精品解析：2025年重庆市开州区云枫教育集团九年级中考一模数学试题

云枫初中教育集团九年级下期第一次阶段性测试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 4. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若位似比为，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A. 22 B. 25 C. 28 D. 30 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 2和3之间 C. 1和2之间 D. 0和1之间 8. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 11. 2025年春节期间，哪吒票房突破，将数据用科学记数法表示为__________． 12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“云”，“枫”，“初”，“中”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的汉字是“初”和“中”的概率是__________． 13. 如图，在中，点D在上，连接，将沿翻折得到和同一平面内的，点E是点C的对应点．且在外部，当时，连接，若，，，则的面积为__________． 14. 若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为__________． 15. 如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则_________， _________． 16. 对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“同差数”．对于一个“同差数”N，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，规定：．例：，因为，故：是一个“同差数”．所以：，则：．已知是一个“同差数”，则_____．若自然数P，Q都是“同差数”，其中（，x，y，m，n都是整数），规定：，当能被11整除时，则k的最大值为_________． 三、解答题：（本大题8个小题，每题各10分，共80分） 17. 计算： （1）； （2）化简求值：其中． 18. 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，交于点O，平分交于点E，平分交于点F． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ① ， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ② ． ∴． 又∵ ③ ，， ∴． ∴． 小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段 ④ ． 19. 今年全民国家安全教育日宣传教育活动的主题是“总体国家安全观•创新引领10周年”．某校组织了有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，单位：分），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级学生C组的竞答成绩为：81，81，82，82，82，86． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：60，61，61，63，70，72，74，75，81，84，84，84，84，90，90，91，91，92，93，100． 七年级抽取的竞赛成绩扇形图 七、八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解国家安全教育知识？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数． 20. 春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍． （1）求每千克甲种糖果的进价是多少元？ （2）该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？ 21. 如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 22. 如图，某景区平面地图中景点D在出发点A的正北方向800米处，观景点B在出发点A的西北方向且在景点D的西南方向，在出发点A的北偏东方向有一条栈道通往游客中心C，游客中心C在景点D的北偏东方向上，(参考数据：) （1）请求出栈道的长度（结果保留根号）； （2）小华计划从出发点A前往景点D，可以选择路线①沿A─B─D慢跑，也可以选择路线②沿A─C─D骑自行车，小华慢跑的速度为每分钟120米，骑自行车的速度比慢跑的速度每分钟快60米，请问小华选择哪条路线先到达景点D？(结果保留小数点的后一位) 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线解析式； （2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． （3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 24. 在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云枫初中教育集团九年级下期第一次阶段性测试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的意义进行判断． 分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项． 【详解】解：，，，， ∵， ∴绝对值最大的是； 故选：A． 2. 《国语•楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选A． 4. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴， 故选：A 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若位似比为，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 先根据位似的性质得到与的位似比为，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， ， ∴与的面积比是， 故选：C． 6. 按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A. 22 B. 25 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解． 【详解】解：搭一个小正方形需要4根小棒， 搭两个小正方形需要7根小棒， 搭三个小正方形需要10根小棒， 搭四个小正方形需要13根小棒， ……， 搭n个小正方形需要根小棒， 则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，找到变化规律是解题的关键． 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 2和3之间 C. 1和2之间 D. 0和1之间 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先计算二次根式，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的值应在0和1之间， 故选：D． 8. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，正六边形的性质，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，过B点作垂线，垂足为G，先求出，进而求出，再求出，最后根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：过B点作垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10. 依次排列的两个整式，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（ ）个． ①第6个整式为； ②第个整式中系数与系数的和为； ③若，则前个整式之和为． ④第次与第次操作后得到的两个整式中与所有系数的绝对值之和为； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，举反例方法的应用，绝对值的含义，掌握探究的方法是解本题的关键．先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，结合举反例的方法，从而可得答案． 【详解】解：①第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：，（第一次操作） 第4个整式：，（第二次操作） 第5个整式：，（第三次操作） 第6个整式：，（第四次操作） 第7个整式：，（第五次操作） 故①错误； 由前面7个等式可得的系数之和为， ∴第个整式中系数与系数的和为；故②正确； ∵，当时，前3个整式之和为： ，故③错误； 当时，第一次操作得，第二次操作得， 此时所有的系数的绝对值之和为， 此时，故④错误； 综上分析可知：正确的有1个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 11. 2025年春节期间，哪吒票房突破，将数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有四张完全一样正面分别写有汉字“云”，“枫”，“初”，“中”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的汉字是“初”和“中”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法的运用是解题的关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能的结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：汉字“云”，“枫”，“初”，“中”的卡片分别用表示，运用列表法把所有等可能结果表示如下， 共有12种等可能结果，其中是“初”和“中”的有，共2种， ∴（抽取的两张卡片上的汉字是“初”和“中”）， 故答案为： ． 13. 如图，在中，点D在上，连接，将沿翻折得到和同一平面内的，点E是点C的对应点．且在外部，当时，连接，若，，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，作于，交的延长线于，由折叠的性质可得，，，由题意可得为等腰直角三角形，得出，求出，解直角三角形得出，，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，求出，由直角三角形的性质可得，解直角三角形得出，最后由面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接交于，作于，交的延长线于， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14. 若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多5个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 15. 如图，以为直径的与相切于点A，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，则_________， _________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①连接，根据题意先求出直径的长，得到半径的长，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； ②连接，先求出，再证明，，得到，，求得，，根据勾股定理求出，再证明，即可求解． 【详解】解：①如图，连接， ∵为的直径，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，． 16. 对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“同差数”．对于一个“同差数”N，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，规定：．例：，因为，故：是一个“同差数”．所以：，则：．已知是一个“同差数”，则_____．若自然数P，Q都是“同差数”，其中（，x，y，m，n都是整数），规定：，当能被11整除时，则k的最大值为_________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用、不等式的性质、有理数加减乘除运算的应用．理解“同差数”的定义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键． （1）根据“同差数”的定义求得s和和t，进而求得； （2）根据“同差数”的定义和已知条件，求得，进而求得，再根据字母的取值范围，分情况考虑即可求出k的最大值． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵，其中， ∴P的千位数字为x，百位数字为6，十位数字为，个位数字为6， ∴由“同差数”知：， 即； 而， ， ∴； ∵，其中， ∴Q的千位数字为3，百位数字为m，十位数字为，个位数字为， ∴由“同差数”知：， 即； 而， ， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵能被11整除， ∴或0或11； ①当时，， ∵， ∴或， ∴或4， 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴不存在； ③当时，， ∵， ∴， ∴或， ∴或2； 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ∴的最大值为； 故答案为：1；． 三、解答题：（本大题8个小题，每题各10分，共80分） 17. 计算： （1）； （2）化简求值：其中． 【答案】（1） （2），0 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，分式的化简求值： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ； 当时，原式． 18. 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，交于点O，平分交于点E，平分交于点F． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ① ， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ② ． ∴． 又∵ ③ ，， ∴． ∴． 小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段 ④ ． 【答案】①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查尺规作图以及全等三角形的性质．根据要求做出图形，证明，推出即可得出答案． 【详解】解：图形如图所示： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：①，②，③． 19. 今年全民国家安全教育日宣传教育活动的主题是“总体国家安全观•创新引领10周年”．某校组织了有关国家安全教育知识线上测试活动，测试满分100分，为了解七、八年级学生此次线上测试成绩的情况，分别随机在七、八年级各抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（比赛成绩用x表示，单位：分），共分成4组：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级学生C组的竞答成绩为：81，81，82，82，82，86． 八年级被抽取学生的竞答成绩为：60，61，61，63，70，72，74，75，81，84，84，84，84，90，90，91，91，92，93，100． 七年级抽取的竞赛成绩扇形图 七、八年级抽取的竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解国家安全教育知识？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，请你估计该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数． 【答案】（1），，； （2）八年级的学生更了解国家安全教育知识，因为在平均数一样的情况下，八年级的中位数、众数比七年级的要大． （3）人 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可求解a和b，用“组”的人数除以总人数乘以可得m的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度比较即可得出结论； （3）分别用七、八年级总人数乘七、八年级学生中竞答成绩不低于90分人数所占百分比，再相加即可． 【小问1详解】 解：由题知，，即， （人）， 七年级组和组所占人数为8人，七年级中位数为第10位和第11位成绩的平均数， 即， 八年级众数， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：八年级的学生更了解国家安全教育知识，因为在平均数一样的情况下，八年级的中位数、众数比七年级的要大． 【小问3详解】 解：由题意知，（人）， 答：该校七、八年级学生中竞答成绩不低于90分的总人数为人． 【点睛】本题主要考查中位数、众数的定义，利用中位数、众数做决策，用样本估计总体，以及统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键． 20. 春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍． （1）求每千克甲种糖果的进价是多少元？ （2）该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？ 【答案】（1）每千克甲种糖果的进价是30元 （2）该超市本次购进甲种糖果至少是500千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，根据用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，根据总获利不少于19600元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元， 由题意得： 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 答：每千克甲种糖果的进价是30元 【小问2详解】 由（1）可知， 该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克， 由题意得： 解得： ∵m为正整数， ∴m的最小值为500 答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克 21. 如图1，平行四边形ABCD中，，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线运动（含端点），到达A点停止运动．过点P作，交一边于点Q，并过点Q作QM垂直于直线CD于点M．设点P的运动时间为x秒，，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示， 性质：当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可； （2）利用描点法作出图象，再根据函数图象写出性质即可； （3）根据图象写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时， 过点C作于E， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ 由勾股定理，得， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，如图， 同理可得： 综上，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由图象可得当时， 【点睛】本题考查分段函数，求函数解析式，画函数图象，函数的性质，利用函数图象求不等式解集，相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出函数解析式是解题的关键． 22. 如图，某景区平面地图中景点D在出发点A的正北方向800米处，观景点B在出发点A的西北方向且在景点D的西南方向，在出发点A的北偏东方向有一条栈道通往游客中心C，游客中心C在景点D的北偏东方向上，(参考数据：) （1）请求出栈道的长度（结果保留根号）； （2）小华计划从出发点A前往景点D，可以选择路线①沿A─B─D慢跑，也可以选择路线②沿A─C─D骑自行车，小华慢跑的速度为每分钟120米，骑自行车的速度比慢跑的速度每分钟快60米，请问小华选择哪条路线先到达景点D？(结果保留小数点的后一位) 【答案】（1）米； （2）路线② 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）过作于，由直角三角形的特征得，，由等腰三角形的性质求出，即可求解； （2）①由等腰三角形的判定及性质及三角函数得，求出此条路线是时间；②，求出此条路线是时间，即可求解； 【小问1详解】 解：过作于， ，， ， ， ， ， ， ， 故栈道的长度为米； 【小问2详解】 解：①， ，， ∴， ， （分钟）； ②由（1）得 ， ， （分钟）； ， 小华应该选择路线②可以先到达景点D． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线解析式； （2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． （3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）点K的横坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）中的解析式可得点在直线上，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，表示出三角形的面积结合二次函数的性质得出当时，的面积有最大值，为，此时，作交于，交对称轴于，交轴于，由直线的解析式得出，从而可得，，当、、、四点共线时，的值最小，用面积法求出，即可得解； （3）求出新的抛物线，，再分两种情况：当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，分别求解即可得解． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是（1）中抛物线对称轴上的动点， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为，此时， 作交于，交对称轴于，交轴于， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当、、、四点共线时，的值最小， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵，直线的解析式为， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，，即， 当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于， ， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，满足题意， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点K的横坐标为或； 如图，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于， ， 由轴对称的性质可得，，， 此时，满足题意， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点的横坐标为或； 综上所述，点K的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 24. 在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）连接，根据三角形的中位线定理可得出，连接，则，故当M在上时，最小，过C作于G，过作于H，可证明是等边三角形，求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据勾股定理求出，结合已知可求出，根据三线合一求出，则，，，，证明，可求出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵翻折， ∴， ∴， ∵，M是中点， ∴， 连接，则，即， 故当M在上时，最小， 过C作于G，过作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即线段取得最小值时， 的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $