专题13.2 期中模拟测试卷（范围：7～9章）（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

期中模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的知识，掌握以上知识是解题的关键；先将化简为，然后再根据积的乘方逆运用进行计算，即可求解． 【解题过程】 解：原式=， ， ， ， ； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【思路点拨】 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含项，即可求出m的值． 【解题过程】 解： ， 多项式不含项， ， ， 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】 本题主要考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据各个图形中各个部分面积之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【解题过程】 解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意； 方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意； 方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意； 方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·周测）设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； ，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【解题过程】 解： ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【思路点拨】 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键． 根据，得，，得，代入计算即得． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法： ①方案一、方案二提价一样； ②方案一提价有可能高于方案二提价； ③三种方案中，方案三的提价最多； ④方案三的提价有可能低于方案一的提价． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【思路点拨】 本题主要考查列代数式，分别求出三次方案提价后变为原来的多少，再进行比较即可． 【解题过程】 解：方案一：两次提价后变为原来的， 方案二：两次提价后变为原来的， 方案三：两次提价后变为原来的， 所以方案一和方案二提价一样，故①正确，②错误； ， ∵， ∴， ∴方案三提价最多，故③正确，④错误． 故选：A． 7．（23-24八年级上·广东广州·期末）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【思路点拨】 本题考查了二项式展开式系数．运用“杨辉三角”来确定展开式中各项系数是解题的关键．根据“杨辉三角”得规律，找到展开式中各项的系数，从而确定项的系数即可． 【解题过程】 解：“杨辉三角”中，对于，其系数是第行的数．例如系数为第1行的1；系数为第2行的1、1；系数为第3行的1、2、1等等．每一行的数都是由上一行相邻两数相加得到的（两端的数为1）； 根据上述规律的系数为第五行的1、4、6、4、1．那么的系数，第6行是由上一行相邻两数相加得到，即1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）； 同理，的系数为第7行，1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）．在的展开式中，含项的系数是第6个系数，即6． 故选D． 8．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【解题过程】 解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 9．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：①；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②④ 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，平行线的性质等；①由平移的性质得，即可判断；②由平行的性质得，与不一定相等，即可判断；③由平移的性质得，可得，即可判断；④连接，由，即可判断；掌握平移的性质，平行线的性质是题的关键． 【解题过程】 解：①将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形， ， ； 故①正确； ②同理可得， ， 与不一定相等， 不一定成立； 故②不正确； ③将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形， ， ； 故③正确； ④连接， ， （）， 故④正确； 故选：A． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图， 在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（    ） ①    ②  ③  ④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【解题过程】 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作， 同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或． 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【思路点拨】 本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 【思路点拨】 本题考查了整式的乘法、整式的加减，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，首先把大长方形、型卡片、型卡片的面积用代数式表示出来，大长方形的面积减去个型卡片的面积和个型卡片的面积，根据剩下的面积和型卡片的面积求出需要的型卡片的数量． 【解题过程】 解：如下图所示，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 图中有个，个， 长方形中剩余部分的面积为， 型卡片的面积为， 需要个类型的卡片． 故答案为： ． 13．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为 ． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算和求值的运用．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【解题过程】 解：∵①； ②； ③； …， ∴， ∴ ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6， 所以的末位数字为4， 所以的末位数字为3， 即的计算结果的末位数字为3． 故答案为：3． 14．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 【思路点拨】 本题考查旋转的性质、三角形的面积公式、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．由点在边上，，得，再分两种情况讨论，一是落在线段上，则，，因为，，所以，求得；二是点落在线段上，则，，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【解题过程】 解：∵点在边上，， ∴， 如图，点落在线段上， 由旋转得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，点落在线段上， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的面积等于或， 故答案为：或． 15．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填序号） ①若a，b，c满足，则的最小值为1． ②若a，b，c满足，则的值是13． ③关于x的多项式的展开式中的系数为． ④若x，y满足，，则的值为． 【思路点拨】 本题考查了求整式的值，完全平方公式变形运算，整式混合运算等； ①由得，即可求解； ②设，，， ，由完全平方公式即可求解； ③分别求出的系数，即可求解； ④可得，由此可求，整体代入，即可求解； 能熟练进行整式混合运算并利用完全平方公式变形进行运算是解题的关键． 【解题过程】 解：① ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故此项错误； ②设，， ， ， ， 的值是13， 故此项正确． ③， ， ， ， 关于x的多项式的展开式中的系数为， 故此项错误； ④ ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故此项正确； 故答案为：②④． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【思路点拨】 本题考查整式的运算，涉及幂的乘除、整式的乘法、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、乘法公式等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则求解即可； （2）利用同底数幂的除法和积的乘方运算，再合并同类项即可求解； （3）利用多项式乘以单项式的运算法则求解即可； （4）利用平方差公式求解即可； （5）利用多项式乘多项式运算法则求解即可； （6）利用完全平方公式求解即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 17．（6分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）分别求出下列式子的值． （1）先化简，再求值：, 其中． （2）已知求的值． 【思路点拨】 本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． （1）无用整式的运算法则进行计算，后代入求值即可； （2）先化简等式，再整体代入求解即可． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， 当时， 原式， ， ； （2）解： ， ， ， ， 18．（6分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将向右平移8个单位长度后的 （2）画出将以点O为旋转中心、顺时针旋转后的； （3）与是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 【思路点拨】 本题考查了平移作图，旋转作图，两图形成轴对称定义； （1）按要求作图，即可求解； （2）按要求作图，即可求解； （3）按两图形成轴对称定义判断，作出对称轴，即可求解； 理解两图形成轴对称定义，掌握作法是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：如图, 为所求画的三角形； （2）解：如图， 为所求画的三角形； （3）解：成轴对称，如图， 直线为所求画的对称轴． 19．（6分）（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【思路点拨】 （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【解题过程】 （1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ② ， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 20．（6分）（24-25八年级上·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 （1）完成上面的填空． （2）请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． （3）若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【思路点拨】 此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）选择两个类似的长方形框试一试即可； （3）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论． 【解题过程】 （1）解：， 不难发现，结果都是14， 故答案为：14；14；14； （2）解：如图： ， ， 结果都是14；符合规律； （3）解：①设左上角的数字为n，则右上角的数字为， 左下角的数字为，右下角的数字为． 发现的规律是． 证明： ； ②设左上角的数字为n，则右上角的数字为， 左下角的数字为，右下角的数字为． 发现的规律是． 证明： ． 21．（8分）（24-25八年级上·河南商丘·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． （1）若是一个完全平方式，求常数k的值： （2）若，且，求的值： （3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∵是完全平方式， ∴， ∴； （2）∵ ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 22．（8分）（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【思路点拨】 （1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【解题过程】 （1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 23．（9分）（23-24七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    【思路点拨】 （1）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）将转化为，即，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据例题的解题思路进行计算，即可解答； （4）根据已知可得，，从而可得，再根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用（3）的解题思路进行计算，即可解答． 【解题过程】 解：（1）设，， 则，， ， 的值为2560； （2）∵， ， ， 设，， 则，， ， 的值为； （3）设，， 则，， ， ， 的值为； （4）∵，，，， ，， 长方形的面积是， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 正方形的面积 ， 正方形的面积为3636． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25九年级上·山东滨州·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则m的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·全国·周测）设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 6．（24-25八年级上·福建福州·期末）某商店的某种商品成本增加，因此商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为；其中a，b是不相等的正数．有以下说法：①方案一、方案二提价一样；②方案一提价有可能高于方案二提价；③三种方案中，方案三的提价最多；④方案三的提价有可能低于方案一的提价．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 7．（23-24八年级上·广东广州·期末）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 8．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 9．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：①；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②④ 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图， 在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（    ） ①    ②  ③  ④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（2025七年级下·全国·专题练习）若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 12．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有如图所示的三种类型卡片，，，想要拼成如图所示的长方形，则需要类型卡片 张． 13．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为 ． 14．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，，，，，将绕着点旋转，使得点的对应点落在边上，点、的对应点分别是点，则的面积等于 ． 15．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的有 ．（填序号） ①若a，b，c满足，则的最小值为1． ②若a，b，c满足，则的值是13． ③关于x的多项式的展开式中的系数为． ④若x，y满足，，则的值为． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 17．（6分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）分别求出下列式子的值． （1）先化简，再求值：, 其中． （2）已知求的值． 18．（6分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点上．按下列要求画图： （1）画出将向右平移8个单位长度后的 （2）画出将以点O为旋转中心、顺时针旋转后的； （3）与是否成轴对称？若是，请画出对称轴． 19．（6分）（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 20．（6分）（24-25八年级上·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如________，________，不难发现，结果都是________． 2025年1月 （1）完成上面的填空． （2）请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律． （3）若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 21．（8分）（24-25八年级上·河南商丘·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． （1）若是一个完全平方式，求常数k的值： （2）若，且，求的值： （3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 22．（8分）（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 23．（9分）（23-24七年级下·山东青岛·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，． ∴ ； 类比探究： （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成． （3）若满足，求的值． 解决问题： （4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）    第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$