专题14 极化恒等式解决平面向量的数量积问题3种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题14 解决平面向量的数量积问题 3种常考压轴题归类 平面向量是高考数学考查的重要内容之一, 而且近几年对平面向量的考查越来越灵活, 题型多样, 解法多变, 让人捉摸不定, 其中对平面向量数量积的考查显得尤为突出. 涉及平面向量数量积的有关问题, 运用极化恒等式求解有时能起到出奇制胜的效果. 当遇到两个同起点且角度不定、模长不定的向量, 要求它们的数量积时, 可以考虑利用极化恒等式这一重要结论, 这也体现了数形结合这一重要的数学思想在解题中的应用. 1 极化恒等式 1.1 极化恒等式的定义 极化恒等式指的是平面向量基本关系式: 对于平面向量 ,通过恒等变形可得 . 极化恒等式可以将平面向量的数量积运算转化为平面向量线性运算的模, 如果将平面向量换成实数, 那么上述公式也叫 “广义平方差”公式. 1.2 极化恒等式的几何意义 图 1 如图 1 所示, 对于平面内一组不共线向量的数量积, 它可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形“和对角线长”与 “差对角线长”平方差的 ,即 也可以看成以这组向量为邻边的平行四边形 “半和对角线长”与“半差对角线长”的平方差 (即 的中线长 与半底边长 的平方差). 1.3 极化恒等式的三角形模式 如图 2 所示, 由上述极化恒等式的几何意义易知,在 中,若点 是 的中点,则 这样极化恒等式就将平面向量的数量积关系转化为两个平面向量的长度关系, 使不可度量的向量数量积关系转化为可度量、可计算的数量关系,其意义非同凡响. 当遇到两个同起点且角度不定、模长不定的向量,要求它们的数量积时, 可以考虑利用极化恒等式这一重要结论, 这也体现了数形结合的重要数学思想. 俗话说, 没有思想就没有高立意. 因为数学知识的教学只是信息的传递, 而数学思想方法的教学, 才能使学生形成观点和技能, 数学学习的根本目的在于掌握某种具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识. 要想让学生真正从思想深处接受、领悟并掌握一种数学思想方法, 必须让学生有一个体验、感悟、浸润的过程. 在教学中,教师要更多地关注学生对数学思想方法感悟的充分性与全面性, 要创造更多的机会给学生思考、探究、总结、提炼, 让数学思想方法在教学中能真正落到实处. 压轴题型一：求值问题 √满分技法 运用极化恒等式的三角形模式将问题转化为线段的长度运算显得更为简单. 1.设向量满足，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 方法一：基本方法 【详解】试题分析：因为，所以………………①， 又，所以…………②， 1- ②得，所以 2- 考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积． 方法二：极化恒等式 由极化恒等式可得： 故选A． 2.在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 3.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O，则 , ，因此，选A. 4.正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 方法四：极化恒等式 设CD中点为O点，由极化恒等式可得： 故选：B. 压轴题型二：最值问题 √满分技法 在平面向量的运算中, 尤其是最值问题, 如果能够建立平面直角坐标系将原问题转化为向量的坐标运算, 会使问题变得简单. 而我们运用极化恒等式的方法进行求解,问题变得更为简单 5.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 故答案为： 6.已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 7.如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 为使最小，只需最小， 所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：B 8.如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________ 答案: 2 解:如图, 取的中点,的中点,连接,则 （当且仅当三点共线时等号成立.)由极化恒等式得 压轴题型三：取值范围问题 √满分技法 利用向量的极化恒等式可以快速对向量的数量积进行转化, 体现了向量的几何属性. 极化恒等式特别适用于求解以三角形为载体、涉及线段中点的向量问题. 9.线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意知，连接，为的中点， 则， 可得， 又因为，则圆心O到直线CD的距离为， 由点P在线段CD上可知，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 10.如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 11.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 方法一 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 方法二：极化恒等式 记AB的中点为M，连接CM，则 由极化恒等式可得： 即 故选：D 1.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ． 【答案】2 【解析】如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则， 又OMON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号． 所以的最大值为2． 故答案为：2. 2.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 解：取的中点,连接,则, 在中,, 3.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 4.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 5.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 方法一 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 方法二：极化恒等式 解：取的中点,连接,取的中点,连接, 由是边长为2的等边三角形,为中线的中点, 则： 所以. 故选：． 6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 7.已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】一方面，而，，不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以遍历中的每一个数． 【详解】首先， ，这里是最长的那条对角线的长度， 等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾. 所以. 另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明： 设中点为，那么， 然后，设A所在的边的端点为，则， （这是因为，记，其中为原点，确定的， 那么是一次函数，从而t属于时，有） 所以我们可以不妨设A在六边形的端点上. 同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上. 此时分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时， 综上，， 所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有， 这就说明，互不重合时，有， 然后，取等条件如图所示： 具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点）， 使得，并且只沿着最近的轨道， 这样在的情况下，互不重合 同时设，那么，而连续， 所以在的情况下，必定取遍， 这就意味着，的取值范围就是， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时 8.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 9.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 10.在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用图形将转化成，代入即得，根据的面积为4得，利用进行放缩，由即得最小值. 【详解】 如图，分别过点，作于，于，取中点,连接. 易得，因，， 则， 故① 又的面积为4，因 点E，F分别是线段的中点，易得, 故的面积 ,即得，由图知，, 则由①可得：,当且仅当且时等号成立， 即的最小值是4. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 解决平面向量的数量积问题 3种常考压轴题归类 平面向量是高考数学考查的重要内容之一, 而且近几年对平面向量的考查越来越灵活, 题型多样, 解法多变, 让人捉摸不定, 其中对平面向量数量积的考查显得尤为突出. 涉及平面向量数量积的有关问题, 运用极化恒等式求解有时能起到出奇制胜的效果. 当遇到两个同起点且角度不定、模长不定的向量, 要求它们的数量积时, 可以考虑利用极化恒等式这一重要结论, 这也体现了数形结合这一重要的数学思想在解题中的应用. 1 极化恒等式 1.1 极化恒等式的定义 极化恒等式指的是平面向量基本关系式: 对于平面向量 ,通过恒等变形可得 . 极化恒等式可以将平面向量的数量积运算转化为平面向量线性运算的模, 如果将平面向量换成实数, 那么上述公式也叫 “广义平方差”公式. 1.2 极化恒等式的几何意义 图 1 如图 1 所示, 对于平面内一组不共线向量的数量积, 它可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形“和对角线长”与 “差对角线长”平方差的 ,即 也可以看成以这组向量为邻边的平行四边形 “半和对角线长”与“半差对角线长”的平方差 (即 的中线长 与半底边长 的平方差). 1.3 极化恒等式的三角形模式 如图 2 所示, 由上述极化恒等式的几何意义易知,在 中,若点 是 的中点,则 这样极化恒等式就将平面向量的数量积关系转化为两个平面向量的长度关系, 使不可度量的向量数量积关系转化为可度量、可计算的数量关系,其意义非同凡响. 当遇到两个同起点且角度不定、模长不定的向量,要求它们的数量积时, 可以考虑利用极化恒等式这一重要结论, 这也体现了数形结合的重要数学思想. 俗话说, 没有思想就没有高立意. 因为数学知识的教学只是信息的传递, 而数学思想方法的教学, 才能使学生形成观点和技能, 数学学习的根本目的在于掌握某种具有普遍意义和广泛迁移价值的策略性知识. 要想让学生真正从思想深处接受、领悟并掌握一种数学思想方法, 必须让学生有一个体验、感悟、浸润的过程. 在教学中,教师要更多地关注学生对数学思想方法感悟的充分性与全面性, 要创造更多的机会给学生思考、探究、总结、提炼, 让数学思想方法在教学中能真正落到实处. 压轴题型一：求值问题 满分技法 运用极化恒等式的三角形模式将问题转化为线段的长度运算显得更为简单. 1.设向量满足，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 1．2． 2.在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 3.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 4.正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 压轴题型二：最值问题 满分技法 在平面向量的运算中, 尤其是最值问题, 如果能够建立平面直角坐标系将原问题转化为向量的坐标运算, 会使问题变得简单. 而我们运用极化恒等式的方法进行求解,问题变得更为简单 5.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 6.已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7.如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8.如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________ 压轴题型三：取值范围问题 满分技法 利用向量的极化恒等式可以快速对向量的数量积进行转化, 体现了向量的几何属性. 极化恒等式特别适用于求解以三角形为载体、涉及线段中点的向量问题. 9.线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 10.如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ，则 1.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ． 2.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 3.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 4.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 5.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 7.已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 . 8.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$