOC 2、 K型相似 如图，当∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°时，有△ADB∽△BEC 其他性质： 1　 普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】 2　 中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3 3　 以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。 3、 母子相似 当∠ABD=∠ACB时，有：△ABD∽△ACB，性质： 4、 平行类相似 如图：DE∥BC，则△ADE∽△ABC ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN为△ABC中位线，矩形面积达到最大值！ 1．（2024•浙江模拟）如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，连结DE交对角线AC于点F，若∠DAC＝30°，∠DEC＝45°，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1.5 【分析】设DC＝a，根据矩形的性质可得AD∥CE，∠ADC＝∠DCB＝90°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AC＝2a，ADa，然后在Rt△DCE中，利用等腰直角三角形的性质可求出CE的长，最后证明8字模型相似△ADF∽△CEF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：设DC＝a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CE，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC＝2a，ADCDa， ∵∠DEC＝45°， ∴CEa， ∵AD∥CE， ∴∠DAF＝∠FCE，∠ADF＝∠DEC， ∴△ADF∽△CEF， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2024•宁波模拟）如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A．若∠CDG＝α，则∠AHF＝　90°﹣α　；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为 　3　． 【分析】根据直角三角形的内角和关系可以计算出∠AHF的度数，利用已知条件可以推导出△BHG∽△CGD，利用相似比求出正方形的边长，使用勾股定理计算出矩形的边长，最后计算出△EFH的面积． 【解答】解：（1）根据已知可得：∠B＝∠C＝∠AFH＝∠FGD＝90°， ∵∠BHG+∠HGB＝90°，∠HGB+∠DGC＝90°， ∴∠BHG＝∠DGC， ∵∠CDG＝α， ∴∠BHG＝∠DGC＝90°﹣α， 又∵∠AHF＝∠BHG， ∴∠AHF＝90°﹣α， 故答案为：90°﹣α；’ （2）设AB＝x， ∴HB＝x﹣3，BG＝x﹣2， ∵∠BHG＝∠DGC，∠B＝∠C， ∴△BHG∽△CGD， ∴， ∴， ∴x＝4，即：正方形的边长为4， ∴HB＝1，BG＝2， ∴HG， ∴DG2， ∴EF＝DG＝2， 连接EH，如图： ∵∠B＝∠AFH，∠AHF＝∠BHG， ∴△AFH∽△GHB， ∴， ∴， ∴HF， ∴S△EHFEF•HF23， 故答案为：3． 【点评】本题考查的重点知识是三角形内角和的关系，难点是构建三角形相似，计算对应的三角形边长． 3．（2024•温州模拟）如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质，得到两组相似三角形，根据边的比例得出面积之比，从而得出的值． 【解答】解：∵AG平分∠BAD， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△GBF，△ABG∽△ECG， ∴， ∴， 设AD＝BC＝3a，则AB＝2a，GB＝2a， ∴CG＝a， ∴， ∴S△ABG＝4S2， 设S△GBF＝4S，则S△ADF＝9S， ∴S△ABF＝6S， ∴S△ABG＝S△GBF+S△ABF＝10S， ∴4S2＝10S， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 4．（2024•钱塘区一模）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设y，则y关于x的函数表达式是 　y＝1　． 【分析】首先解析的性质证明△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性质和折叠的性质即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴∠FEC+∠EFC＝90°， 由折叠得： BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°， ∵∠EFC+∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠FEC， ∴△AFD∽△FEC， ∴， ∴， 而y， ∴y， ∴y＝1， ∴y＝1． 故答案为：y＝1． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键． 5．（2024•仙居县三模）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝3，AB＝4，过点A作AD⊥CB于点D，以D为顶点作一个直角，其两边分别与边AC，AB交于点E，F，点F不与点B重合，则　　． 【分析】先证明△ADC∽△BDA，得到，再证明△ADE∽△BDF，得到，进行求解即可． 【解答】解：∵AD⊥CB， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠B+∠C＝∠C+∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∴△ADC∽△BDA， ∴； ∵∠EDF＝90°＝∠ADB， ∴∠ADE＝∠BDF＝90°−∠ADF， 又∵∠B＝∠CAD， ∴△ADE∽△BDF， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2023•桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE． 求证：四边形ADCE是菱形． 【分析】（1）由等角加同角相等可得∠BAC＝∠DAE，由△ABC和△ADE的顶角相等，且都是等腰三角形，以此即可证明△ABC∽△ADE； （2）根据平行线的性质得∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，进而得到∠ADF＝∠CDF，由等腰三角形三线合一的性质可得AF＝CF，再通过AAS证明△AEF≌△CDF，得到AE＝CD，由对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCE为平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ADCE是菱形． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+CAD，即∠BAC＝∠DAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠ACB，∠ADE＝∠E， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠E， ∴△ABC∽△ADE； （2）证明：如图， ∵AE∥BC， ∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF， 由（1）可知，∠DCF＝∠ADF＝∠AEF， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵DA＝DC， ∴AF＝CF， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CD， ∵AE∥CD，AE＝CD， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∵DA＝DC， ∴平行四边形ADCE为菱形． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练菱形的判定方法是解题关键．菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）．②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 【题型8 相似与四边形的综合】 相似与四边形的结合，多注意平行类相似的A字图和8字图，因为很多特殊四边形中都自带平行！ 1．（2024•滨江区二模）如图，E是▱ABCD对角线BD上一点，满足ED＝3BE，连结AE并延长交BC于点F，则AD：BF＝（　　） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1 【分析】通过证明△ADE∽△FBE，可得，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△ADE∽△FBE， ∴， ∴ED＝3BE， ∴AD：BF＝3：1， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（2024•义乌市模拟）如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3 【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3＝S1即可解决问题； 【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2． ∴EH＝m（1+k2），FM，FK＝km（1+k2）， 则有：km（1+k2）+mk， 整理得：k4+k2﹣1＝0， ∴k2或（舍去）， ∴S2S1，S3＝（）2S1S1， ∴S2+S3＝S1， ∴这个矩形的面积＝2S1+2（S2+S3）＝4S1， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．（2025•镇海区校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是BC中点，点F在BD上且满足AF⊥PF，延长AF分别交CD于点M，交BC的延长线于点E，则EM的长为 　　． 【分析】连接FC，过点F作FK⊥AB于K，FN⊥BC于点N，先证明四边形FKBN是正方形，进而可证明△AFK和△PFN全等得FA＝FP，再证明△ABF和△CBF全等得FA＝FC＝FP，则PN＝CNCP，根据点P是BC的中点得BP＝CPBC，则PN＝CN，进而得FN，再由勾股定理分别求出FB，BD，则FD，证明△FDM和△FBA相似，利用相似三角形的性质求出DM＝1，则CM＝2，AM，然后证明△ADM和△ECM相似，利用相似三角形的性质即可求出EM的长． 【解答】解：连接FC，过点F作FK⊥AB于点K，FN⊥BC于点N，如图所示： ∴∠FKB＝∠FKA＝∠FNB＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为3， ∴AB＝CB＝CD＝AD＝3，AD∥BC，AB∥CD，BD平分ABC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠FKB＝∠FNB＝∠ABC＝90°， ∴四边形FKBN是矩形， ∵BD平分ABC，FK⊥AB，FN⊥BC， ∴FK＝FN， ∴矩形FKBN是正方形， ∴∠KFN＝90°，FN＝BN＝BK＝FK， ∴∠KFP+∠PFN＝90°， ∵AF⊥PF， ∴∠AFK+∠KFP＝90°， ∴∠AFK＝∠PFN， 在△AFK和△PFN中， ， ∴△AFK≌△PFN（AAS）， ∴FA＝FP， ∵BD平分ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴FA＝FC， ∴FP＝FC， ∵FN⊥BC， ∴PN＝CNCP， ∵点P是BC的中点， ∴BP＝CPBC， ∴PN＝CN， ∴FN＝BN＝BP+PN， 在Rt△BNF中，由勾股定理得：FB， 在Rt△BCD中，CB＝CD＝3， 由勾股定理得：BD， ∴FD＝BD﹣FB， ∵AB∥CD， ∴△FDM∽△FBA， ∴， ∴DM•FB＝AB•FD， ∴， ∴DM＝1， ∴CM＝CD﹣DM＝3﹣1＝2， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM， ∵AB∥CD， ∴△ADM∽△ECM， ∴， ∴EM． ∴EM的长为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造正方形，全等三角形是解决问题的关键 4．（2024•瑞安市校级模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别向外作两个正方形ACDE，正方形CBFG，HA⊥AB，JB⊥AB，分别交边DE，CG于点H，J，下列说法不正确的是（　　） A．AH＝AB B．BJ＞EH C． D． 【分析】证明△AEH和△ACB全等，即可判断选项A和选项B，根据△AEH和△BCJ相似，得到D选项正确． 【解答】解：∵四边形ACDE是正方形， ∴∠EAC＝∠E＝90°，AE＝AC， ∵HA⊥AB， ∴∠HAB＝90°， ∴∠EAH＝∠CAB， 在△AEH和△ACB中， ， ∴△AEH≌△ACB（ASA）， ∴AH＝AB，EH＝CB，故A选项正确； ∵BJ＞CB， ∴BJ＞EH，故B选项正确； ∵△AEH∽△BCJ， ∴， ∴，故D选项正确； ∵，故C选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质等，属于综合题，掌握性质和判定方法是解题的关键． 5．（2025•浙江模拟）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，E是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作EF∥AB，交AC于点F，连结AE，设CE＝x． （1）用含x的代数式表示△CEF的面积． （2）当△CEF与△ACE相似时，求x的值． 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．求出△ABC的面积，再利用相似三角形的性质求解； （2）利用勾股定理求出AC2.再利用相似三角形的性质证明AC2＝CE•CB，求出CE即可． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H． ∵∠B＝60°，AB＝6， ∴AH＝AB•sin60°＝63， ∴△ABC的面积8×312， ∵EF∥AB， ∴△ABC∽△FEC， ∴（）2， ∴△FEC的面积x2（0＜x＜8）； （2）∵BH＝AB•cos60°＝3， ∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5， ∴AC2＝AH2+CH2＝27+25＝52， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠FEC＝60°， ∵△CEF∽△CAE， ∴∠FEC＝∠CAE＝60°， ∴∠CAE＝∠B， ∵∠ACE＝∠ACB， ∴△ACB∽△ECA， ∴CA2＝CE•CB， ∴x＝CE． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 6．（2024•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，动点P在BC延长线上，以AP为边作正方形PADE，边DE与线段BC交于点F． 【寻找变中不变】（1）求证：△ACP∽△PEF． 【确定动点位置】（2）当时，BF的长为 　1　． 【探求线段最值】（3）当CP多长时，线段CF最短？ 【分析】（1）由正方形PADE得∠APC+∠EPF＝90°，由∠APC+∠CAP＝90°，得∠EPF＝∠CAP，又∠ACP＝∠FEP＝90°，故△ACP∽△PEF． （2）由勾股定理得AP，由△ACP∽△PEF，得，故PF＝3，再计算得BF＝PF﹣PC1． （3）设CP＝x，由勾股定理得AP，由△ACP∽△PEF，得，故PF（x2+4），故CF＝PF﹣CP（x2+4）﹣x（x﹣1）2，故当x＝1时，即CP＝1时，CF最短． 【解答】（1）证明：∵正方形PADE， ∴∠APC+∠EPF＝90°， ∵∠APC+∠CAP＝90°， ∴∠EPF＝∠CAP， 又∠ACP＝∠FEP＝90°， ∴△ACP∽△PEF． （2）BF1， 理由如下： ∵AC＝2，CP， ∴AP， ∴PE＝AP， ∵△ACP∽△PEF， ∴， ∴， ∴PF＝3， ∴BF＝PF﹣PC1． 故答案为：1． （3）解：设CP＝x， ∴AP， ∵△ACP∽△PEF， ∴， ∴， ∴PF（x2+4）， ∴CF＝PF﹣CP（x2+4）﹣x（x﹣1）2， 故当x＝1时． 答：当CP＝1时，CF最短． 【点评】本题考查了相似的知识，利用两个角对应线段得相似是解题关键． 【题型9 相似与圆的综合】 相似与圆结合时，因为圆的性质“圆中同弧（或等弧）所对的圆周角相等、圆内接四边形的一个外角等于其相邻内角的对角”等，更有利于推导一些角相等，所以相似的证明多以“AA”为主。 1．（2024•瓯海区模拟）如图，以AB为直径的半圆中，有一内接正方形CDEF，其边长为1，AC＝a，BC＝b，则的值为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】利用圆的有关性质，正方形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求得ab，a+b的值，再利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵以AB为直径的半圆中，有一内接正方形CDEF，其边长为1， ∴a+b＝AC+CB＝AB＝2OD，OC＝OFFC，CD＝1． ∵OC2+CD2＝OD2， ∴OD． ∴a+b． ∴a2+2ab+b2＝5①． ∵OC＝OB﹣BCb， ∴a﹣b＝1． ∴a2﹣2ab+b2＝1②． ∴①﹣②得：4ab＝4， ∴ab＝1． ①+②得：a2+b2＝3． ∴3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 2．（2024•镇海区校级模拟）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，点E是半径OC上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结DF交BC于点G．若AB＝10，OM＝1，且OE，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】解：连接BD，如图，根据直径AB⊥弦CD，得出AB是CD的垂直平分线，则BC＝BD，MC＝MD，根据AB＝10，求出OC＝5，因为OM＝1，利用勾股定理求出CM，因为BM＝OB﹣OM，则利用勾股定理求出BC，则BD可知，根据BM是CD的垂直平分线，则BM是∠CBD的角平分线，推出∠CBD＝2∠CBA，又因为∠COA＝2∠CBA，则∠CBD＝∠COA，所以∠GBD＝∠EOA，根据∠BAF＝∠BDF，得∠BDG＝∠OAE，从而得出△BDG∽△OAE（AA），则，则BG． 【解答】解：连接BD，如图， ∵直径AB⊥弦CD， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴BC＝BD，MC＝MD， ∵AB＝10， ∴OC＝5， ∵OM＝1， ∴， ∵BM＝OB﹣OM＝5﹣1＝4，， ∴， ∵BM是CD的垂直平分线， ∴BM是∠CBD的角平分线， ∴∠CBD＝2∠CBA， ∵∠COA＝2∠CBA， ∴∠CBD＝∠COA， ∴∠GBD＝∠EOA， ∵∠BAF＝∠BDF， ∴∠BDG＝∠OAE， ∴△BDG∽△OAE（AA）， ∴， ∴BG． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形、勾股定理、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2024•西湖区校级模拟）如图，平行线l1，l2分别经过⊙O直径AB的两个端点，C为⊙O上一点，过点C作l3∥l1交AB于点D，若l1，l2之间的距离为16，，BC＝20，则AB的长为（　　） A． B．21 C． D． 【分析】过C点作CM⊥l1于点M，MC的延长线交l2于N点，如图，利用平行线的性质得到MN⊥l2，则MN＝16，再利用平行线分线段成比例定理计算出MC＝4，则CN＝12，于是利用勾股定理可计算出BN＝16，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后证明△ACM∽△CBN，利用相似比可计算出AC＝5，最后利用勾股定理可计算出AB的长． 【解答】解：过C点作CM⊥l1于点M，MC的延长线交l2于N点，如图， ∵l1∥l2， ∴MN⊥l2， ∴MN＝16， ∵l3∥l1∥l2， ∴， ∴， ∴MCMN16＝4， ∴CN＝12， 在Rt△BCN中，BN16， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACM+∠CAM＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°， ∴∠CAM＝∠BCN， ∵∠CMA＝∠CNB， ∴△ACM∽△CBN， ∴，即， 解得AC＝5， 在Rt△ACB中，AB5． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理． 4．（2024•浙江模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC，BD相交于点E，且AC＝BD，过点C作CF∥BD交AB延长线于点F．若AD＝2CB，．则△BCF的面积为 　3　． 【分析】作OG⊥AB于点G，连接OB，证△AOG、△ADE和△BEC都是等腰直角三角形，求出线段AE和BE的长，再计算△ADB的面积，最后证明△ADB∽△BCF，根据相似三角形的性质求解． 【解答】解：作OG⊥AB于点G，连接OB，如图所示， ∵OG⊥AB， ∴，， ∵， ∴，， ∴AG＝OG， ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴∠AOG＝45°，OA＝10cm， ∴∠ADB＝45°， ∵AC＝BD， ∴， ∴−−，∠DAB＝∠ADC， 即， ∴∠DAC＝∠DBC＝∠ACB＝∠ADB＝45°， ∴AE＝DE，BE＝CE， ∴△ADE和△BEC都是等腰直角三角形， ∵AD＝2CB， ∴AE＝2BE， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， 即， 解得：BE＝2（负根舍去）， ∴AE＝4，BD＝AC＝AE+CE＝6， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBF＝∠ADC＝∠DAB， ∵CF∥BD， ∴∠DBA＝∠F， ∴△ADB∽△BCF， ∴， ∴； 故答案为：3． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形． 5．（2024•浙江模拟）如图，⊙O的弦BC垂直平分半径OA，点E是弦BC上一点，且BE＞CE，连接AE并延长交⊙O于点D，连结OD，OE，设DE＝nOE． （1）当点E是AD中点时，的度数为 　30　°； （2）连接AC，当时，则m与n的关系为 　m　． 【分析】（1）连接OC，设AO和BC相交于点M，因为BC垂直平分OA，则，∠OMC＝90°，AE＝OE＝ED，推出∠OCM＝30°，因为OA＝OC，E是AD中点，则OE⊥AD，∠AOE＝∠DOE＝45°，所以∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝90°，则∠OMC+∠AOD＝180°，推出BC∥OD，则∠BCO＝∠COD＝30°，即 的度数为30°； （2）连接AC，CD，由题可得DE＝nOE，，则AC＝mDE＝mnOE，设OE＝t，则DE＝nt，AC＝mnt，可证得△ACE∽△ADC，得出，即，即可求得答案． 【解答】解：（1）连接OC，设AO和BC相交于点M， ∵BC垂直平分OA， ∴，∠OMC＝90°，AE＝OE＝ED， ∴∠OCM＝30°， ∵OA＝OC，E是AD中点， ∴OE⊥AD，∠AOE＝∠DOE＝45°， ∴∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝90°， ∴∠OMC+∠AOD＝180°， ∴BC∥OD， ∴∠BCO＝∠COD＝30°， 即 的度数为30°； （2）连接AC，CD， 由题可得DE＝nOE，，∴AC＝mDE＝mnOE， 设OE＝t，则DE＝nt，AC＝mnt， ∵BC垂直平分OA， ∴，AE＝OE＝t， ∴∠ACE＝∠ADC， ∵∠CAE＝∠DAC， ∴△ACE∽△ADC， ∴， ∴， 整理得：m2n2＝n+1， 解得：m或m（舍去）， 故答案为：m． 【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （建议用时：45分钟） 1．（2024•浙江模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝1，AD＝BC＝2，则的值（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 【分析】连接AE并延长，与直线c交于点H，利用相似三角形的性质得出的值，再根据CH与CF之间的大小关系即可解决问题． 【解答】解：连接AE并延长，交直线c与点H， ∵b∥c， ∴△ABE∽△ACH， ∴． ∵AB＝1，BC＝2， ∴． 又∵CF＜CH， ∴， 则． 故选：A． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，能通过辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2025•拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，点C（4，1）的对应点F（12，3）， ∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：3， ∴△ABC的面积与△DEF的面积之比1：9， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 3．（2024•浙江模拟）如图，矩形ABCD∽矩形DEFG，连接AF、CG、DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（　　） A．矩形ABCD的面积 B．四边形ABCG的面积 C．△DEF的面积 D．△ADF的面积 【分析】根据矩形ABCD∽矩形DEFG，设两个矩形的相似比为k，设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则FG＝ED＝ka，EF＝DG＝kb，根据三角形的面积公式可得△CDG的面积为，进一步计算判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DEFG是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，则FG＝ED，EF＝DG， ∵矩形ABCD∽矩形DEFG，设两个矩形的相似比为k，AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， ∴FG＝ED＝ka，EF＝DG＝kb， ∴△CDG的面积为， 矩形ABCD的面积为ab，故选项不符合题意； 四边形ABCG的面积为ab，故选项不符合题意； △DEF的面积为ab，故选项不符合题意； △ADF的面积为，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似的性质设出矩形的边长． 4．（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 【分析】根据数学常识和相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【解答】解：5尺＝50寸， 设BC＝x尺． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CF∥AB， ∴△EFC∽△EAB， ∴， ∴， 解得x＝575， 经检验：x＝575是分式方程的解． ∴AD＝575（寸）． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5．（2025•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC 的延长线于G．证明△MNC∽△QNT，可得∠MCN＝∠QTN＝90°，∠CTQ＝45°，证明Q在射线TQ上，可得当CQ⊥TQ时，CQ最短，再进一步求解即可． 【解答】解：∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且， ∴AB＝2，， 如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC的延长线于G． ∴，∠CNT＝∠CTN＝45°， ∵等腰直角三角形MNQ， ∴，∠MNQ＝45°， ∴∠MNC＝∠QNT， ∴△MNC∽△QNT， ∴∠MCN＝∠QTN＝90°， ∴∠CTQ＝45°， ∵Q在射线TQ上， ∴当CQ⊥TQ时，CQ最短， ∵∠ACB＝90°＝∠TCN＝∠TCG， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2025•乐清市校级模拟）如图，A，B是⊙O上的点，A′，B′是⊙O外的点，△AOB和△A′OB′是位似图形，位似中心为点O，点A，B对应点是点A′，B′，OB′交⊙O于点C，若OC＝2B′C，AB＝2，则A′B′的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】利用位似图形得出，再结合OB＝OC，OC＝2B′C，得出，即可求解． 【解答】解：由题意可得：， ∵OB＝OC，OC＝2B′C， ∴OB＝OC＝2B′C， ∴， ∵AB＝2， ∴， 解得：A′B′＝3， 故选：A． 【点评】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键． 7．（2024•富阳区一模）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，AB＝5米，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（　　） A． B． C． D． 【分析】分两种情况：①过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法求出CH的长，设FG＝GE＝x，CG＝y，再根据相似三角形的性质得出①，②，联立①②即可得出结果．②根据△AED∽△ABC，得出方程求解即可，再比较两种结果的大小即可得出选项． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵S△ABCAB•CH， ∴CH， ∵四边形FDEG是正方形， ∴FG∥DE，FD∥EG，GF＝GE， 设FG＝GE＝x，CG＝y， ∴①， ∵GE∥CH， ∴， ∴②， 联立①②可得，x， 如图，设DE＝DC＝x，则AD＝4﹣x， ∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴， 解得x， ∵， 即面积最大的正方形不锈钢片的边长为， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论． 8．（2025•乐清市校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．xy C．x2+y2 D． 【分析】过点A作AG⊥BC于点G，证明△AGF∽△ECF得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G， ∵等腰直角三角形ABC中，BC＝8， ∴， ∵CE⊥BC， ∴AG∥EC， ∴△AGF∽△ECF， ∴即， 解得：， ∴x+yy，，都不是定值， ∴是定值， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2024•桐乡市校级一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH：HP的值是（　　） A．2：1 B． C． D． 【分析】设四个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据△BPC为等腰三角形，可得HP＝CH﹣CG﹣PG＝a﹣2b，证明△DHP∽△BGP，有，故a＝（1）b，即得HP＝（1）b﹣2b＝（1）b，从而DH：HP＝b：（1）b＝（1）：1． 【解答】解：设四个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b， ∵△BPC为等腰三角形，∠BGP＝90°， ∴PG＝CG＝b， ∴HP＝CH﹣CG﹣PG＝a﹣2b， ∵∠DHP＝∠BGP＝90°，∠DPH＝∠BPG， ∴△DHP∽△BGP， ∴，即， ∴a＝（1）b， ∴HP＝（1）b﹣2b＝（1）b， ∴DH：HP＝b：（1）b＝（1）：1； 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形判定与性质，涉及等腰三角形性质，正方形性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示DH，HP的长度． 10．（2024•江干区校级二模）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比 　1：9　． 【分析】根据位似图形的性质可得△ABC∽△A1B1C1，然后再利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC∽△A1B1C1，且相似比为1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9； 故答案为：1：9． 【点评】此题考查位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质与相似三角形的性质是解答此题的关键． 11．（2024•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为 　　． 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据平行线分线段成比例可得，设EC＝3a，则EF＝2a，根据题意得出AC＝8a，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝8，得出a＝1，则CE＝AF＝3，EF＝2，证明△AGF∽△ADE，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H， ∵BF∥DE， ∴， 设EC＝3a，则EF＝2a， ∵AF＝CE， ∴AF＝CE＝3a， ∴AC＝AF+EF+EC＝8a， ∵AB＝AD，AH⊥BD， ∴BH＝HD＝1， ∴HC＝HD+DC＝1+3＝4， 在Rt△AHC中，∠C＝60°，则∠HAC＝30°， ∴AC＝2HC＝8， ∴a＝1， ∴CE＝3＝CD， ∴△CDE是等边三角形，则DE＝3， 又∵GF∥DE， ∴△AGF∽△ADE， ∴， ∴GF， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．（2024•浙江模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像，已知蜡烛的高AB为4.8cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为 　12　cm． 【分析】根据题意可得：AB∥CD，AE＝OB＝6cm，先证明A字模型相似△CAE∽△COF，从而可得，进而可得，然后再证明A字模型相似△OAB∽△OCD，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB∥CD，AE＝OB＝6cm， ∵AE∥OF， ∴∠CAE＝∠COF，∠CEA＝∠CFO， ∴△CAE∽△COF， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∴， 解得：CD＝12， ∴像CD的高为12cm， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 13．（2025•洞头区模拟）如图，在正方形ABCD中，M是边AD上一点，．将△DCM沿CM翻折得△D′CM，延长MD′、CD′分别交AB于点P、Q，过M作MN∥CD交CQ于点E，则△PQD′与△MD′E的面积比为 　　． 【分析】连接PC，利用正方形的性质，折叠的性质和全等三角形的判定与性质得到PD′＝PB，设AM＝x，PD′＝PB＝y，则DM＝2x，AB＝AD＝3x，AP＝AB﹣PB＝3x﹣y，PM＝PD′+D′M＝2x+y，利用勾股定理列出方程得到xy，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可得出结论． 【解答】解：连接PC，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝AD＝AB，∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∵将△DCM沿CM翻折得△D′CM， ∴∠MD′C＝∠D＝90°，MD′＝MD，CD′＝CD， ∴∠PD′C＝90°，CD′＝BC， 在Rt△PD′C和Rt△PBC中， ， ∴Rt△PD′C≌Rt△PBC（HL）， ∴PD′＝PB． ∵， ∴设AM＝x，PD′＝PB＝y，则DM＝2x， ∴AB＝AD＝3x，AP＝AB﹣PB＝3x﹣y，PM＝PD′+D′M＝2x+y， ∵AP2+AM2＝PM2， ∴（2x+y）2＝x2+（3x﹣y）2， ∴x＝0（不合题意，舍去）或xy， ∴． ∵MN∥CD， ∴△PQD′∽△MED′， ∴△PQD′与△MD′E的面积比． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024•金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连结BD，点E，F分别为AD，BD边上一点，AF⊥BE于点H． （1）若AE＝2，则DF＝　　． （2）若DF：AE＝k，则k可取的最大整数值为 　2　． 【分析】（1）先证明△ABE∽△DAG，得到DG的长，再根据平行得到，从而得出DF的长； （2）设AE＝x，则DF＝kx，根据（1），得出k和x的关系式，根据x＞0，得出k的取值范围，从而求得k的最大整数值． 【解答】解：（1）延长AF交CD于点G， ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD＝10， ∵AF⊥BE， ∴△ABE∽△DAG， ∴， ∴， ∴DG， ∵AB∥CD， ∴， ∴， ∴DF， 故答案为：； （2）设AE＝x，则DF＝kx， ∵△ABE∽△DAG， ∴， ∴， ∴DG， ∵， ∴， ∴x， ∵x＞0， ∴0， ∴0＜k， ∴k可取的最大整数值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握性质与判定方法是解题的关键． 15．（2024•萧山区二模）如图，以等腰△ABC的底边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC边于点D，E，过点E作EF⊥BC于点F，∠CEF的平分线交BC于点G．若BD＝3，CG＝1，则FG＝　　，AE＝　　． （参考素材：角平分线性质定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，如） 【分析】利用参考素材，结合勾股定理求出FG的长；连接BE，通过△CEF∽△CBE求出BE的长，再利用勾股定理求出AE的长． 【解答】解：∵BD＝3， ∴CE＝3， ∵， ∴， 设FG＝x，则EF＝3x， ∵EF2+CF2＝CE2， ∴（3x）2+（x+1）2＝32， ∴x， ∴FG，CF，EF； 连接BE， ∵BC是直径， ∴∠BEC＝90°， ∴△CEF∽△CBE， ∴， ∴， ∴BE＝4， 设AE＝AD＝y， ∵AE2+BE2＝AB2， ∴y2+42＝（3+y）2， ∴y， ∴AE； 故答案为：；． 【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，利用好参考素材是解题的关键． 16．（2024•柯桥区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC． （2）在图2中找一点F，使∠AFC＝2∠ABC． 【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可； （2）取格点M以及AB的中点N，连接MN，并延长交BC于点F，点F即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，△ADE即为所求； （2）如图2所示，点F即为所求． 由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线， ∴∠FBA＝∠FAB， ∴∠AFC＝∠FBA+∠FAB， ∴∠AFC＝2∠ABC． 【点评】本题主要考查作图﹣相似变换和基本作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 17．（2024•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结CG，DG，∠AGD＝60°． （1）求∠FGC的度数． （2）求证：AG•CF＝CG•CD． （3）令，若AB＝4，，求k的值． 【分析】（1）连结AD，AC，首先推导出，∠ADC＝60°．进而利用∠ADC+∠AGC＝180°，∠FGC+∠AGC＝180°，得到∠FGC＝∠ADC＝60°； （2）连结AC，首先推导出△AGD∽△CGF，进而得到，即，进一步得证； （3）首先推导出△GCF∽△DAF，进而得到2；令CF＝2m，AF＝4m，则GFm，AG＝3m，由△AGD∽△CGF得到，即，解得m，推导出CF＝2m，进而得到k． 【解答】（1）解：连结AD，AC，如图， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴， ∵∠AGD＝60°， ∴∠ADC＝60°． ∵∠ADC+∠AGC＝180°，∠FGC+∠AGC＝180°， ∴∠FGC＝∠ADC＝60°； （2）证明：连结AC，如图． 由（1）可得：△ADC是等边三角形， ∴AD＝CD， ∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠FCG+∠DCG＝180°， ∴∠DAG＝∠FCG． 又∵∠AGD＝∠FGC＝60°， ∴△AGD∽△CGF， ∴，即， ∴AG•CF＝CG•CD； （3）解：∵AB＝4，AO＝2， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝DC＝2， ∵∠DAG＝∠FCG，∠F＝∠F， ∴△GCF∽△DAF， ∴2， 令CF＝2m，AF＝4m，则GFm， ∴AG＝3m， ∵△AGD∽△CGF， ∴，即， ∴m（舍去）m， ∴CF＝2m， ∴k． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解答本题的关键是作出适当的辅助线，构造相似三角形． 18．（2024•瑞安市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝5，AD＝9．点E在线段AC上，EF∥BC交AB于点F，EG∥CD交AD于点G，FG交AC于点H，连结BD． （1）试判断FG与BD的位置关系，并说明理由． （2）求的值． （3）若E为AC的中点，BD＝12，求FG的长． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出，，于是得出，又∠FAG＝∠BAD，即可证得△AFG∽△ABD，得出∠AFG＝∠ABD，于是问题得证； （2）先证△BCM∽△DAM，得出，再证△AFH∽△ABM，得出，同理证得，于是推出，从而得解； （3）根据平行线分线段成比例定理先证点F是AB的中点，点G是AD的中点，得到FG是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出FG的长． 【解答】解：（1）判断：FG∥BD．理由如下： ∵EF∥BC， ∴， ∵EG∥CD， ∴， ∴， ∵∠FAG＝∠BAD， ∴△AFG∽△ABD， ∴∠AFG＝∠ABD， ∴FG∥BD； （2）∵BC∥AD， ∴△BCM∽△DAM， ∴， 由（1）知FG∥BD，即FH∥BM， ∴△AFH∽△ABM， ∴， 同理得：， ∴， ∴； （3）∵EF∥BC， ∴， ∵E为AC的中点， ∴， ∴， 即点F是AB的中点， ∵EG∥CD， ∴， ∴， 即点G是AD的中点， ∴FG是△ABD的中位线， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 相似三角形 中考数学中计相似三角形部分主要考向分为三类： 一、相似前的基础知识（每年1~2道，3~6分） 二、相似三角形的性质与判定（每年2~3道，6~12分） 三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~8分） 四、相似综合题（每年1~3题，3~18分） 中考统考后，对相似的单独考察，特别是大题中的相似问题，占比有所减少；但相似毕竟是一个容量较大，并且兼容性比较强的考点，所以在各地模拟考中相似的地位依然很重要。鉴于这种改变，对于相似三角形的复习，比例线段、比例中项、黄金分割、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、相似三角形的应用等基础考点必须熟练掌握，因为当中考的难度降低的时候，综合题可能会减少，基础依然会考。综合题中，则需要多注意相似与其他几何图形的融合性，比如，相似与四边形的综合、相似与圆的综合等。 考向一：相似前的基础知识 【题型1 比例线段、比例中项与黄金分割】 1、比例的性质：； 2、比例中项：，此时，c为a、b的比例中项； 3、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC(AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中： 特别注意： ①、对1、2考点的掌握，注意分清题目中是直接的数，还是线段。线段参与比例时，数据都是正数。 ②、黄金分割除了应用于线段的黄金分割点等计算，也注意联想记忆“黄金三角形”，即顶角为72°，底角为36°的等腰三角形，其底边与腰长之比也等于黄金分割比。 1．（2024•桐乡市校级一模）已知，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024•西湖区校级模拟）如果2x＝5y（y≠0），那么　 　． 3．（2024•萧山区一模）在尺规作图专题复习课上，老师出了一个作图题：“如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是△ABC的中线，用尺规作图作出线段AB的黄金分割点”小方和小程前面的作法都是：“以D为圆心，AD为半径画弧，交BD于点E．”，后面的作法不同． 小方的作法为：以B为圆心，BE为半径画弧，交AB于点M，则M为线段AB的黄金分割点； 小程的作法为：连结CE并延长交AB于点N，则N为线段AB的黄金分割点．则（　　） A．小方、小程都正确 B．小方、小程都错误 C．小方错误，小程正确 D．小方正确，小程错误 4．（2024秋•余杭区校级期末）如果线段a＝2，c＝8，且线段b是线段a和c的比例中项，那么b＝（　　） A．16 B．4 C．4或﹣4 D．16或﹣16 5．（2023•金华模拟）已知线段a＝2，b＝8，则线段a和b的比例中项为 　 　． 【题型2 平行线分线段成比例】 如图：AB∥CD∥EF 1．（2024•钱塘区三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF＝4，CD＝6，则线段AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•义乌市模拟）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为 　 　． 4．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，CD上，且∠1＝∠2． （1）求证：AD∥EF． （2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长． 考向二：相似三角形的性质与判定 【题型3 相似三角形的性质】 相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。 特别记忆：因为相似三角形对应边成比例的性质特点，所以中考数学中，求解线段长度时，列方程常以相似三角形对应边成比例为等量关系。 1．（2024•镇海区校级三模）如图OA：OD＝7：5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB∽△ODC，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•婺城区期末）如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 3．（2024秋•上城区校级期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是6cm2，则较大三角形的面积是（　　） A．9cm2 B． C．4cm2 D． 4．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 　 　． 5．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是． （1）若DE＝4cm，求BC的长． （2）若∠C＝35°，∠A＝20°，求∠EDA的度数． 【题型4 相似三角形判定与性质的综合】 重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型； 相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。 特别记忆：判定相似三角形的主要目的，就是要利用相似三角形的性质继续求解后续问题，所以问题中可以不直接让证明相似三角形，而是我们求解最后问题的中间手段。 1．（2024•拱墅区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE交AC于点F．若AE＝3ED，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•滨江区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，已知，用含a的代数式表示平行四边形DFCE的面积为 　 　． 3．（2024•浙江模拟）有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水．将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，则吸管在水中部分的长度为 　 　cm． 4．（2025•浙江模拟）有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在△ABC中，点D，E在AC上，点F在AB上，点G，H在BC上．若每个小正方形的边长为1，则△ABC的周长为 　 　． 5．（2025•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E在AB的延长线上，DE分别交BC，AC于点F，G．若AB＝5，AE＝AD＝8，EF＝DG，则BC＝ 　 　． 6．（2024•浙江一模）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•台州模拟）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD． （1）求证：AB2＝AD•AC； （2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数． 8．（2024•拱墅区二模）如图，在锐角三角形ABC中，AC＞BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD．点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE． （1）求证：△ACD∽△AEB． （2）当，求的值． 9．（2024•杭州一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，点F分别在AB，AC上，连结DE，DF． （1）若，求证：△BDE∽△CFD． （2）如图2，在（1）的条件下，连结EF，若EF＝9，BE＝10，求DE的值． 考向三：相似三角形的应用 【题型5 相似三角形的常见应用】 相似三角形在实际生活中的应用： （1） 建模思想：建立相似三角形的模型 （二）常见题目类型： 1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解 2.测量底部可以到达的物体的高度 3.测量底部不可以到达的物体的高度 4.测量河的宽度 1．（2024•金华三模）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD）可测量零件的内孔直径AB．若OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm 2．（2024•婺城区校级模拟）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．（2024•临安区二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝11.04m，EF＝2.76m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.24m，则旗杆AB的高度为（　　） A．12.96m B．12.76m C．12.56m D．12.36m 4．（2024•温州模拟）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，此时台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则树的高度AB为（　　） A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m 5．（2025•鹿城区校级一模）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时， 　 　． 6．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形，展开时∠GHB为90度． （1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 　 　米（影子完全落在地面）． （2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 　 　． 7．（2024•拱墅区二模）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD． （1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②CD的长度的最大值为 　 　cm． 8．（2024•西湖区三模）如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m． （1）求女孩的影子BD的长． （2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14） 【题型6 位似变换】 位似图形满足的条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比） 1．（2024•浙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 2．（2025•浙江一模）如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为1：4，则AE：BE＝（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 3．（2024•鹿城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 4．（2024•桐乡市校级一模）如图，在直角坐标系中，A（0，﹣1），B（2，0），以A为位似中心，把△ABC按相似比1：3放大，放大后的图形记作△ADE，则点D的坐标为 　 　． 5．（2023•上城区模拟）如图，在8×8的正方形网格中，已知△ABC的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形． （1）在图1中，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转90°得到△A1B1C（点A，B的对应点分别为A，B），并画出△A1B1C． （2）在图2中，以点C为位似中心，作△ABC的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出△ABC的位似图形． 考向四：相似的综合题 【题型7 相似三角形常见模型】 相似三角形的常见模型： 1、 手拉手相似 如图：△ABC∽△ADE时，连结BD、CE，直线BD、CE交于点H， 则有：△ABD∽△ACE、△AOB∽△HOC 2、 K型相似 如图，当∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°时，有△ADB∽△BEC 其他性质： 1　 普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】 2　 中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3 3　 以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。 3、 母子相似 当∠ABD=∠ACB时，有：△ABD∽△ACB，性质： 4、 平行类相似 如图：DE∥BC，则△ADE∽△ABC ☆：“A字图”最值应用 A字图中作动态矩形求最大面积时， 通常当MN为△ABC中位线， 矩形面积达到最大值！ 1．（2024•浙江模拟）如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，连结DE交对角线AC于点F，若∠DAC＝30°，∠DEC＝45°，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1.5 2．（2024•宁波模拟）如图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A．若∠CDG＝α，则∠AHF＝　 　；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为 　 　． 3．（2024•温州模拟）如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•钱塘区一模）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设y，则y关于x的函数表达式是 　 　． 5．（2024•仙居县三模）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝3，AB＝4，过点A作AD⊥CB于点D，以D为顶点作一个直角，其两边分别与边AC，AB交于点E，F，点F不与点B重合，则　 　． 6．（2023•桐庐县一模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝∠CAE，边DE与AC相交于点F． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE． 求证：四边形ADCE是菱形． 【题型8 相似与四边形的综合】 相似与四边形的结合，多注意平行类相似的A字图和8字图，因为很多特殊四边形中都自带平行！ 1．（2024•滨江区二模）如图，E是▱ABCD对角线BD上一点，满足ED＝3BE，连结AE并延长交BC于点F，则AD：BF＝（　　） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1 2．（2024•义乌市模拟）如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3 3．（2025•镇海区校级模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是BC中点，点F在BD上且满足AF⊥PF，延长AF分别交CD于点M，交BC的延长线于点E，则EM的长为 　 　． 4．（2024•瑞安市校级模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边分别向外作两个正方形ACDE，正方形CBFG，HA⊥AB，JB⊥AB，分别交边DE，CG于点H，J，下列说法不正确的是（　　） A．AH＝AB B．BJ＞EH C． D． 5．（2025•浙江模拟）在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，E是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作EF∥AB，交AC于点F，连结AE，设CE＝x． （1）用含x的代数式表示△CEF的面积． （2）当△CEF与△ACE相似时，求x的值． 6．（2024•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，动点P在BC延长线上，以AP为边作正方形PADE，边DE与线段BC交于点F． 【寻找变中不变】（1）求证：△ACP∽△PEF． 【确定动点位置】（2）当时，BF的长为 　 　． 【探求线段最值】（3）当CP多长时，线段CF最短？ 【题型9 相似与圆的综合】 相似与圆结合时，因为圆的性质“圆中同弧（或等弧）所对的圆周角相等、圆内接四边形的一个外角等于其相邻内角的对角”等，更有利于推导一些角相等，所以相似的证明多以“AA”为主。 1．（2024•瓯海区模拟）如图，以AB为直径的半圆中，有一内接正方形CDEF，其边长为1，AC＝a，BC＝b，则的值为（　　） A． B．3 C． D． 2．（2024•镇海区校级模拟）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，点E是半径OC上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结DF交BC于点G．若AB＝10，OM＝1，且OE，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•西湖区校级模拟）如图，平行线l1，l2分别经过⊙O直径AB的两个端点，C为⊙O上一点，过点C作l3∥l1交AB于点D，若l1，l2之间的距离为16，，BC＝20，则AB的长为（　　） A． B．21 C． D． 4．（2024•浙江模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC，BD相交于点E，且AC＝BD，过点C作CF∥BD交AB延长线于点F．若AD＝2CB，．则△BCF的面积为 　 　． 5．（2024•浙江模拟）如图，⊙O的弦BC垂直平分半径OA，点E是弦BC上一点，且BE＞CE，连接AE并延长交⊙O于点D，连结OD，OE，设DE＝nOE． （1）当点E是AD中点时，的度数为 　 　°； （2）连接AC，当时，则m与n的关系为 　 　． （建议用时：45分钟） 1．（2024•浙江模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝1，AD＝BC＝2，则的值（　　） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 2．（2025•拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　） A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 3．（2024•浙江模拟）如图，矩形ABCD∽矩形DEFG，连接AF、CG、DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（　　） A．矩形ABCD的面积 B．四边形ABCG的面积 C．△DEF的面积 D．△ADF的面积 4．（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺＝10寸）”根据译文信息，则井深AD为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 5．（2025•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•乐清市校级模拟）如图，A，B是⊙O上的点，A′，B′是⊙O外的点，△AOB和△A′OB′是位似图形，位似中心为点O，点A，B对应点是点A′，B′，OB′交⊙O于点C，若OC＝2B′C，AB＝2，则A′B′的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024•富阳区一模）如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，AB＝5米，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•乐清市校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．xy C．x2+y2 D． 9．（2024•桐乡市校级一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH：HP的值是（　　） A．2：1 B． C． D． 10．（2024•江干区校级二模）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比 　 　． 11．（2024•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为 　 　． 12．（2024•浙江模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像，已知蜡烛的高AB为4.8cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，则像CD的高为 　 　cm． 13．（2025•洞头区模拟）如图，在正方形ABCD中，M是边AD上一点，．将△DCM沿CM翻折得△D′CM，延长MD′、CD′分别交AB于点P、Q，过M作MN∥CD交CQ于点E，则△PQD′与△MD′E的面积比为 　 　． 14．（2024•金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连结BD，点E，F分别为AD，BD边上一点，AF⊥BE于点H． （1）若AE＝2，则DF＝　 　． （2）若DF：AE＝k，则k可取的最大整数值为 　 　． 15．（2024•萧山区二模）如图，以等腰△ABC的底边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC边于点D，E，过点E作EF⊥BC于点F，∠CEF的平分线交BC于点G．若BD＝3，CG＝1，则FG＝　 　，AE＝　 　． （参考素材：角平分线性质定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，如） 16．（2024•柯桥区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． （1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC． （2）在图2中找一点F，使∠AFC＝2∠ABC． 17．（2024•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结CG，DG，∠AGD＝60°． （1）求∠FGC的度数． （2）求证：AG•CF＝CG•CD． （3）令，若AB＝4，，求k的值． 18．（2024•瑞安市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝5，AD＝9．点E在线段AC上，EF∥BC交AB于点F，EG∥CD交AD于点G，FG交AC于点H，连结BD． （1）试判断FG与BD的位置关系，并说明理由． （2）求的值． （3）若E为AC的中点，BD＝12，求FG的长． 14 / 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