9.2向量运算（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.2向量运算—题型专练 题型一 向量的加、减法法则 1. 已知，，是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的运算律 【解析】结合向量的线性运算即可. 【详解】由平面向量的线性运算可知， ， 故选：C． 2. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（       ） A． B． C． D． 3．B 【详解】 . 故选：B 3. 如图所示，正六边形中，（       ） A． B． C． D． 4．C 【详解】 解：正六边形中， ，； ． 故选：． 4. 如图，在等腰梯形中，，，若，，则（       ） A． B． C． D． 2．C 【详解】 如图，作，由题意得，，所以是等边三角形，则，所以. 故选：C 5. 如图所示，在中，等于（       ） A． B． C． D． 7．C 【解析】 【分析】 根据向量加法与减法法则运算求解即可； 【详解】 解：对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易知，故错误； 对于B选项，，故错误； 对于C选项，，满足； 对于D选项，，故错误. 故选：C 6. 如图，在中，，点是的中点，设，，则（       ） A． B． C． D． 6．B 【解析】 【分析】 连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为，整理即可得结论. 【详解】 解：连结， 在中，因为，点是的中点， 所以, 故选：B. 7. 如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则（       ） A． B． C． D． 7．A 【解析】 【分析】 结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果. 【详解】 因为矩形，所以，所以，所以,又因为为的中点，所以，即，因此，从而，又因为，，所以， 故选：A. 8. 若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（       ） A． B． C． D． 8．C 【解析】 【分析】 连接，，延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案. 【详解】 是所在平面内一点，连接，，延长至使， ∵，∴， 连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等， 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，则与的面积比为， 故选：C. 9. 如图，在中，，是上的一点，，若，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 9．B 【解析】 【分析】 根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】 解：因为，所以，因为，所以，所以， 又，所以， 故选B． 题型二 向量线性运算 1. 化简（1） （2）； （3）＋． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）方法一(统一成加法)： 方法二(利用)： （2）． （3） 2. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1） =. （2） = 3. 化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6). 【解析】(1). (2). (3). (4). (5). (6). 4. 化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 5. 已知向量，，，求作和. 【答案】详见解析 【解析】由向量加法的三角形法则作图： 由向量三角形加减法则作图： 6. 下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 7. 已知，若记，则 ． 【答案】 【知识点】向量减法的运算律、相反向量、向量数乘的有关计算、向量加法的法则 【分析】由向量的线性运算，求解的值. 【详解】， ∴， 则有， ∴. 故答案为： 8. 如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 9. 在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【解答过程】 ， 所以，所以. 故选：D. 10. 在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 1 . 【解题思路】 利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解. 【解答过程】 ，则，， 所以. 故答案为：1. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 【解题思路】利用平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 ， 所以，，. 故答案为：. 题型三 向量共线定理 1. 已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，，即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 2. 已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与平行，所以存在实数，使得，即， 又为不共线，所以，解得.故选：B. 3. 已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得. 【解答过程】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C. 4. 已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【解题思路】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【解答过程】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D. 5. 设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析(2)(3) 【解析】（1）证明：因为，所以与共线. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使. 因为，不共线，所以所以. （3）假设与共线，则存在实数m，使. 因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以. 6. 设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和同向． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：因为，，， 所以．所以，共线． 又因为，有公共点，所以，，三点共线． （2）解：因为与同向，所以存在实数，使， 即．所以． 因为，是不共线的两个非零向量，所以，解得，或，又因为，所以． 题型四 数量积 1. 若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由向量的数量积计算出结果. 【详解】 故选：C 2. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案. 【详解】， 故选：C 3. 已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由数量积公式求夹角即可． 【详解】因为，，所以. 故选：D 4. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数有最大值，利用向量数量积的定义求出此时的值即可． 【详解】依题意，设单位向量的夹角为， 因为， 所以则，所以， 根据题意，正整数的最大值为， 故选：C. 5. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 所以，故选：A 6. 已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，即，即， 又，，解得，，所以.故选：C 7. 2．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量与的夹角为，记且，则_____． 【答案】 【解析】且，，即 又向量与的夹角为，，解得， ，， 又，所以 故答案为： 8. 已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】借助向量数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 9. 已知向量，的夹角为，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】由数量积的定义先计算的值，再开方即可求解. 【详解】 ， 所以， 故选：A. 10. 若，，，则 ； ； . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【详解】根据条件，利用数量积的运算律和模长的计算公式，即可求出结果. 因为，，，则， 得到， 又，得到， 又， 故答案：；；. 11. 已知向量，满足，，，则_________. 【答案】 【解析】由可得，，即，解得：，所以． 故答案为：． 12. 在中，，若D为BC中点，则为_________． 【答案】 【解析】，所以，故， ，两式相减得 ，所以， 所以＝.故答案为： 13. 已知，，向量在向量方向上投影的数量等于，求的最小值. 【答案】 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的几何意义，及向量的三角形式不等式可得最值. 【详解】：由向量在向量方向上的投影的数量等于，      如图，为满足条件的的模长最小时，为， 所以当向量与反向时可使取到最小值为. 14. 设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 【答案】/-0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直， 故，即， 故，解得， 故答案为： 15. 已知向量，满足，，. (1)求向量与的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、已知数量积求模 【分析】（1）先求得，然后利用夹角公式求得向量与的夹角. （2）利用平方的方法求得的值. 【详解】（1）设向量与的夹角为， 由于，所以. 所以，由于，所以. （2）. 题型五 投影向量 1. ，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据投影的定义式直接求得即可. 【详解】向量在向量方向上的投影等于. 故选：C. 2. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】首先根据题意求得，接着利用投影的定义求解即可. 【详解】因为向量与满足， 所以， 又，所以， 向量在方向上的投影为， 故选：B. 3. 已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 4. 5．（2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考（文））已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________． 【答案】2 【解析】与的夹角为，且， ,又，，设,在方向上的投影为在方向上的投影为故答案为：2 5. 已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为 ；（）的最小值是 ． 【答案】 / 【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】分别根据投影向量的定义和单位向量的模化简即可求解. 【详解】由，两边平方得，而在方向上的投影向量为， ，（当时取得最小值）所以其最小值为. 故答案为：， 一、单选题 1．在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 2．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据条件可计算出和的值，即可得到. 【详解】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴. 故选：D. 3．已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 4．已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量垂直，即可利用数量积求解. 【详解】． 故选：A； 5．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解出，由向量夹角公式求出与的夹角. 【详解】， 即， 所以， 所以， ∴， 故选：B. 6．已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 7．已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 、 的夹角为 ，利用投影向量的定义可得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】设 、 的夹角为 ， 因为向量在向量 上的投影向量为，所以， 又因为，则 ． 故选：C. 8．已知向量满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 9．向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 10．如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 11．已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又，则， 解得，由，解得. 故选：B 12．对于非零向量，“”是“与方向相反”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由两边同时平方判断充分性即可，反之与方向相反则不一定得到，然后由充分必要条件的概念判断即可. 【详解】，所以， 所以，即， 所以，即，所以与方向相反，且. 反之，若与方向相反，则或， 故选：A 13．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】由已知得，则，代入数值计算即可． 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则， 故选：C 14．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（   ） A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为 【答案】B 【分析】由题意结合数量积定义直接计算得即可得解. 【详解】设已知两个向量的夹角为θ， 由题 ， ，所以共线. 故选：B. 15．已知与是单位向量．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由可得，根据平面向量的运算律解可得，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得； 由，得， 即，得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 二、多选题 16．已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】AC 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 17．已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于AC选项，因为和为单位向量，且， 则，则，故，A对C错； 对于B选项，，B对； 对于D选项，由平面向量数量积的运算性质可得， 所以，在方向上的投影向量是 ，D对. 故选：ABD. 18．下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 【答案】BCD 【分析】根据为零向量，不合题意判断A；对两边平方，得，判断B；根据重心性质判断C；对两边平方，求出向量夹角判断D. 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，，则，即，所以，故B正确； 对于C，若，如图，取中点为， ，，， 即，，，所以则为的重心，故C正确； 对于D，两个非零向量，，若，， 设，夹角为，则，即，可得，即与共线且反向，故D正确， 故选：BCD. 19．如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 20．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A，应用和向量判断B，应用投影向量判断C，应用数量积投影最大求解D. 【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 21．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】由两边平方，可得，再由垂直和向量夹角公式逐项判断. 【详解】因为，且|，所以， 则，则，故A正确； 因为，所以与不垂直，故B错误； ，又向量夹角， 所以a与b的夹角为，故C正确，D错误. 故选：AC. 22．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量关系式表示垂直和平行，以及向量的数量积公式即可逐个选项判断. 【详解】对于选项A，因为，，是两个非零向量，所以，故A错误； 对于选项B，，所以， 又，所以，所以，故B正确； 对于选项C，因为，所以，所以，故C正确； 对于选项D，因为，所以，从而， 所以，故D正确. 故选：BCD 23．设是两个相互垂直的单位向量.若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由向量线性运算结合向量模长公式、向量的平行和垂直的表示即可计算求解. 【详解】由题是两个相互垂直的单位向量，且. 对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，所以不垂直，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 24．已知向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】由，得，整理得， 所以. 故答案为：2 25．已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 【答案】 【分析】通过平方即可求解； 【详解】因为，平方可得：， 所以，则． 故答案为： 26．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 6 2 【分析】设的夹角为，对平方再开方，根据可得答案. 【详解】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 27．已知，，，则 ； 【答案】5 【分析】利用平面向量的数量积求模. 【详解】因为，所以. 由. 所以. 故答案为：5 28．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 29．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入，设， 即原式， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律转化为（）的三角函数. 30．两个单位向量、满足，则 . 【答案】 【分析】等式两边平方，可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为两个单位向量、满足， 由两边平方可得， 即，解得， 故. 故答案为：. 31．如图所示，在四边形中，，则 .    【答案】 【分析】利用向量数量积的运算即可得解. 【详解】因为在四边形中，， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 32．已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 33．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）将表示为的函数，然后求该函数的最小值. 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 34．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 35．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 36．平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． ` 试卷第1页，共3页1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2向量运算—题型专练 题型一 向量的加、减法法则 1. 已知，，是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（       ） A． B． C． D． 3. 如图所示，正六边形中，（       ） A． B． C． D． 4. 如图，在等腰梯形中，，，若，，则（       ） A． B． C． D． 5. 如图所示，在中，等于（       ） A． B． C． D． 6. 如图，在中，，点是的中点，设，，则（       ） A． B． C． D． 7. 如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则（       ） A． B． C． D． 8. 若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（       ） A． B． C． D． 9. 如图，在中，，是上的一点，，若，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 题型二 向量线性运算 1. 化简（1） （2）； （3）＋． 2. 计算： （1）； （2）. 3. 化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 4. 化简： （1）； （2）； （3）． 5. 已知向量，，，求作和. 6. 下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 7. 已知，若记，则 ． 8. 如图，在中，，点是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 9. 在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 10. 在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 1 . 11. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 题型三 向量共线定理 1. 已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2. 已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 3. 已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 4. 已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．C．A，C，D D．A，B，D 5. 设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 6. 设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：，，三点共线； (2)试确定实数，使和同向． 题型四 数量积 1. 若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 3. 已知向量，的夹角为，，且，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5. 已知，，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 7. 已知向量与的夹角为，记且，则_____． 8. 已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 9. 已知向量，的夹角为，，，则等于（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 10. 若，，，则 ； ； . 11. 已知向量，满足，，，则_________. 12. 在中，，若D为BC中点，则为_________． 13. 已知，，向量在向量方向上投影的数量等于，求的最小值. 14. 设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 15. 已知向量，满足，，. (1)求向量与的夹角； (2)求的值. . 题型五 投影向量 1. ，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ） A． B． C．1 D． 2. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 3. 已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4. 已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________． 5. 已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为 ；（）的最小值是 ． 一、单选题 1．在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 4．已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A． B．1 C． D．2 5．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．向量（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 11．已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 12．对于非零向量，“”是“与方向相反”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 13．在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 14．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（   ） A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为 15．已知与是单位向量．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 16．已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 17．已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 18．下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 19．如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 20．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 21．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 22．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．设是两个相互垂直的单位向量.若向量，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 24．已知向量满足，则 ． 25．已知单位向量满足，则向量夹角的弦值是 ． 26．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 27．已知，，，则 ； 28．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    29．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是 ． 30．两个单位向量、满足，则 . 31．如图所示，在四边形中，，则 .    四、解答题 32．已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． . 33．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 34．已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 35．已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 36．平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$