2.6.1余弦定理与正弦定理（11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

2.6.1余弦定理与正弦定理 题型一 用余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在中，内角所对应的边分别是，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 3．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C．4 D． 4．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，，则 ． 5．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 . 题型二 用正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于 . 5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，若，，，则 . 题型三 三角形的多解问题 1．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 2．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 3．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·河北邯郸·期中）(多选)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）（多选）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 用正余弦定理判断三角形的形状问题 1．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4.（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）在中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.下列命题中正确的是（    ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若，则一定是直角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 5.（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为 . 题型五 正弦定理与外接圆半径 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在圆内接四边形ABCD中，，则它的外接圆直径为（    ） A．170 B．180 C． D．前三个答案都不对 3．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 4．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，，则外接圆面积为 . 5．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 题型六 三角形的面积与周长问题 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 2．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 3．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的面积． 4．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，，，的对边分别为，，，且. (1)求外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 5．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且， (1)求A的值； (2)若，求周长的最大值； (3)设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值. 题型七 正余弦定理的边角互化 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知的周长为，且，则 ． 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求和的值. 题型八 最值与取值范围问题 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为 . 2.（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 3.（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 4.（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 5.（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 题型九 距离问题 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 . 5.（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 题型十 高度问题 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（   ） A． B． C．90m D． 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（    ）米 A． B． C． D． 4.（24-25高一下·云南文山·阶段练习）如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高 .    5.（24-25高一下·宁夏银川·阶段练习）龙爪塔位于四川省通川区朝阳寺内，因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.为了测量塔的高度，选取与塔底在同一水平面的两个基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 米 .（参考数据，，最终结果需保留为整数） 题型十一 角度问题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 2．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 3． （23-24高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 4.（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，，则面积的最大值为 D．若，则 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为 ． 4．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为的面积为. (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，求的长度. 5．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的值； (2)若为锐角三角形，中点为D且，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.1余弦定理与正弦定理 题型一 用余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在中，内角所对应的边分别是，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案. 【详解】由余弦定理可知， 即， 整理得，解得或（舍去）. 故选：D. 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 3．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B. 4．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得 【详解】如图，AB边上的高为CD, 因为，所以 所以 由勾股定理可得 由余弦定理可得 故答案为： 5．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且，则 . 【答案】3 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】由余弦定理知， 即， 整理得，解得.（负值舍去） 故答案为：3 题型二 用正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理即可求解； 【详解】因为，， 所以， 由， 可得：， 故选：C 3．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形. 【详解】在中，由及正弦定理，提， 所以或. 故选：C 4．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于 . 【答案】 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中，，，，，则， 由正弦定理，即，解得， 故答案为：. 5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，若，，，则 . 【答案】 【分析】由已知根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，即，解得. 故答案为：. 题型三 三角形的多解问题 1．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】B 【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误； 对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 3．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 4．（22-23高一下·河北邯郸·期中）(多选)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由正弦定理，即，解得， 而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故A不符合题意； 对于B，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故B符合题意； 对于C，由正弦定理，即，解得，而， 所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意； 对于D，由正弦定理，即，解得， 而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意； 故选：BCD. 5．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）（多选）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】由正弦定理得，再由有唯一解，则或，解不等式即可得出答案. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的可以为1，2，4. 故选：ABD. 题型四 用正余弦定理判断三角形的形状问题 1．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】首先由余弦定理得，再由题干条件结合正弦定理得，故是等边三角形. 【详解】由，得，所以； 又，由正弦定理得，所以是等边三角形. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案. 【详解】由已知及正弦边角关系有，则， 三角形中，则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 3．（24-25高一下·山西晋中·阶段练习）在中，角，，对的边分别为，，，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理有，即，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理有：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C. 4.（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）（多选）在中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.下列命题中正确的是（    ） A．若，则一定是钝角三角形 B．若，则一定是直角三角形 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】BD 【分析】A B均利用等关系以及正弦定理化简即可；C先用降幂公式，再用化简；D正弦定理化简，再解方程组. 【详解】A. 在中， ， 因，则得，故A错误； B. 由正弦定理得，， 则，即， 因，则得，故 B正确； C. 因，由正弦定理得，，即 ，则，则，因，则得，故C错误； D. ，由正弦定理得，因，则，即，得，故D正确. 故选：BD 5.（24-25高一下·重庆九龙坡·阶段练习）在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为 . 【答案】等腰三角形 【分析】先根据余弦定理和三角形面积公式对进行化简，得出角的值，再根据向量条件判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，移项可得， 由三角形的面积公式得. 将上述两个公式代入可得： ，所以. 所以，又因为，所以. 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量. 以这两个单位向量为邻边作平行四边形， 则其对角线平分（菱形的对角线平分一组对角）， 所以表示的角平分线方向的向量. 因为，所以的角平分线垂直于， 根据等腰三角形三线合一的性质可知. 所以是等腰三角形，又因为，所以，. 综上，三角形的形状为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 题型五 正弦定理与外接圆半径 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案. 【详解】O是△ABC的外心，则在上的投影向量为， 所以，解得， 由正弦定理，∴， 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在圆内接四边形ABCD中，，则它的外接圆直径为（    ） A．170 B．180 C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】由已知数据结合余弦定理计算可得，即可求出，可知为外接圆直径，即可求得答案. 【详解】根据题意知，即． 在和中，由余弦定理得， ， 所以 又因为圆内接四边形对角互补，所以， 则， 所以 将之代入， 解得， 所以， 根据四边形外接圆性质可知为外接圆直径， 所以． 故选：A 3．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 4．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，，则外接圆面积为 . 【答案】/ 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再利用正弦定理求出外接圆半径，最后根据圆的面积公式求出外接圆面积. 【详解】在中，已知，，，根据余弦定理可得： 因为为三角形的边长，所以. 由正弦定理可得：,则. 根据圆的面积公式，将代入可得：. 故答案为：. 5．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ． 【答案】2 【分析】由余弦定理及三角形面积公式得出，再由正弦定理求外接圆直径即可. 【详解】由， ，即， 由，所以， ，. 故答案为： 题型六 三角形的面积与周长问题 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 2．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． （2）由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①， 由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 3．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得到方程解得，由同角三角函数的关系求出，由正弦定理求出； （2）由三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）由余弦定理可得，即， 即，解得或（舍去）， ∵，∴， 由正弦定理可知，即，解得 （2）. 4．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，，，的对边分别为，，，且. (1)求外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理边化角结合诱导公式得到，进而得到，从而利用正弦定理即可得解； （2）根据正弦定理得，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合条件得到的取值范围，根据正弦函数的图像及性质即可得到的取值范围，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又因为，则， 所以， 又，则，所以， 又，所以， 又，所以，解得. （2）由正弦定理得：，所以，， 所以， 又，， 所以， 则       ， 又因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则，所以， 即，故， 所以周长的取值范围为. 5．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且， (1)求A的值； (2)若，求周长的最大值； (3)设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)6； (3). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用基本不等式求出最大值. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，而， 则，解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为6. （3）由内角A的平分线交BC于点D，，得， 即， 因此，即，当且仅当时取等号， 则，所以面积的最小值为. 题型七 正余弦定理的边角互化 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得. 【详解】， ∴，， ∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 2．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，再结合余弦定理可得，再由正弦定理将边转化为角的正弦，即可求解. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得， 所以，所以，所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角得到，再由，得到，求得，结合可求解； 【详解】由，得， 结合正弦定理边化角可得： ， 所以， 又， 所以， 所以中一个角为钝角，假设为钝角， 所以， 所以， 解得：， ， 故选：C 4．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知的周长为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边，再消元求解即可. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由，得，而， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·天津·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求和的值. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换，即，可求得； （2）由已知利用三角形的面积公式可求，结合，由余弦定理可得的值，进而解得的值，利用余弦定理可求得，进而利用同角三角函数基本关系式可求得，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，整理得，即， 又，所以. （2）因为，的面积为，所以，解得① 又②，所以，解得， 由余弦定理可得，即； 由①②可得，，解得，可得， 所以，所以， 则. 题型八 最值与取值范围问题 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为 . 【答案】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长. 【详解】由，得， 所以， 因为，则，所以， 设，则点在直线上，所以，    当时，最小，其最小值为. 故答案为： 2.（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合辅助角公式化简求解即可； （2）设，则，由正弦定理得到 ， 进而可求解； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 则． 因为，所以， 即， 故，又，解得； （2） 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为． 3.（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）化边为角，利用三角恒等变换化简后，根据正切函数求值域即可得解. 【详解】（1）由正弦边角关系， 即， 所以， 即， 可得，由可得， 由知． （2）由（1）知，，． 由正弦定理知，， 可得，， 故周长为 ． 由是锐角三角形知，，，即，． 又，故，， ， 故，， 所以， 故周长的取值范围是． 4.（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面积公式可得，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解， （2）根据边角互化，结合三角恒等变换，结合三角函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2） , 由于，所以，故， . 5.（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小； （2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，，所以，， 又，解得； （2）∵，，即， 所以，即， 又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 题型九 距离问题 1．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 2．（24-25高一下·天津西青·阶段练习）如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法来求得. 【详解】设， 根据海伦公式有, 解得. 故选：C 3．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 【答案】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 . 【答案】 【分析】根据已知及正弦定理有、，即可求. 【详解】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 故答案为： 5.（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. (1)求； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2)15km 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【详解】（1）由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 （2） ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 题型十 高度问题 1．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（   ） A． B． C．90m D． 【答案】A 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可. 【详解】如图所示，由题意， 则， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以建筑的高度为. 故选：A. 2．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图所示，为合川文峰塔又名振兴塔，始建于清嘉庆十五年（1810年），塔为八角形密檐式砌砖结构文峰塔是随着风水学说的发展而出现的一种建筑，其建造目的主要为祈祷当地文运昌盛，因文峰塔建于水口处，也起到闭锁水口的作用.某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 故选：A 3．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，用铁塔的高度表示，再利用余弦定理求解即得. 【详解】设铁塔OT的高度为，依题意，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以铁塔OT的高度为米. 故选：B 4.（24-25高一下·云南文山·阶段练习）如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高 .    【答案】 【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】如图，在中，，所以. 在中，因为，所以. 由正弦定理得,故，故， 在中，易得. 故答案为：60.    5.（24-25高一下·宁夏银川·阶段练习）龙爪塔位于四川省通川区朝阳寺内，因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.为了测量塔的高度，选取与塔底在同一水平面的两个基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 米 .（参考数据，，最终结果需保留为整数） 【答案】33 【分析】在三角形中，根据正弦定理求得BC，进而得到它的高度. 【详解】在三角形中，根据正弦定理：，代入已知值：, ,, 代入正弦定理：， 最终结果保留整数：(米) 故答案为： 33. 题型十一 角度问题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 2．（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 3． （23-24高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 4.（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，点是的外心，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过正弦定理将边与角的关系进行转化，再利用向量数量积的运算和已知条件建立方程组，求解出和的值，最后计算. 【详解】∵，根据正弦定理知道. 已知，，，可得 因为点是的外心，所以，. 将分别与、作数量积： 又因为，，所以可得方程组： ,解方程组求出、 . 则. 故选：B． 2．（24-25高一下·山西·阶段练习）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，，则面积的最大值为 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，即， 则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由，得，则是的最大内角， 又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确； 对于C，由，及余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，则，即，D错误. 故选：BC 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理，代入数据化简得，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正根，所以，解得，进而可求出角的取值范围. 【详解】由余弦定理，得， 整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的正根， 所以，解得， 又，所以， 综上所述，角的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为的面积为. (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，求的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦公式求解. （2）利用三角形面积求出边，再利用面积建立方程求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 即，而，于是，而， 所以. （2）由（1）知，，又，的面积为， 则，即，解得， 由，得，， 所以. 5．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的值； (2)若为锐角三角形，中点为D且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理角转化为边得出，再应用余弦定理计算求解即可； （2）先应用正弦定理得出，，再根据向量关系，平方计算结合三角恒等变换及余弦函数的值域计算求解. 【详解】（1）因为． 结合正弦定理得， 整理得， 由余弦定理，得， 结合，可得； （2）由正弦定理得， 所以，，根据是锐角三角形， 可得，结合，可得， 又因为中点为D，则， 所以 ， ， ∴，即， ∴的取值范围：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$