第4章 第2节 力的分解-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第一册创新导学案word（鲁科版2019）

第2节　力的分解 1．物理观念：(1)知道力的分解的概念。(2)能进行力的分解，解决一些相关的实际问题。2.科学思维：(1)知道力的分解是力的合成的逆运算。(2)能利用数学中的三角函数、几何关系等进行分析和推理。3.科学态度与责任：(1)能利用力的分解分析生产和生活中的实际问题。(2)能为我国古代精湛的建筑技术而骄傲，体会物理学的技术应用在生产生活中的作用与意义。 1．力的分解 (1)定义：求一个已知力的分力的过程称为力的分解。 (2)与力的合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算。 (3)分解法则：力的分解同样遵循平行四边形定则。把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共起点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力。 2．力的正交分解 (1)定义：把一个力分解为两个互相垂直的分力，这种分解方法称为力的正交分解。如图所示。 (2)公式：Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ。 3．力的分解的应用 (1)重力的分解：山区要修建很长的盘山公路，城市的高架桥则要建造很长的引桥，目的是为了减小坡度，使汽车上坡时更容易、下坡时更安全。 (2)分力大小与夹角的关系：当合力一定时，分力的大小和方向将随分力间夹角的改变而改变；在两分力大小相等的情况下，分力间夹角越大，分力越大。 应用实例：①用绷紧的绳子连接陷入泥坑的汽车和树干，用较小的垂直于绳的力拉绳，可将汽车从泥坑中拉出。②利用合力与分力的关系，设计出拱桥，提高了桥梁的承载能力。 1．想一想 如图是吊挂在光滑墙壁上的足球，足球所受重力会产生什么作用效果？ 提示：为了更明显地看出足球所受重力产生的作用效果，可以在墙壁与足球之间垫上海绵，用轻弹簧替代细绳。由海绵与弹簧的形变情况可判断出重力的两个分力的作用效果是拉伸细绳和垂直挤压墙壁。 2．判一判 (1)力的合成与力的分解都遵循平行四边形定则。(　　) (2)把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同。(　　) (3)力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个互相垂直方向的分力的方法。(　　) (4)正交分解是按力的作用效果分解力的方法。(　　) 提示：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 课堂任务1　力的分解 1．力的分解原则 力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则。分力并不存在，它只是在效果上替代原来已知的力，不可将已知的力和分力同时作为物体受的力。 2．力的分解依据 (1)一个力可以分解为两个力，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力。 (2)在实际问题中，我们常常以两种方式进行分解。一种是依据力的作用效果分解，另一种是正交分解。 3．常见的按力的作用效果分解的实例 实例 分析 地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2。F1＝Fcosα，F2＝Fsinα 质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势(分力F1)；二是使物体压紧斜面(分力F2)。F1＝mgsinα，F2＝mgcosα 质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板(分力F1)；二是使球压紧斜面(分力F2)。F1＝mgtanα，F2＝ 质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁(分力F1)；二是使球拉紧悬线(分力F2)。F1＝mgtanα，F2＝ A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1，二是使物体拉紧BO线的分力F2。F1＝F2＝ 质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，竖直绳的拉力F产生两个效果：一是拉紧绳OA(分力F1)；二是拉紧绳OB(分力F2)。F1＝Ftanα，F2＝ 质量为m的物体被支架悬挂而静止，竖直绳的拉力F产生两个效果：一是拉伸AB(分力F1)；二是压紧BC(分力F2)。F1＝Ftanα＝mgtanα，F2＝＝ 4.力的正交分解 (1)定义：把一个力分解为两个互相垂直的分力，这种分解方法称为力的正交分解。如图所示。 (2)目的：将力分解为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好的“合”。 (3)适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成。正交分解适用于各种矢量。 (4)力的正交分解的一般应用步骤 例1　如图所示，一个重为100 N的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦。试求小球对墙面的压力F1和对A点压力F2。 (1)小球挤压墙面的力F1和挤压A点的力F2是哪个力的作用效果？ 提示：小球所受重力的作用效果。 (2)如何确定压力的方向？ 提示：压力垂直于接触面或接触面在接触点处的切面。 [规范解答]　小球的重力产生两个作用效果：压紧墙壁和A点，作出重力及它的两个分力F1′和F2′构成的平行四边形，如图所示。 小球对墙面的压力F1＝F1′＝mgtan60°＝100 N，方向垂直墙壁向右； 小球对A点的压力F2＝F2′＝＝200 N，方向沿OA指向A点。 [完美答案]　F1＝100 N，方向垂直墙壁向右；F2＝200 N，方向沿OA指向A点。 规律点拨 (1)对力进行分解时，按力的作用效果准确确定出两分力的方向是关键。作重力的分力F2′时要注意A点与球之间弹力的方向。弹力是法向力，直接连接OA并延长即可。 (2)作出平行四边形后分力大小的计算常用到直角三角形、相似三角形等有关的几何知识。 [变式训练1]　如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为(　　) A． B． C．mgtanα D． 答案　A 解析　石块的重力产生两个作用效果，即压紧两侧接触面，把mg沿垂直于两侧面的方向分解为F1、F2，如图所示。由几何关系可知，F1＝F2＝，则石块对接触面的压力大小等于，可知石块侧面所受弹力的大小等于。A正确。 例2　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8) (1)哪些力是相互垂直的？有什么用？ 提示：F1、F4相互垂直，如果以这两个力为坐标轴可以只分解两个力。 (2)正交分解后怎样求合力？ 提示：分别求出沿两个坐标轴的合力Fx、Fy，再求Fx、Fy的合力。 [规范解答]　如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有 Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27 N Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27 N 如图乙所示，合力F＝≈38.2 N，tanφ＝＝1，即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方。 [完美答案]　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上方 规律点拨 正交分解法中坐标轴的选取原则 坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则： (1)使尽可能多的力沿坐标轴方向，减少力的分解个数。 (2)对于运动的物体通常沿物体运动方向和垂直物体运动方向建立坐标轴，以尽量使某一轴上各分力的合力为零。 [变式训练2]　如图所示，物块A放在倾斜的木板上，已知木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块和木板间的动摩擦因数为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　重力按实际作用效果可分解为两个力：一是使物块具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物块压紧斜面的分力F2，分解得F1＝mgsinα，F2＝mgcosα。(这个分解方式是按效果分解的，但同时也是正交分解，因为两个方向是垂直的。)由题意可以判断出，当倾角α＝30°时，物块受到的摩擦力是静摩擦力，大小为f1＝mgsin30°，当α＝45°时，物块受到的摩擦力为滑动摩擦力，大小为f2＝μN＝μmgcos45°，由f1＝f2得μ＝。C正确，A、B、D错误。 课堂任务2　对力的分解的讨论 将某个力进行分解，如果没有条件的约束，从理论上讲有无数组解。 一个已知力分解为两个分力的可能情况 (1)已知两个分力的方向时，有唯一解(如图1、图2)。 (2)已知一个分力的大小和方向时，有唯一解(如图3、图4)。 (3)已知两个分力的大小且两个分力在同一已知的平面内时，有两解(如图5、图6)。 (4)已知一个分力F2的大小和另一个分力F1的方向时，有下面几种可能： ①当Fsinθ<F2<F时，F1有两解(如图7)； ②当F2＝Fsinθ时，F1有唯一解(如图8)； ③当F2<Fsinθ时，F1无解(如图9)； ④当F2≥F时，F1有唯一解(如图10)。 例3　(多选)如图，将大小为40 N且方向已知的力F分解为两个分力F1和F2，已知F1和F的夹角θ＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则关于分力F1，以下说法中正确的是(　　) A．当F2＝30 N时，F1有两个解 B．当F2＝50 N时，F1有唯一解 C．当F2＝20 N时，F1有唯一解 D．当F2＝24 N时，F1有两个解 (1)已知合力F和一个分力F1的方向，有唯一解的情况是什么？ 提示：若θ为合力F与已知方向的分力F1的夹角，有唯一解的情况是F2＝Fsinθ或F2≥F。 (2)怎么画几个力关系的示意图？ 提示：先作好合力和一个分力的方向(该分力起点和合力起点相同)，第二个分力的末端必然在合力的末端，起点必然在第一个分力所在的那条直线上(也就是第一个分力的末端)。 [规范解答]　根据平行四边形定则(或三角形定则)画出F2的可能情况，如图所示。当F1的方向与F2的方向垂直，即F2＝Fsinθ＝24 N时，F1有唯一解；当F>F2>Fsinθ时，根据平行四边形定则，F1有两组解；当F2>F时，F1只有一组解；当F2<Fsinθ时，分力和合力不能构成三角形，F1无解。故A、B正确。 [完美答案]　AB 规律点拨 将一个力分解，讨论解的个数时，借助三角形定则比借助平行四边形定则更方便。看代表合力及分力的有向线段能否按要求构成三角形，以及能构成三角形的个数，从而说明解的情况。 [变式训练3]　已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N。则(　　) A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向 答案　C 解析　F2的最小值为F20＝Fsin30°＝25 N，因为25 N<F2<50 N，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，如图所示，故A、B、D错误，C正确。 1．(合力和分力)关于力的分解，下列说法正确的是(　　) A．分力总是小于合力 B．将力进行正交分解时，分力总是小于合力 C．将10 N的力进行分解，不可能得到50 N的分力 D．将10 N的力进行分解，不可能得到1 N的分力 答案　B 解析　根据平行四边形定则，分力可能小于、等于或大于合力，A、C、D错误；根据三角形定则，将力进行正交分解时两分力为三角形的直角边，分力总是小于合力，故B正确。 2．(力的分解的应用)我国自行设计建造的世界第二斜拉索桥——上海南浦大桥，桥面高46 m，主桥全长845 m，引桥全长7500 m，引桥建得这样长的目的是(　　) A．增大汽车上桥时的牵引力 B．减小汽车上桥时的牵引力 C．增大汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力 D．减小汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力 答案　D 解析　引桥越长，斜面倾角θ越小，重力沿斜面方向的分力F＝mgsinθ越小，故D正确。 3．(效果分解法)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　) A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力 B．物体受mg、N、F1、F2四个力作用 C．物体只受重力mg和弹力N的作用 D．N、F1、F2三个力的作用效果跟mg、N两个力的作用效果不相同 答案　C 解析　F1、F2是物体的重力mg的分力，A错误；斜面光滑，所以物体只受重力mg和弹力N的作用，故C正确；F1、F2是重力的两个分力，它们与重力是等效替代的关系，效果相同，但不是物体实际受到的力，不能说物体受四个力作用，故B、D错误。 4．(求分力)如图所示，把竖直向下的90 N的力分解为两个力，一个力在水平方向上且大小为120 N，另一个分力的大小为(　　) A．30 N B．90 N C．120 N D．150 N 答案　D 解析　由题意，根据平行四边形定则作出力的分解示意图如图所示，根据勾股定理：F2＝＝ N＝150 N，故A、B、C错误，D正确。 5．(力的分解)已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中不正确的是(　　) A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的 B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的 C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的 D．此合力有可能分解成两个与合力等大的分力 答案　C 解析　将一个力分解，讨论解的个数时，可借助三角形定则，看代表合力及分力的有向线段能否按要求构成三角形，以及能构成三角形的个数，从而说明解的情况。根据选项A、B只能画出一个三角形，分解时有唯一解，根据选项C可能画出多个三角形，分解时可能不是只有唯一解，A、B正确，C错误。由合力与分力的大小关系知D正确。 6.(力的分解)物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同时再加一个力F′，如F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为(　　) A．Fcosθ B．Fsinθ C．Ftanθ D．Fcotθ 答案　B 解析　根据力的三角形定则，合力沿OO′方向，F′的一端在OO′上，另一端在力F的末端，所以力F′与OO′垂直时最小，如图所示，最小值为Fsinθ，B正确。 7．(力的分解的应用)人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把木桩劈开。如图所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力N等于(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　将力F分解为F1、F2两个分力，这两个分力分别与斧子的两个侧面垂直，根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形。因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以有F1＝F2＝，木桩的两个劈开面受到的侧向压力N＝，C正确。 8．(正交分解法)如图所示，荡秋千的小学生所受的重力为400 N，秋千最大摆角为60°，当他处于最高位置时，把他所受的重力在垂直绳方向和沿绳方向进行分解，求这两个分力的大小。 答案　200 N　200 N 解析　将重力分解如图所示， 由几何知识可知： G1＝G·sin60°＝200 N G2＝G·cos60°＝200 N。 9.(效果分解法)如图所示的装置处于静止状态。已知A、C两点在同一水平面上，轻绳AB、CD与水平方向的夹角分别为β＝60°、α＝30°，物体所受重力为G，求：物体的重力沿AB、CD方向的分力大小。 答案　G　G 解析　把重力沿AB、CD方向分解，如图所示， 沿AB方向的分力为： F1＝Gcosα＝G； 沿CD方向的分力为： F2＝Gsinα＝G。 10．(力的分解)将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时(　　) A．有无数组解 B．有两组解 C．有唯一解 D．无解 答案　B 解析　设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2min＝Fsin30°＝5 N。因5 N<F2＝6 N<10 N，则F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，此时有两组解，B正确。 11．(效果分解法)城市中的路灯经常用三角形的结构悬挂。如图所示为这类结构的一种简化模型。图中硬杆BO可以绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，钢索和杆的重量都可以忽略。如果悬挂物的重量为G，AO与BO间的夹角为θ。关于钢索AO对O点的拉力和杆BO对O点的支持力，下列说法正确的是(　　) A．钢索AO对O点的拉力大小为Gtanθ，方向沿钢索向上 B．钢索AO对O点的拉力大小为，方向沿钢索向上 C．杆BO对O点的支持力大小为Gtanθ，方向沿杆向右 D．杆BO对O点的支持力大小为，方向沿杆向右 答案　D 解析　以悬挂物为研究对象，钢索对其拉力的大小等于其重力，以O点为研究对象，分析受力，将下面绳子对结点O的力沿钢索AO和杆OB方向分解，如图所示，根据几何知识，杆BO对O点的支持力大小为：FBO＝FOB＝，方向沿杆向右；钢索AO对O点的拉力大小为：FAO＝FOA＝，方向沿钢索向上。故D正确，A、B、C错误。 12．(效果分解法)如图所示，用两根可承受的最大拉力相等、长度不等的细线AO、BO悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则(　　) A．AO先被拉断 B．BO先被拉断 C．AO、BO同时被拉断 D．条件不足，无法判断 答案　B 解析　依据力的作用效果将重力分解如图所示，据图可知：FB>FA。又因为两细线可承受的最大拉力相等，故当在球内不断注入铁砂时，BO先被拉断，B正确。 13．(效果分解法)如图所示，一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的O点，总质量为80 kg。此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°，则手受到的拉力和脚受到的作用力分别为(设手、脚受到的作用力均通过重心O，g取10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)(　　) A．480 N，640 N B．640 N，480 N C．600 N，1067 N D．1067 N，600 N 答案　A 解析　如图所示，根据运动员重力的作用效果，将重力mg分解为沿手臂方向的力F1和沿身体方向的力F2，F1＝mgcos53°＝480 N，F2＝mgsin53°＝640 N。由力的相互作用可知手受到的拉力为480 N，脚受的作用力为640 N，A正确。 14．(力的分解的应用)如图所示剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是(　　) A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大 D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小 答案　D 解析　将汽车对千斤顶的压力分别沿两臂方向进行分解，如图所示。有：F1cos＋F2cos＝F，当θ＝120°时，F1＝F2＝F＝1.0×105 N，所以此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，由力的相互作用知，千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N，A、B错误；若继续摇动把手，将汽车顶起，θ减小，cos增大，F1、F2均减小，C错误，D正确。 15．(力的分解的应用)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯，在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是(　　) A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力 B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度 C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下 D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布 答案　C 解析　索塔对钢索竖直向上的作用力跟钢索和桥体整体的重力平衡。增加钢索数量，其整体重力变大，故索塔受到的压力变大，A错误；若索塔高度降低，由于钢索与竖直方向夹角θ如何变化未知，由Tcosθ＝G可知，钢索拉力T如何变化未知，B错误；两侧钢索对称且拉力大小相同时，合力一定在夹角平分线上，即钢索对索塔的合力竖直向下，C正确；索塔受到钢索拉力的合力竖直向下，当两侧钢索拉力的大小不相等时，由图可知，索塔两侧的钢索不是对称分布的，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $$