精品解析：四川省广安第二中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

广安二中高2023级2025年春第一次月考试题 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，， 当时，，解得. 2. 已知P是所在平面外一点，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可得，可求值. 【详解】由，得， 即，所以，，， 故. 故选：A. 3. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 4. 已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点的定义、韦达定理以及对数运算可得的值，根据等比数列的性质，可得答案. 【详解】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知. 故选：B. 5. 已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（ ） A. 8 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解. 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下， 因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 6. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线离心率及参数关系求得，再写出渐近线方程和焦点坐标，应用点线距离公式求焦点到渐近线的距离. 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 7. 已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦， 可知， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：B 8. 已知一个各项非零的数列满足且且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比数列，由此可求数列的通项公式，再分别在，，条件下判断函数的单调性可得结论. 【详解】由条件可得：且，， 所以， 设，则， 所以 若，则,，与矛盾， 所以，故， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故， 所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，， 与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A. 二、多选题 9. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ） A. 运动员在时的瞬时速度是 B. 运动员在时的瞬时速度是 C. 运动员在附近以的速度上升 D. 运动员在附近以的速度下降 【答案】BD 【解析】 【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断. 【详解】由已知，， 的瞬时速度为， 因此该运动员在附近以的速度下降， 故选：BD． 10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 11. 已知等差数列前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 时， 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意可得、，即可得到，再利用等差数列和等差数列前项和的性质逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 若，则，， 所以，，即等差数列为递减数列， 对于A，， 则，故A正确； 对于B，由，知等差数列前7项为正数，其余项为负数， 故当时，最大，故B错误； 对于C，， 故，， 所以使得成立的最小自然数，故C正确； 对于D，因为， ，当时， 所以当或时，，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义及求导公式即可求解. 【详解】设，则， ∴. 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题干递推式求得，然后根据作差即可求得，再结合诱导公式化简得，最后利用倒序相加法求和即可. 【详解】，① 当时，，② ①-②得； 当时，，此时仍然成立，． 当时，； 当时，， 当时，上式也成立，故． 由于， 设 ， 则， ． 故答案为： 14. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得. 【详解】当时，， 因为数列为“速增数列”， 所以，且， 所以，即， 当时，，当时，， 故正整数的最大值为20， 故答案为：20. 四、解答题 15. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【小问1详解】 ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 16. 各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式. （2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果. 【详解】（1）因为各项均不相等，所以公差 由等差数列通项公式 且， 所以， 又成等比数列，所以， 则，化简得， 所以 即 可得 即 （2）由（1）可得 化简可得 由 所以 【点睛】本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题. 17. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 18. 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点的轨迹的方程； （2）求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 设，， 所以，整理为，； 【小问2详解】 设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和. （3）已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 【答案】（1）证明见解析. （2）. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列新定义求解即可； （2）由等差数列的基本量法求出数列的通项，再由错位相减法求和即可； （3）先由数列新定义证明数列是以为首项，为公比的等比数列，得到通项，然后表达出再结合所给不等式变形即可. 【小问1详解】 由题意知：，， 又，，即， 所以是数列的生成函数； 【小问2详解】 由（1）知：，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 所以 ， 两式相减得：， 所以. 【小问3详解】 由题意知：，， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 又，，， 则当时，， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安二中高2023级2025年春第一次月考试题 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知P是所在平面外一点，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（ ） A. 10 B. C. D. 5. 已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（ ） A. 8 B. 7 C. D. 6. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 已知抛物线C：，其中是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 8. 已知一个各项非零的数列满足且且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ） A. 运动员在时的瞬时速度是 B. 运动员在时的瞬时速度是 C. 运动员在附近以的速度上升 D. 运动员在附近以的速度下降 10. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 11. 已知等差数列前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 时， 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. __________． 13. 已知数列的前n项和为，且，设函数，则______． 14. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________． 四、解答题 15. 已知曲线. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 16. 各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： （1）动点的轨迹的方程； （2）求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和. （3）已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $