专题15 向量数量积的最值与范围问题4种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题15 向量数量积的最值与范围问题 4种常考压轴题归类 一、求平面向量最值范围问题常用方法 （1）定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 （2）基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （3）坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （4）数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 二、平面向量数量积的最值问题求解策略 平面向量具有代数和几何的双重属性,求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路,代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。 求解平面向量数量积的最值问题,最基本的思路就是结合数量积定义与向量运算公式,选择恰当的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。这类问题一般有以下几种转化方向: 利用数量积的定义,借助平面几何知识,转化为关于某个变量的函数, 思路1：利用向量运算(三角形法则)和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数, 思路2：利用向量极化恒等式:进行转化, 思路3：建立平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算, 思路4：设角度,把问题转化为三角函数问题后,换元求最值问题, 建立目标函数后求最值,需具体问题具体分析，求最值问题一般有两种方法:一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解。 压轴题型一：向量数量积的最值范围（投影法） 满分技法 根据向量数量积的几何定义，将一个向量在另一个向量上的投影与向量模长相乘得到数量积。通过分析投影的变化，确定数量积的最值。找到影响投影大小的几何因素，如动点的轨迹与固定向量的位置关系等。 注意要点：准确理解向量投影的概念，清晰把握几何图形中线段长度和角度的变化，尤其关注动点的轨迹范围对投影的影响。 1.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ． 3.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 压轴题型二：向量数量积的最值范围（坐标法） 满分技法 解题技法：建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再根据向量数量积的坐标运算公式进行计算。将问题转化为函数最值问题，通过求函数的最值来确定向量数量积的最值。 注意要点：合理选择坐标系，使向量坐标尽可能简单，从而简化计算。在求解函数最值时，注意函数的定义域，以及二次函数对称轴与定义域的关系。 4.已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________. 5.已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 6.在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 压轴题型三：向量数量积最值与范围（基底法） 满分技法 选取两个不共线的向量作为基底，将其他向量用基底表示出来，再根据向量数量积的运算律进行计算。通过对表示式的变形和分析，结合已知条件确定数量积的最值。 注意要点：选择的基底要尽量方便计算，确保所选取的基底向量的模长和夹角易于求解。在运用运算律时，注意运算的准确性 7.如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______． 8.在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 9.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 压轴题型四：向量数量积最值与范围（极化恒等式法） 满分技法 利用极化恒等式将向量数量积转化为与向量和、差相关的形式。结合几何图形的特点，通过分析向量和、差的模长变化，确定数量积的最值。 注意要点：正确理解和运用极化恒等式，精准把握几何图形中线段的中点、长度等关键信息，以便快速运用极化恒等式解题。 10.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 11.在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； 一、单选题 1．已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 二、填空题 7．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .    8．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．    9．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    10．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 向量数量积的最值与范围问题 4种常考压轴题归类 一、求平面向量最值范围问题常用方法 （1）定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 （2）基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （3）坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （4）数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 二、平面向量数量积的最值问题求解策略 平面向量具有代数和几何的双重属性,求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路,代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。 求解平面向量数量积的最值问题,最基本的思路就是结合数量积定义与向量运算公式,选择恰当的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。这类问题一般有以下几种转化方向: 利用数量积的定义,借助平面几何知识,转化为关于某个变量的函数, 思路1：利用向量运算(三角形法则)和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数, 思路2：利用向量极化恒等式:进行转化, 思路3：建立平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算, 思路4：设角度,把问题转化为三角函数问题后,换元求最值问题, 建立目标函数后求最值,需具体问题具体分析，求最值问题一般有两种方法:一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解。 压轴题型一：向量数量积的最值范围（投影法） √满分技法 根据向量数量积的几何定义，将一个向量在另一个向量上的投影与向量模长相乘得到数量积。通过分析投影的变化，确定数量积的最值。找到影响投影大小的几何因素，如动点的轨迹与固定向量的位置关系等。 注意要点：准确理解向量投影的概念，清晰把握几何图形中线段长度和角度的变化，尤其关注动点的轨迹范围对投影的影响。 1.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 2.边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ． 【答案】1 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据题意作图，再利用数量积的几何意义可解. 【详解】由题，作图如下 因为，所以为线段中点， 由边长为1的正六边形ABCDEF，知， 因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界）， 显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线， 又因为， 所以 故答案为：1. 3.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 压轴题型二：向量数量积的最值范围（坐标法） √满分技法 解题技法：建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再根据向量数量积的坐标运算公式进行计算。将问题转化为函数最值问题，通过求函数的最值来确定向量数量积的最值。 注意要点：合理选择坐标系，使向量坐标尽可能简单，从而简化计算。在求解函数最值时，注意函数的定义域，以及二次函数对称轴与定义域的关系。 4.已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 过作，垂足为，以为原点，直线，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图， 在中，，， ∴，，， 由题意，设，，则，， ∴， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 5.已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案. 【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则,设点， 则, 故 ， 故当，即P点坐标为时， 取到最小值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值. 6.在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；.    压轴题型三：向量数量积最值与范围（基底法） √满分技法 选取两个不共线的向量作为基底，将其他向量用基底表示出来，再根据向量数量积的运算律进行计算。通过对表示式的变形和分析，结合已知条件确定数量积的最值。 注意要点：选择的基底要尽量方便计算，确保所选取的基底向量的模长和夹角易于求解。在运用运算律时，注意运算的准确性 7.如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】连接MD，则，， 所以， 由于为等腰直角三角形，为线段上的点， 所以 因此， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 8.在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以， 所以 . （2）因为，所以， 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 9.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 【答案】 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】是BC中点， ， M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点， ， 同理可得， . 故答案为：. 压轴题型四：向量数量积最值与范围（极化恒等式法） √满分技法 利用极化恒等式将向量数量积转化为与向量和、差相关的形式。结合几何图形的特点，通过分析向量和、差的模长变化，确定数量积的最值。 注意要点：正确理解和运用极化恒等式，精准把握几何图形中线段的中点、长度等关键信息，以便快速运用极化恒等式解题。 10.已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故． 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离． 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值． 11.在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； 【解析】由题意知， 得，于是. 取的中点，连接，如图所示， 根据极化恒等式有， 因此要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为， 则. 所以的最小值为； 一、单选题 1．已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而找到最大值. 【详解】如图所示：    因为单位圆O是△ABC的外接圆，，所以， 且， ， 故当共线反向时，取到最大值1， 故选：C. 2．在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为三角形中，， 所以是边长为2的等边三角形，则 以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，    则，设，则， 故， 显然当时，取得最小值， 故选：B. 3．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 4．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A.    5．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可． 【详解】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，    则，设，，， 则， 因为，则， 则， 故当，时取得最大值为5． 另解：令，则为中点，为中点，则， 所以，当为中点时取等． 故选：C 6．如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】先根据条件求得到的距离，再把所求转化为，进而求得答案. 【详解】在矩形中，，动点在以为圆心，且与相切的圆上， 所以， 如图所示，连接,设到的距离为，则， 则， 其中，， 当且仅当与同向时，等号成立， 所以， 即的最大值为. 故选：A. 二、填空题 7．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .    【答案】 【分析】令，用表示出，再由向量数量积的运算律化简求最大值即可. 【详解】令，则，， 所以， 所以时，的最大值为. 故答案为： 8．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据向量共线以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】由得， 设，所以， 故当时，取最大值， 故答案为： 9．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得. 【详解】连接AC，因为，，， 所以， 又，所以， 所以. 过点B作AD的垂线BF，垂足为F， 易知，在中，， 所以， 以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 设， 则， ， 当时，有最小值. 故答案为：    10．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案. 【详解】     取的中点，连接，则， 所以， 当且仅当时，有最小值，则有最小值， 此时菱形的面积， 最小值为， 因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值， 的取值范围为， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$