精品解析：河南省三门峡市灵宝市实验高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

灵宝实验高中高一下期月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】由题意， 故选：B. 2. 边长为2的等边三角形中，（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义及公式计算即可. 【详解】由题意， 故选：C. 3. 在中，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，， 即，解得， 又，则，所以. 故选：B. 4. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在方向上的投影向量是，代入计算即可. 【详解】由题意有，， 所以在方向上的投影向量是， 故选：A. 5. 已知向量满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由向量满足， 因为，可得， 解得， 故选：D. 6. 如图所示，设A，B两点在河两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，, 所以， 在中，由正弦定理得, 即，解得. 所以A，B两点的距离为m. 故选：A. 7. 如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【详解】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴， ∴，故. 故选：D. 8. 在中，已知，则的内切圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三边长利用余弦定理求得继而求得三角形的面积，接着通过的内切圆的圆心分割三角形得到其面积的另种表示方式，即可求得内切圆半径. 【详解】由余弦定理可得，因， 则， . 设的内切圆的半径为，则，解得， 则的内切圆的面积为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列正确的是（ ） A. 若，则与能作为一组基底 B. ，则与能作为一组基底 C. 与可以作为一组基底 D. 若不共线，则与可以作为一组基底 【答案】BD 【解析】 【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项. 【详解】选项A：判断与是否共线. ，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误. 选项B：判断与是否共线. ，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确. 选项C：判断与是否共线. 设，可得. 若与不共线，则不存在这样的实数使得成立； 若与共线，则与共线. 由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误. 选项D：判断与是否共线.设，即. 因为，不共线，所以不存在实数使得成立. 所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确. 故答案为：BD. 10. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 若，则解此三角形有两解 B. 若，则此三角形为等腰直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 的充要条件是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理求解可判断A；利用正弦定理边化角可得或，可判断B，利用锐角三角形的定义以及诱导公式计算可判断C；由正弦定理可判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即，解得或，故三角形有两解，故A正确； 对于B，因为， 所以由正弦定理可得， 所以，因为，， 所以或，所以或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为为锐角三角形，所以，所以，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，充分性，若，则，所以，故充分性成立， 必要性，若，则，所以，故必要性成立， 所以的充要条件是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 若，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理化简判断A，根据正弦定理结合合比性质判断B，利用正弦定理及数量积定义得，然后利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求解范围判断C，根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的角平分线与垂直且，即可判断D. 【详解】对于A，在中，，由余弦定理得，正确， 对于B，由正弦定理，可得，， 所以，正确； 对于C，由选项B知，，则 ， 又，所以，所以， 所以，错误； 对于D，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量， 根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线， 由可知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用数量积的定义及正弦定理、综合运用两角和差正弦公式及二倍角公式化简，再利用正弦函数的性质求解范围即可. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得，再利用向量垂直，可得，进而求得的值. 【详解】由题意得，从而，得. 故答案为：. 13. 在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别在和中利用余弦定理可得，，再将面积表达式平方并利用二次函数性质即可求得面积的最大值. 【详解】如下图所示： 设角所对的边分别为， 在中，由利用余弦定理可得， 又，可得， 即； 同理在中,由利用余弦定理可得， 又，可得， 即； 联立，解得，； 由的面积为可得 因此可得，可得， 即面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用中线长结合余弦定理求得三边长之间的关系，再由面积表达式平方计算，根据二次函数性质可求得最值. 14. 在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出的取值范围. 【详解】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系. 则.不妨设. 因为，所以，解得：， 所以. 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 所以当时最大；当时最小. 所以的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，其中. （1）若向量是单位向量，且，求向量； （2）若向量，向量与向量共线，求向量. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模和垂直的坐标表示列出等式求解； （2）根据向量平行的坐标表示列出等式求解. 【小问1详解】 设， 根据题意，得，则或， 所以或； 小问2详解】 若向量， 则，， 由向量与向量共线， 可得，则， 故. 16. 在中，角,,的对边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求和的值. 【答案】（1）（2） 或 . 【解析】 【分析】（1）根据已知结合余弦定理求出，再由角是 内角得出角的范围进而可以求解； （2）根据已知结合余弦定理即可求解 【详解】（1）由，得， 由余弦定理，得， 即， 又因为， 所以 . （2）由（1）及余弦定理，得 ， 将 ，代入得. 由，解得或 所以或 . 17. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 18. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． （1）求此山的高OP的值； （2）求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），在中和中，利用正切函数可表示出，然后在中利用余弦定理可求出； （2）设是线段AB上一动点，连结OC，PC，当时，OC最短，此时观测点的仰角正切值的最大，从而可求出其最大值. 【小问1详解】 设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以此山的高为． 【小问2详解】 由（1）得， 设是线段AB上一动点，连结OC，PC， 则在点处观测点的仰角为， 当时，OC最短， 由得， 所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值最大值为． 19. 在中，内角对边分别为，且为边上的一点，且平分. （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可得结果. （2）根据面积公式可得，利用基本不等式得到，结合余弦定理求得，由此可得答案. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵，∴， ∴，故，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 ∵为的平分线，∴. ∵，∴， ∵，∴， 由得，，由得，当且仅当时，等号成立，， 在中，由余弦定理得，， 令，则， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，，故， ∴周长的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵宝实验高中高一下期月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 边长为2的等边三角形中，（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 在中，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图所示，设A，B两点在河两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，则的内切圆的面积为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列正确的是（ ） A. 若，则与能作为一组基底 B. ，则与能作为一组基底 C. 与可以作为一组基底 D. 若不共线，则与可以作为一组基底 10. 在中，角的对边分别为，则（ ） A. 若，则解此三角形有两解 B. 若，则此三角形为等腰直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 充要条件是 11. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 若，则为等边三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，与的夹角为，若与垂直，则实数__________. 13. 在中，，分别为，的中点，，，则面积的最大值为________． 14. 在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，其中. （1）若向量是单位向量，且，求向量； （2）若向量，向量与向量共线，求向量. 16. 在中，角,,的对边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，，求和值. 17. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 18. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且． （1）求此山的高OP的值； （2）求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 19. 在中，内角的对边分别为，且为边上的一点，且平分. （1）求的大小； （2）若的平分线交于点，且，求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $