专题17 倍角公式及其应用5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题17 倍角公式及其应用5种常考压轴题归类 知识点01 倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：；变形 （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、对倍角公式的理解 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如是的二倍角，是的二倍角等。“倍”是描述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想； （2）由任意角的三角函数的定义可知，，中的角是任意的，但要使有意义，需要； （3）一般情况下，，， 知识点02 倍角公式的变形 1、升幂公式：， 2、降幂公式：， 压轴题型一：二倍角正弦公式的应用 满分技法 解题技法：首先要牢记二倍角正弦公式sin2α=2sinacosα。在具体题目中，若出现形如sin 2α的形式，可直接代入公式进行计算。若题目中没有明显的sin2α,但有sinα与cosα的乘积形式，或者可以通过三角函数的基本关系转化为这种形式的，也可以考虑使用二倍角正弦公式进行化简或计算。 注意要点：注意公式中sinα与cosα的系数及角的倍数关系，不要混淆。同时，要根据已知条件合理选择使用公式的方式，有时需要对已知条件进行变形，以符合公式的形式。 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知为钝角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知是第一象限角，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川南充·开学考试）已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东菏泽·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）若锐角满足，则 （     ） A． B． C． D． 压轴题型二：二倍角余弦公式的应用 满分技法 解题技法：二倍角余弦公式有三种形式,即 。 当题目中出现cos 时,可根据已知条件选择合适的公式进行应用。如果已知cos 的值,通常选择 ；若已知 的值,则可选用 ；当需要同时用到 和 时, 可能更合适。此外,对于一些形如 的式子,可以利用公式进行降次处理,以便于进一步计算或化简。 注意要点：要熟练掌握三种形式的公式,根据具体题目条件灵活选用,避免选错公式导致计算复杂或错误。同时,注意公式的变形应用,如由 可得 ,由 可得 ,这些变形在解决一些三角函数的化简、求值问题中经常会用到。 7．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知则等于（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江西鹰潭·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 压轴题型三：二倍角正切公式的应用 满分技法 解题技法：二倍角正切公式为.当题目中出现或者需要求的值时,先确定已知条件中是否有tan的值,如果有,直接代入公式计算即可.若题目中没有直接给出tan的值,但可以通过其他条件求出,再代入公式求解.另外,在一些化简问题中,若出现形如的式子,可直接利用二倍角正切公式进行化简. 注意要点：使用公式时要注意tan的取值范围,因为当时,分母,此时公式不适用,需要单独讨论.同时,要注意与其他三角函数公式的综合运用,有时需要先利用其他公式将已知条件进行转化,再使用二倍角正切公式. 12．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·河北沧州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）若钝角满足，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·黑龙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 压轴题型四：二倍角给值求值 满分技法 解决条件求值问题的方法 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的关系，有两个观察方向: （1）有方向地将已知式或未知式化简，是关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 19．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 20．（2022·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（21-22高一·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则 . 22．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则 . 23．（2025高三上·全国·专题练习）已知，，则 24．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 压轴题型五：二倍角给值求角 满分技法 解题技法：先根据已知条件求出二倍角的某个三角函数值,然后根据该三角函数值确定二倍角的取值范围,再结合题目中给出的角的其他限制条件,如角的范围、三角函数值的正负等,确定二倍角的具体值。在求角的过程中,通常需要利用三角函数的单调性和周期性来确定角的取值。例如,已知sin 的值,可根据正弦函数在上的单调性,结合的取值范围,求出的值,再进一步求出的值。 注意要点：准确确定二倍角的取值范围是关键,要充分考虑已知条件中角的各种限制因素,不能仅仅根据三角函数值来确定角,否则可能会得到错误的结果。同时,要熟悉三角函数的单调性和周期性,以便正确利用它们来求解角的值。另外,在求出角的值后,要检验是否满足题目中的所有条件。 25．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 26．（2021高一下·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ． 27．（23-24高三上·福建三明·阶段练习）已知，均为锐角，，，则 ， . 28．（22-23高一·全国·课后作业）已知，，，则 ． 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，则=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆渝北·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（    ） A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对 C．两人都错 D．两人都对 12．（2025·陕西西安·二模）若，则cos2α＝（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高三下·安徽蚌埠·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2025·黑龙江·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 16．（2025·江苏南京·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）下列化简结果是的选项为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，则 ． 20．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习） ． 21．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ． 22．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知，，则 . 23．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 24．（青海省海南州2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷）已知，则 . 四、解答题 25．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)求的值： (3)求的值. 26．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知函数， (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)方程在上有且只有一个解，求实数n的取值范围. 27．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 28．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知角是第二象限角，．为第二象限角， (1)求的值： (2)求的值 (3)求的值． 29．（24-25高一下·上海·阶段练习）证明下列恒等式： (1)； (2)． 30．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 倍角公式及其应用5种常考压轴题归类 知识点01 倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：；变形 （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、对倍角公式的理解 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如是的二倍角，是的二倍角等。“倍”是描述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想； （2）由任意角的三角函数的定义可知，，中的角是任意的，但要使有意义，需要； （3）一般情况下，，， 知识点02 倍角公式的变形 1、升幂公式：， 2、降幂公式：， 压轴题型一：二倍角正弦公式的应用 √满分技法 解题技法：首先要牢记二倍角正弦公式sin2α=2sinacosα。在具体题目中，若出现形如sin 2α的形式，可直接代入公式进行计算。若题目中没有明显的sin2α,但有sinα与cosα的乘积形式，或者可以通过三角函数的基本关系转化为这种形式的，也可以考虑使用二倍角正弦公式进行化简或计算。 注意要点：注意公式中sinα与cosα的系数及角的倍数关系，不要混淆。同时，要根据已知条件合理选择使用公式的方式，有时需要对已知条件进行变形，以符合公式的形式。 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知为钝角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且为钝角，则， 则. 故选：D 2．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用条件求出，再利用平方关系和倍角公式将化简，得，进行切弦互化，即可求解. 【详解】由，得， 故 . 故选：D. 3．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知是第一象限角，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知先确定是第三象限角，进而利用正余弦的平方关系求得，利用二倍角的正弦公式可求. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 当时，，所以是第三象限角； 当时，，所以是第一象限角； 又，所以是第三象限角，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·四川南充·开学考试）已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是第四象限角，得到，再由求解. 【详解】因为是第四象限角，且， 所以， 所以， 故选：A 5．（2025·山东菏泽·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和差公式和二倍角公式化简即可得解. 【详解】因为， 整理得，两边平方得，得. 故选：B 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）若锐角满足，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方的方法，结合诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 所以. 故选：A 压轴题型二：二倍角余弦公式的应用 √满分技法 解题技法：二倍角余弦公式有三种形式,即 。 当题目中出现cos 时,可根据已知条件选择合适的公式进行应用。如果已知cos 的值,通常选择 ；若已知 的值,则可选用 ；当需要同时用到 和 时, 可能更合适。此外,对于一些形如 的式子,可以利用公式进行降次处理,以便于进一步计算或化简。 注意要点：要熟练掌握三种形式的公式,根据具体题目条件灵活选用,避免选错公式导致计算复杂或错误。同时,注意公式的变形应用,如由 可得 ,由 可得 ,这些变形在解决一些三角函数的化简、求值问题中经常会用到。 7．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可； 【详解】. 故选：A. 8．（2025·黑龙江·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可. 【详解】已知，且， 则，所以， 则. 故选：C. 9．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得 . 故选：D 10．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 11．（2025·江西鹰潭·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求得，进而得到，再由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】由，可得：， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 压轴题型三：二倍角正切公式的应用 √满分技法 解题技法：二倍角正切公式为.当题目中出现或者需要求的值时,先确定已知条件中是否有tan的值,如果有,直接代入公式计算即可.若题目中没有直接给出tan的值,但可以通过其他条件求出,再代入公式求解.另外,在一些化简问题中,若出现形如的式子,可直接利用二倍角正切公式进行化简. 注意要点：使用公式时要注意tan的取值范围,因为当时,分母,此时公式不适用,需要单独讨论.同时,要注意与其他三角函数公式的综合运用,有时需要先利用其他公式将已知条件进行转化,再使用二倍角正切公式. 12．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：B 13．（24-25高一下·河北沧州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解. 【详解】由，得, 故， 故选：D 14．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）若钝角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】弦化切计算可得，又为钝角，所以 得出正切，最后应用二倍角正切公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 又为钝角，所以 ，则， 计算得． 故选：B. 15．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角的正弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，即， 整理可得，即，故， 则. 故选：A. 16．（2025·黑龙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出与的值，再利用三角函数的两角和公式求出，最后根据二倍角公式求出. 【详解】由，可得，且， 故. 故选：C. 17．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正切公式可得：，结合的范围，即可得解的值． 【详解】解：，， 可得：，整理可得：， 解得：，或， 是第二象限角， ，， ，故． 故选：A． 18．（2025·辽宁·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合同角公式求出，再利用二倍角的正切及差角的正切计算得解. 【详解】由，得， 即，由，得，则， 则，所以． 故选：A 压轴题型四：二倍角给值求值 √满分技法 解决条件求值问题的方法 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的关系，有两个观察方向: （1）有方向地将已知式或未知式化简，是关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 19．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可． 【详解】由已知得，，即， 则， 故选：D． 20．（2022·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可 【详解】因为， 所以，且， 所以， 所以， 所以． 故选：C． 21．（21-22高一·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则 . 【答案】 【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得. 【详解】， 由于是第三象限角，所以， 所以. 故答案为： 22．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式，以及二倍角的余数公式，化简等式，再利用两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】根据题意，，即， 即，即，所以， 所以， 因为，所以，， 又，所以， 则. 故答案为： 23．（2025高三上·全国·专题练习）已知，，则 【答案】 【分析】由，，可得，由，求值即可. 【详解】， ， 法一： ， ， 则， 所以. 法二：换元法 令，，则，， 即，， 故， 所以. 故答案为：. 24．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 压轴题型五：二倍角给值求角 √满分技法 解题技法：先根据已知条件求出二倍角的某个三角函数值,然后根据该三角函数值确定二倍角的取值范围,再结合题目中给出的角的其他限制条件,如角的范围、三角函数值的正负等,确定二倍角的具体值。在求角的过程中,通常需要利用三角函数的单调性和周期性来确定角的取值。例如,已知sin 的值,可根据正弦函数在上的单调性,结合的取值范围,求出的值,再进一步求出的值。 注意要点：准确确定二倍角的取值范围是关键,要充分考虑已知条件中角的各种限制因素,不能仅仅根据三角函数值来确定角,否则可能会得到错误的结果。同时,要熟悉三角函数的单调性和周期性,以便正确利用它们来求解角的值。另外,在求出角的值后,要检验是否满足题目中的所有条件。 25．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）若，且均为锐角，，则 【答案】 【分析】利用配凑法将表示成,再去求解即可得到的值. 【详解】因为、为锐角，且，所以,, 所以,, 所以, 且因为，所以. 故答案为：. 26．（2021高一下·全国·专题练习）若，，且为锐角，为钝角，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，转化为求，再结合角的范围，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所有，，得， ，且，得，， ， ， ， 因为，所以. 故答案为： 27．（23-24高三上·福建三明·阶段练习）已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【详解】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 28．（22-23高一·全国·课后作业）已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】求得，由此求得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以， 所以 ， 由于，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的定义求得，再由求解. 【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， 所以， 所以， 故选：C 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角角公式和辅助角公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：B. 4．（2025·重庆·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切的两角差公式化为角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化为角正切，从而得解. 【详解】， . 故选：C. 5．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B． 6．（24-25高三下·重庆渝北·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二倍角公式与配凑法即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选： 7．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求． 【详解】因为， 所以 故选：C． 8．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦及余弦的二倍角公式化简得到，进而可求解； 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， ， 故选：A 9．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可. 【详解】 从而 故选：D 10．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 11．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（    ） A．小张对，小姚错 B．小张错，小姚对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式及二倍角公式求解判断即可. 【详解】由， 则小张同学正确； 由，即， 则， 则小姚同学正确. 故选：D. 12．（2025·陕西西安·二模）若，则cos2α＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的正切公式求出的值，再利用二倍角余弦公式以及同角三角函数的基本关系将转化为关于的表达式，最后代入的值进行计算. 【详解】已知，可得： 即，解得 分子分母同时除以（因为，若，则不存在），可得： ， 将代入上式可得： ， 所以. 故选：B. 13．（24-25高三下·安徽蚌埠·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解. 【详解】， 故选:A． 二、多选题 14．（2025·黑龙江·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC. 15．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由同角的三角函数，平方关系，二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】对于A，， 又，所以， 所以，故A错误； 对于B，；故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC 16．（2025·江苏南京·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由，且，则，故A错误； 由，故B正确； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：BC. 17．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两角差的余弦公式，可求，判断A的真假；根据同角三角函数的关系求，判断B的真假；根据两角和的余弦公式，可求，判断C的真假；利用二倍角公式，可求，判断D的真假. 【详解】因为，且. 所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 18．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）下列化简结果是的选项为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】逆用两角和与差的正弦公式计算可判断A；逆用二倍角的正弦公式可判断B；逆用两角和与差的正弦公式结合诱导公式计算可判断C；与对比可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， . 对于D，，故D不正确. 故选：AB. 三、填空题 19．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式结合二倍角公式对原式进行变形，再代入得出结果即可. 【详解】由题意得， ， 因为，所以. 故答案为： 20．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习） ． 【答案】2 【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 故答案为：2 21．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】7 【分析】由题意结合平方关系求出，利用倍角公式化简所求式子代入即可求. 【详解】因为， 所以，又因为，， 所以， 所以 故答案为：7 22．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件求出和的值，再将原式进行化简，最后通过三角函数的相关公式求出的值，进而得出原式的结果. 【详解】，，所以即 原式 ，原式. 故答案为：. 23．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知，求得，得，可得，进而求得，，由，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 又，则， 所以， 所以， ， 所以 . 故答案为：. 24．（青海省海南州2024-2025学年高三下学期3月联考数学试卷）已知，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得结果. 【详解】由题意得， . 故答案为：. 四、解答题 25．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)求的值： (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可得，再由即可求解； （2）根据二倍角公式即可求解； （3）根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1）由有， ； （2）所以； ； （3）. 26．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）已知函数， (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)方程在上有且只有一个解，求实数n的取值范围. 【答案】(1)， (2)最大值为2，最小值为 (3)或 【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期性即可求解； （2）结合正弦函数最值条件即可求解； （3）转化为与在上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】（1）， 则函数的最小正周期为， 令， 则， 故的单调递减区间为； （2）当时，， 故， 所以函数在上的最大值为2，最小值为； （3）若方程在上有且只有一个解， 则与在上有且只有一个交点， 因为在上单调递增，在上单调递减，， 所以或， 所以或， 故n的范围为或 27．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用同角公式和两角和正弦公式即可求解； (2)利用二倍角公式和两和余弦公式即可求解. 【详解】（1）由，，结合同角公式可得：， 又因为，所以； （2）由（1）可求得： 所以. 28．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知角是第二象限角，．为第二象限角， (1)求的值： (2)求的值 (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)-3 【分析】（1）利用平方关系计算可得答案； （2）求出，再由正切的二倍角公式计算可得答案； （3）由平方关系求出可得值，代入正切的两角和公式计算可得答案． 【详解】（1）因为角是第二象限角，， 所以； （2）由（1）知，， 所以，； （3）为第二象限角，， 所以，， 所以． 29．（24-25高一下·上海·阶段练习）证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用和差角的正弦公式及弦化切推理得证. （2）利用二倍角公式及辅助角公式推理得证. 【详解】（1） ， 所以原等式成立. （2）， 所以原等式成立. 30．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【详解】（1） ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； （2）对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$