精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中2024-2025学年高一下学期阶段测试一（3月）数学试题

北京师范大学附属实验中学 2027届高一下学期数学阶段测试一 班级_____姓名_____学号_____ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：A 2. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性逐一判断得解. 【详解】对于AC，函数，都是奇函数，A不是，C不是； 对于B，函数是偶函数，周期为，B不是； 对于D，函数是偶函数，周期为，D是. 故选：D 3. 已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形面积公式求出答案. 【详解】设扇形的半径为cm，则， 则该扇形的面积为. 故选：C 4. 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移变换和伸缩变换得到相应的图象. 【详解】A：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故A错误； B：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故B错误； C：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故C正确； D：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故D错误. 故选：C. 5. 如图是函数的部分图象，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出各参数即可. 【详解】观察图象知，，函数的周期，则， 由，得，而，则， 所以. 故选：B 6. 在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断如果 能不能推出 是钝角三角形， 再判断如果 是钝角三角形，是否一定有即可. 【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且, 则， ，是钝角三角形， 所以是充分条件； 如果 是钝角三角形，不妨设 ，则 ， 所以不是必要条件； 故选：A. 7. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 8. 已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求出的取值范围，再根据三角函数的图象得到的不等式，即可得答案； 【详解】令，∵，∴， 设， 若关于x的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根， 则在上有且仅有4个不相等的实数根， ∴， 故选：D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 已知，，则角是第_____象限角. 【答案】三 【解析】 【分析】根据三角函数在各个象限的符号求解即可. 【详解】由，则角是第一、三象限角， 又，则角是第三象限角. 故答案为：三. 10. 求函数的定义域________. 【答案】， 【解析】 【详解】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 11. 如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出终边经过则对应的角和的关系. 【详解】，所以终边经过则 角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则， 所以 ，即或 即或 经过点 故答案为：； 12. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 13. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为函数的图象关于直线对称， 所以，，即，， 又，所以，从而. 因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故的最大值为. 故答案为： 14. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在无数个零点； ②区间是的单调递增区间； ③若，则； ④在上无最大值. 其中所有正确结论的序号为_____. 【答案】①③ 【解析】 【分析】解方程，可判断①；利用特值法可判断②；推导出，可判断③；分析函数在区间上的最大值点在区间内，再根据最值定理可判断④. 【详解】对于①，由，解得函数的定义域为， 令，可得，则， 故，所以函数有无数个零点， ①正确； 对于②，，， 因为， 所以，故函数在上不可能单调递增，故②错误； 对于③，对任意的， ， ，所以当时，有，故③正确； 对于④，当时，， 令，可得，， 解得，，假设函数在上的最大值点为， 则，设， 因为， 则， 所以，则， 所以在上存在最大值点，则， 又因为在上是一条连续不断的曲线， 所以函数在上存在最大值， 故函数在上存在最大值，④错误； 综上，①③正确. 故答案为：①③. 三、解答题（共44分） 15. 已知函数，. （1）填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象； 0 0 0 0 （2）函数的最小正周期_____； （3）求函数的单调增区间和对称中心. 【答案】（1）见解析 （2） （3）单调递增区间：，；对称中心：. 【解析】 【分析】(1)利用给定的角依次求出对应的三角函数值，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； (2)根据正弦函数的周期公式计算即可； (3)利用整体代入法结合正弦函数的周期性和对称性求解即可. 【小问1详解】 x 0 0 2 0 0 函数图象如图所示， 【小问2详解】 由，可知； 【小问3详解】 令，， 得，. 所以函数的单调递增区间：，. 令，得， 即的对称中心为：. 16. 已知和是关于x的方程的两实根，且． （1）求m的值； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式化简即得； （2）由题可得，然后根据同角关系式将弦化切，计算即可求得. 【小问1详解】 由题可知， 又， 得． 【小问2详解】 因为且， 则且，而， 解得（舍）或．综上，． 17. 已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，. （1）求该地区这一天这一段时间内的最大温差； （2）直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ （3）某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 【答案】（1） （2）点 （3）小时 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数来求指定区间内的最值即可求解； （2）利用正弦函数值在指定区间内有两解来求另一个解即可； （3）利用正弦型函数满足的不等式，结合指定区间，即可求解. 【小问1详解】 当时，有，则， 此时函数在时取到最大值为，在时取到最小值为， 所以该地区这一天这一段时间内的最大温差为； 【小问2详解】 当时，， 则 ， 根据，可知， 所以16点的温度与12点的温度相等； 【小问3详解】 由题意可得：， 因为，所以可得：， 解得：， 所以该细菌能生存的最长时间为小时. 18. 设，，再从下面三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定.. （1）求的解析式； （2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 条件①：对任意的，都有； 条件②：最小正周期为； 条件③：在上为增函数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选择②③，结合三角函数的图象与性质，求得的值，即可求得函数的解析式；但选择①②或①③无法确定的值. （2）由，再由，求得，根据题意，转化为恒成立，令，结合为单调递增函数，求得，即可求解. 【小问1详解】 若选择①②： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得或者，则无法确定； 若选择①③： 由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 又由函数在为单调递增函数，可得，解得， 又由，可得， 因为函数在为增函数，则满足， 解得，所以， 即，解得， 综上，则无法确定，则无法确定. 若选择②③： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由，可得， 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以，所以； 【小问2详解】 由， 因为，可得， 所以，即， 又由对任意的，不等式恒成立， 即不等式恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令在上为单调递增函数，则，所以， 即实数的取值范围为. 19. 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明) （2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值； （3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数. 【答案】（1）函数不具有性质，具有性质， （2）在上有最大值， （3）当，时，结论显然成立， 以下考虑不恒为零的情况，即，使得， 由直线为图像的一条对称轴，得， 由题意可得，，，使得成立， 所以，即， 由直线为图像的一条对称轴，得， 因为，， 所以，所以， 所以对于任意，成立，其中， 综上，为周期函数. 【解析】 【分析】（1）直接利用性质判断； （2）由性质，可求出的函数解析式，利用三角函数的性质可求出其最大值； （3）由直线为图像的一条对称轴，可得，由性质可求得，再由直线为图像的一条对称轴，得，从而可得结论 【详解】解：（1）因为函数是单调递增函数，若恒成立，则且， 与矛盾，所以函数不具有性质， 当时，函数对于任意，成立，所以具有性质， （2）设，则，则题意得， 所以，， 由，，得， 所以当时，， 所以当，在上有最大值， （3）略 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，考查三角函数的性质，考查函数对称性的应用，解题的关键是正确理解性质，利用性质代换化简，考查理解能力和计算能力，属于较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学 2027届高一下学期数学阶段测试一 班级_____姓名_____学号_____ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 5. 如图是函数的部分图象，则该函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程在区间上有且仅有4个不相等的实数根，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 9. 已知，，则角是第_____象限角. 10. 求函数的定义域________. 11. 如图，单位圆被点分为12等份，其中.角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则__________；若，则角的终边与单位圆交于点__________.（从中选择，写出所有满足要求的点） 12. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 13. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____. 14. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在无数个零点； ②区间是的单调递增区间； ③若，则； ④在上无最大值. 其中所有正确结论的序号为_____. 三、解答题（共44分） 15. 已知函数，. （1）填写下表，用“五点法”作函数在一个周期内的图象； 0 0 0 0 （2）函数的最小正周期_____； （3）求函数的单调增区间和对称中心. 16. 已知和是关于x的方程的两实根，且． （1）求m的值； （2）求． 17. 已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，. （1）求该地区这一天这一段时间内的最大温差； （2）直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ （3）某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 18. 设，，再从下面三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定.. （1）求的解析式； （2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 条件①：对任意的，都有； 条件②：最小正周期为； 条件③：在上为增函数. 19. 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质. （1）判断函数和具有性质？(结论不要求证明) （2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值； （3）若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $