专项训练：解三角形综合应用大题精练30题-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

专项训练：解三角形综合应用大题精练30题 1．（23-24高一下·河南郑州·月考）在三角形ABC中，． (1)求角A； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可得：， 则，即， 又，所以，所以； （2）由，则由正弦定理得， 又，则， 即有，即可得， 则，即有，则， 故，则， 故. 2．（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)当时，求a的值； (2)若的面积为3时，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵，∴， 由正弦定理可知：，∴. （2）∵， ∴， 由余弦定理得：， ∴，即， 则，故. 3．（23-24高一下·江苏·月考）在中，三个角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值： (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，解得或， 由中，，所以，. （2）由余弦定理，， 则有，解得，， 所以. 4．（23-24高一下·云南昭通·月考）在中，分别是角的对边，若. (1)求角的值； (2)若，且满足，求外接圆的半径. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由正弦定理得， ，则， 又，则， ，又，故. （2）由. 由余弦定理得：，又， 所以 ， . 5．（23-24高一下·山西晋城·月考）在中，，，分别是角所对的边，且满足． (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理，，因，则； （2）由， 因，则， 因，且，则，故， 因，则， 则的面积为. 6．（23-24高一下·天津南开·月考）在中，角的对边分别为，若，其中， (1)求角的大小； (2)若的面积为． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)；(2)①；② 【解析】（1）因为，则， 又， 所以， 由正弦定理得， 即， 又是内角，则, 所以，即, 又是内角，则. （2）①在中，，由（1）及余弦定理得 ， 又，， 联立解得，或（舍去）； ②由正弦定理可得，， 因为，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 7．（23-24高一下·云南红河·月考）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为． (1)求的面积； (2)求塔高． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，， 所以， ， 由正弦定理得：, 所以， 所以. （2）在点C测得塔顶A的仰角为，所以， 所以在直角三角形中，， 故塔高为. 8．（23-24高一下·湖北武汉·月考）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； (2)求两山顶间的距离． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意可知，，， 在中，根据正弦定理，， 所以，则. （2）由题设知，在 中， 由正弦定理可得：，， 中，， 由余弦定理得： ， , 所以两山顶点M，N之间的距离为. 9．（23-24高一下·广东佛山·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设. (1)若，求边的长； (2)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； (3)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）. 【答案】(1)；(2)(3)； 【解析】（1）由题意知,, 在中，由余弦定理：，解得. （2）由题意可知四边形面积 ， 当时，四边形面积最大. （3）在三角形中，由余弦定理可得，， ∴， 在中，， ， ∴当时，取最大值（百米）． 10．（23-24高一下·福建莆田·月考）已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. (1)求点到点的距离； (2)为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 【答案】(1)；(2)当时，三角形面积最小，最小值为 【解析】（1）连接，在中， 因为，所以， 又、， 由余弦定理得， 所以，即点到点的距离为. （2）由， ， ， 化简得或（舍去），当且仅当， 即、时取等号， ， 故当时，三角形面积最小，最小值为. 11．（23-24高一下·河北唐山·月考）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，且，解得，． 而，所以， 所以 因为，所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 因为，所以． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 12．（23-24高一下·重庆·月考）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）因为四边形存在外接圆，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 解得； （2）设，则， 分别在、中用正弦定理可得 ，则， ，则， ，则或（舍）， 故. 13．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，． (1)若，求AE； (2)若，求AE的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在四边形中，由，得， 过作交于， 由，得， 则四边形是平行四边形，， 而，因此，， 在中，由余弦定理得. （2）连接，由，，得， 设，， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得 ，其中锐角由确定，显然， 则当时，，即， 所以AE的最大值为. 14．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，又， 所以．在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）在中，由正弦定理得， 即，解得， 又，所以， 所以， ， 故． 15．（23-24高一下·山西运城·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)已知，D是边BC的中点，且，求AD的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理及， 得， 再由余弦定理得，即， 因为，所以. （2）因为是边的中点，所以. 由（1）知，因为，所以， 故，故. 由余弦定理得， 故，因为，所以，. 在中，，， 所以，即的长为. 16．（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求边长a和角A； (2)若的面积为，求中线的长度； (3)若，求角平分线的长度． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）， 由正弦定理得．可得． 由，得，得， 得或，故或0（舍去）． （2）由，得， 由余弦定理可知，， 由（1）可得，所以， 又， 所以， 即，所以中线的长度为； （3）若，由余弦定理，， 可知，所以，即， 因为为角平分线，所以， 即， 则，所以. 17．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，且. ①若是的平分线，求的面积； ②若为线段的中点，求的面积. 【答案】(1)；(2)①；②. 【解析】（1）由正弦定理知，由得， 所以， 所以， 所以，所以， 又在三角形中，所以， 又所以. （2）①：由平分得，， ，即. 在中，由余弦定理得， 又， 联立得，解得（舍去）， . ②：因为， ，得， 在中，由余弦定理得，即， 联立，可得， . 18．（23-24高一下·河南漯河·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且满足. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由结合正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即 因为，所以， 因为，所以； （2）由正弦定理，且，， 可得. 所以，，则. 则. 则. 即. 因为，所以. 所以，所以. 19．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若，求 周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得， 即, 则， 则，而， 故，即，故， 而，，故； （2）由，结合正弦定理得， 则， 故 ， 而，故， 故的范围为， 即周长的取值范围为. 20．（23-24高一下·广西河池·月考）在中，角的对边分别是，满足. (1)求角的大小； (2)若点在边上，且是的角平分线，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以， 整理得. 因为为三角形内角， 所以，所以， 所以，即. 又因为，所以. （2）因为是的角平分线，所以， 因为， 所以， 化简得，所以， 即. 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为 21．（23-24高一下·吉林·期末）在中，角的对边分别是，已知，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为，所以. 因为，所以， 所以，解得或. 因为，所以，则. （2）因为，所以，即， 则. 因为，所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 则的面积，故面积的最大值为. 22．（23-24高一下·天津静海·月考）已知在锐角中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)当时，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 由余弦定理，即， 所以，又为锐角，所以． （2）由正弦定理得，， 则， 由，可得， 所以，即，则， 所以面积的取值范围. 23．（23-24高一下·福建宁德·月考）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由条件可知，，，所以； （2）， 所以， 即，即，当且仅当等号成立 则, 所以面积的最小值为. 24．（23-24高一下·江苏南通·月考）在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)选①②③的面积都为，；(2) 【解析】（1）若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又 所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选②，由， 所以， 所以，结合三角形内角性质， 所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选③，因为， 又，所以， 又所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积. （2）由（1）可知，， 所以由正弦定理知， 因为为锐角三角形，， 所以，且，解得， 所以，可得， 所以， 所以的取值范围是. 25．（23-24高一下·广东茂名·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角A； (2)设的中点为，且，求的取值范围； (3)若的面积为，，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，即，则， 即， 且，则，可得， 且，所以. （2）方法一：因为的中点为， 在中，则，，，， 设，则， 由正弦定理得， 可得，， 则， 因为，则， 可得，即， 所以的取值范围； 方法二：因为的中点为， 在中，由于，，，， 则，即， 由余弦定理可得：， 整理可得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 即，即， 可得，当且仅当时等号成立， 所以的取值范围. （3）因为的面积为，解得， 方法一：因为， 由正弦定理可得：，即，， 则，即， 在中，则， 可得， 所以； 方法二：由余弦定理， 即，解得， 由余弦定理得. ， 即. 26．（23-24高一下·广东深圳·月考）在锐角中，分别是角的对边，. (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）因为，所以， 即， 又因为，所以 又因为，所以， 因为，所以； （2）在锐角中，由（1）得，， 所以， 由，所以 所以的取值范围为； （3）当取得最大值时，，解得； 在中，令， 则，所以； 又， 所以， 所以. 所以 ，而， 故当时等号成立， 所以面积的最大值为. 27．（23-24高一下·湖北·期末）在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 所以， 由正弦定理得， 即，得， 又，所以，即， 又，所以； （2）由余弦定理得 即，而， ，即， .当且仅当取等号 此时，则， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 28．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，且. (1)求角； (2)求面积的最大值； (3)若点为边上一点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以， 即， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由余弦定理得，， 又因为，所以. （2）由结合余弦定理得，因为，当且仅当时取“=”， 所以，故面积的最大值为. （3）如图所示， 因为， 所以 因为，所以， 所以，所以， 即，即， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得，， 即， 代入，解得（负值舍去）， 所以， 所以. 29．（23-24高一下·重庆·月考）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以即； （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为， 所以，所以，所以， 所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为. 30．（23-24高一下·广东深圳·月考）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1)；(2)①，② 【解析】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知， 又的面积为，则，解得， 也， 则， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项训练：解三角形综合应用大题精练30题 1．（23-24高一下·河南郑州·月考）在三角形ABC中，． (1)求角A； (2)若，求的值. 2．（23-24高一下·福建龙岩·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)当时，求a的值； (2)若的面积为3时，求的值． 3．（23-24高一下·江苏·月考）在中，三个角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值： (2)若，，求的面积． 4．（23-24高一下·云南昭通·月考）在中，分别是角的对边，若. (1)求角的值； (2)若，且满足，求外接圆的半径. 5．（23-24高一下·山西晋城·月考）在中，，，分别是角所对的边，且满足． (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，，求的面积． 6．（23-24高一下·天津南开·月考）在中，角的对边分别为，若，其中， (1)求角的大小； (2)若的面积为． ①求的值； ②求的值． 7．（23-24高一下·云南红河·月考）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为． (1)求的面积； (2)求塔高． 8．（23-24高一下·湖北武汉·月考）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； (2)求两山顶间的距离． 9．（23-24高一下·广东佛山·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设. (1)若，求边的长； (2)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； (3)为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）. 10．（23-24高一下·福建莆田·月考）已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息. (1)求点到点的距离； (2)为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值. 11．（23-24高一下·河北唐山·月考）如图，四边形为梯形，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 12．（23-24高一下·重庆·月考）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 13．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，． (1)若，求AE； (2)若，求AE的最大值． 14．（23-24高一下·内蒙古·期中）如图，在平面四边形中，的面积为． (1)求； (2)若，求． 15．（23-24高一下·山西运城·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)已知，D是边BC的中点，且，求AD的长. 16．（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)求边长a和角A； (2)若的面积为，求中线的长度； (3)若，求角平分线的长度． 17．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，且. ①若是的平分线，求的面积； ②若为线段的中点，求的面积. 18．（23-24高一下·河南漯河·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且满足. (1)求； (2)若，求的取值范围. 19．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求C； (2)若，求 周长的取值范围. 20．（23-24高一下·广西河池·月考）在中，角的对边分别是，满足. (1)求角的大小； (2)若点在边上，且是的角平分线，且，求的最小值. 21．（23-24高一下·吉林·期末）在中，角的对边分别是，已知，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 22．（23-24高一下·天津静海·月考）已知在锐角中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)当时，求面积的取值范围． 23．（23-24高一下·福建宁德·月考）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 24．（23-24高一下·江苏南通·月考）在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 25．（23-24高一下·广东茂名·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角A； (2)设的中点为，且，求的取值范围； (3)若的面积为，，求的值. 26．（23-24高一下·广东深圳·月考）在锐角中，分别是角的对边，. (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值. 27．（23-24高一下·湖北·期末）在中，内角的对边分别是，，. (1)求角的大小； (2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 28．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，且. (1)求角； (2)求面积的最大值； (3)若点为边上一点，且，求的面积. 29．（23-24高一下·重庆·月考）在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 30．（23-24高一下·广东深圳·月考）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$