精品解析：2025年广东省湛江第一中学初中部中考一模数学试题

2024-2025学年第二学期市辖区六校联考九年级数学科试卷 考试时间：120分钟满分：120分 说明：1．全卷共8页，共23道题． 2．请考生把答案填写在答题卡指定区域． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年3月4日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房已突破145亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第7位．数据“145亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 7. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．则表格中___________． ． ．．． 13. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 14. 定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 15. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题共3小题．每小题9分，共27分） 19. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 20. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）． （）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 （）直接写出表中和的值，并求的值； （）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 21. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． （2）【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． （3）【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得． （1）探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分： （2）探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： （3）探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期市辖区六校联考九年级数学科试卷 考试时间：120分钟满分：120分 说明：1．全卷共8页，共23道题． 2．请考生把答案填写在答题卡指定区域． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 3. 截至2025年3月4日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房已突破145亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第7位．数据“145亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：145亿． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 5. 如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 6. 已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键；先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故选：D． 8. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 【详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 9. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．则表格中___________． ． ．．． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．设电流与电阻的函数关系式为，根据待定系数法求出解析式，当时，，填表即可． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 把代入得， ， 电流与电阻的函数关系式为， 当时， ， 故答案为：． 13. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 14. 定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 15. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，特殊角的三角函数值，先根据算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算，再根据有理数加减法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1） 直线l如图所示， （2） 补全图形，如图， 证明：由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题．每小题9分，共27分） 19. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 20. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）． （）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 （）直接写出表中和的值，并求的值； （）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析． 【解析】 【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （）用乘以甲商家分的占比即可求解； （）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （）； （）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 21. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． （2）【类比探究】 如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． （3）【迁移应用】 【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长． 【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 （3）；存在最小值，其最小值为 【解析】 【问题情境】延长到E，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系解答即可； 【类比探究】延长至点G，使，连接，利用全等三角形的判定与性质解答即可； 【应用1】过点O作于点E，于点F，利用全等三角形的判定与性质，垂径定理和勾股定理解答即可； 【应用2】取的中点F，连接，延长至点H，使，连接，，利用全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：延长到E，使得，连接，如图①， ， 在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：与的数量关系为：． 理由如下： 延长至点G，使，连接，如图， 则． 是的边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【小问3详解】 解：应用1：过点O作于点E，于点F，如图， 则，． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． ； 应用2：存在最小值，其最小值为， 理由如下： 取的中点F，连接，延长DF至点H，使，连接，，如图， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ∴点E，D，G、B四点共圆， ， ， ∵F为的中点， ∴． ，， ∴四边形为平行四边形， ，， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ． 若的度数发生改变，当点G，D，F三点在一条直线上时，的值最小为： ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理，垂径定理，平行四边形的判定与性质，四点共圆的判定，本题是阅读型，探究型题目，利用题干中的方法和解题思想解答是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得． （1）探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分： （2）探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： （3）探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长是解本题的关键． 探究一：证明平分可转化为证明，即证明是的中点即可，根据、的坐标满足函数的解析式即可证得； 探究二：证明四边形是正方形，证，即可求得，则和的比值是，则可利用的长表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得的长，则面积即可求解； 探究三：首先解方程组求得的坐标，作于点，则，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【小问1详解】 探究一：证明：，， 的坐标是， 的坐标是：， 在线上， ， 又的横坐标是，把代入，则， 是的中点，即， 又， ， 在的平分线上，即平分； 【小问2详解】 探究二：解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； 【小问3详解】 解：根据题意得： 解得：或 舍去， 则的坐标是． 的横坐标是，则的横坐标是，则， 在中，当时， ，， 如图所示，作于点． 折叠 又 则， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $