精品解析：江西省丰城中学2024-2025学年高二创新班下学期第一次月考数学试题

丰城中学2024-2025学年下学期高二创新班第一次月考试卷 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 2. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想票房一路攀升.截至2025年2月6日登顶中国国内电影票房榜首.下图为某平台向公众征集该电影的评分结果，根据表格信息我们可以估计其得分的分位数约为：（ ）. 评分/分 1 2 3 4 5 人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 48.0 A. 4 B. 4.03 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可求解. 【详解】因为， ， 所以分位数为5，故C正确. 故选：C 3. 函数的最小正周期是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得. 【详解】，， 又，可得， 即，且、，故. 故选：C. 4. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 5. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率的计算公式即可求. 【详解】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 由题意可知，，， 所以， 故选：B 6. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. 【详解】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，. 故选：A. 7. 在中，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解. 【详解】在中，设，令， 则，， 在中，可得，， 由正弦定理， 得， 所以， 可得，即． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦定理得到关系式. 8. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标，根据点在直线上，结合求出点坐标，然后代入双曲线方程可得. 【详解】由题知，，双曲线过第一象限的渐近线方程为， 联立，解得，则， 所以直线的方程为， 设，则①， 因为的角平分线与y轴平行，所以， 即，整理得②， 联立①②解得，代入双曲线方程得，即. 故选：A 二、多选题：（每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合赋值逐项进行判断即可. 【详解】由， 所以展开式中最高次项为次项，即，故A正确； 的展开式中，的系数为，的系数为， 则，故B错误； 令，得，故C正确； 令，得， 所以，，故D 正确； 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C选项可做反解验证，以垂直为条件运算；D选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别. 【详解】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故因平面，平面，故平面，同理可证平面， 因平面，平面，且，故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以. ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 所以. 假设平面，则， 即，解得.故D正确. 故选： . 11. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. 任意的， C. 存在，使得 D. 数列有最大值，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设数列递推关系求数列的前两项判断A；由且判断C；根据A、C分析判断B；作差法研究数列单调性，即可判断D. 【详解】令，则，所以， 令，得，又，可得，A正确； 由，，所以，C错误， 由，且，B正确， 由，得，所以 ，即， 所以随的增大而减小，故为正项单调递减的无穷数列，且， 故数列有最大值2，无最小值，D正确； 故选：ABD 二、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，，且，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坐标线性运算得出坐标，再应用垂直的坐标运算计算求参，最后应用坐标求模长即可. 【详解】因为向量，， 则， 因为，则，所以， 所以． 故答案为： 13. 已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据时及时列方程，两方程相加可得结果. 【详解】∵时，的图象关于原点对称，故此时为奇函数， ∴，即， ∴. ∵时，的图象关于轴对称，故此时为偶函数， ∴，即， ∴. ①②两式相加得，， 整理得，. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，点P在平面的射影为的中点，且，，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若，则S的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先判定三棱锥的特征，结合体积公式求出高的范围，再判定外接球的球心位置，利用勾股定理结合飘带函数的性质判定外接球半径的范围，计算表面积即可. 【详解】因为，，故， 取的中点D，连接，由题意可知平面，， 则，易得， 由题意知该三棱锥外接球的球心O在直线上， 设（为负，则球心在平面的下方），外接球半径为R， 故， 易知在上单调递增，即 则，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）已知，当角取最大值时，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论. （2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，即， ∴， 由得，， 由正弦定理及余弦定理得，， ∴. 【小问2详解】 由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形. 由得，. ∴的面积为. 16. 已知 （1）当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程； （2）讨论函数的导函数的单调性. 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义以及直线点斜式方程即可求解； （2）对函数求导，并对a的取值进行分类讨论即可求得函数的单调性． 【小问1详解】 当时，，， 设切点为，切线方程为， 因为切线过原点，所以，即，解得； 所以，因此； 即切线方程为； 【小问2详解】 易知， 令，则， ①当时，，则R上递减； ②当时，令，可得； 同理的解是， 所以在区间上单调递增，在上单调递减； ③当时令，即；同理的解是， 所以在区间上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在R上递减； 当时，在区间上单调递增，在上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增． 17. 如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． （1）证明：平面平面； （2）若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，以及面面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据（1）的结果，建立平面直角坐标系，根据异面直线所成角的向量公式求，再根据二面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 且，所以，则， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，且平面， 平面平面； 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面， 且，平面， 所以平面，且， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， ，，，， ，， ，解得：， 设，， ，，, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， ， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）. （1）求椭圆C标准方程； （2）点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）结合已知条件根据两点间距离公式得到关于、的方程组，求解方程组即可求解； （2）分斜率存在和不存在两种情况设出直线方程，直曲联立，将条件转化为、的关系，结合韦达定理再将条件转化为关于、的关系式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以，， 整理联立有：， 又因为，，解得，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 根据已知条件设，设，， 当直线斜率不为时，设直线， 联立，整理得， 需， 即， 由韦达定理有：，， 故 因为为定值，所以， 整理得，解得，此时； 当直线斜率为时，不妨设，，， 此时符合题设， 同理可证当的坐标为时也符合题设， 又恒成立， 所以存在点或使得的值为（定值）. 19. 十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. （1）写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； （2）若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； （3）若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二进制与十进制定义进行相互转化，即可得结果； （2）根据题中与定义，利用列举法得结果； （3）先根据整数二进制表示找到满足条件一个值，再证明其为最小值. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 根据题意为非空集合， ， 所以集合为中一种， 可能值为， ， 所以集合为中一种， 可能值为， 因此与的所有可能值组成的集合分别为； 【小问3详解】 根据整数二进制表示可知：1到中正整数可以表示为， 可知，对每个正整数，都存在的子集S，使得， 从而对每个正整数，都存在的子集S，使得， 进而对每个正整数，都存在的子集S，使得，即满足题意，此时， 下证：， 一方面，因为前10个数之和不能小于1012，否则设，则， 对于 ，显然不存在A的子集S，使得， 另一方面，因为， 所以根据整数二进制表示知，其前9个数之和最大为511，故， 综上：. 【点睛】解决新定义解题策略：（1）先要耐心审题，弄清其内涵与性质，确定解题方向，（2）再按照新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、探索解题方法，直至解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年下学期高二创新班第一次月考试卷 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想票房一路攀升.截至2025年2月6日登顶中国国内电影票房榜首.下图为某平台向公众征集该电影的评分结果，根据表格信息我们可以估计其得分的分位数约为：（ ）. 评分/分 1 2 3 4 5 人数占比/% 1.0 3.2 13.6 34.2 480 A. 4 B. 4.03 C. 5 D. 3 3. 函数最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 5. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：（每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则（ ） A B. C. D. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 11. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. 任意的， C. 存在，使得 D 数列有最大值，无最小值 二、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，，且，则=______． 13. 已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则________. 14. 在三棱锥中，点P在平面的射影为的中点，且，，设该三棱锥的体积为V，该三棱锥外接球的表面积为S，若，则S的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）已知，当角取最大值时，求的面积. 16. 已知 （1）当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程； （2）讨论函数的导函数的单调性. 17. 如图所示，平面平面，且四边形矩形，在四边形中，，． （1）证明：平面平面； （2）若，且异面直线CD与BE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由. 19. 十进制与二进制是常见的数制，其中十进制的数据是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数码来表示的数，基数为10，进位规则是“逢十进一”，借位规则是“借一当十”；二进制的数据是由0，1这两个数码来表示的数，基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”；例如：十进制的数20对应二进制表示的数为，二进制的数对应十进制表示的数为15．用表示非空的整数集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一个数，不特别说明，默认为十进制）. （1）写出“37”对应二进制表示的数及“”对应的十进制数； （2）若集合，，，，求与的所有可能值组成的集合； （3）若，且对每个正整数，都存在A的子集S，使得，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $