专题13 向量数量积的坐标运算5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题13 向量数量积的坐标运算 5种常考压轴题归类 知识点01 向量的坐标与向量的数量积 1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量，之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的坐标，记作，而且是一组正交基底。 2、向量的数量积：若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 知识点02 平面向量坐标表示的几个公式 1、向量模的坐标表示 （1）若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 2、向量夹角的坐标表示：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 3、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 压轴题型一：向量数量积坐标运算 满分技法 数量积坐标运算的技巧 1、进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算； 2、在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积。 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 2．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 压轴题型二：向量模的坐标表示 满分技法 求向量模的两种基本策略： 1、字母表示下的运算：利用，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； 2、坐标表示下的运算：若，则，于是有 7．（2025·云南·一模）已知是单位向量，且.若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（   ） A．9 B． C．6 D． 9．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 10．（2024·河北·三模）已知非零向量，的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 11．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．8 12．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．2 13．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 压轴题型三：向量夹角的坐标表示 满分技法 1、若求向量与的夹角，利用公式，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角。 2、非零向量与的夹角与向量的数量积的关系 （1）若为直角，则充要条件为向量，则转化为； （2）若为锐角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为0（即与的方向不能相同）； （3）若为钝角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为（即与的方向不能相反）； 14．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高三·全国·专题练习）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则（　） A． B． C．1 D．2 19．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 20．（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：向量垂直的坐标表示 满分技法 若两个向量垂直，则 21．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，，，且，则实数（    ） A．－ B．3 C．0 D． 22．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 23．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 24．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知平面向量，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 压轴题型五：投影向量的坐标运算 满分技法 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影向量为向量在向量方向上的投影向量为 25．（23-24高一下·山西长治·期末）已知向量，，若，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 26．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．若向量是与向量垂直的单位向量，则为 C．与向量同向共线的单位向量为 D．向量在上的投影向量为 28．（22-23高一下·安徽六安·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当与方向相同时， C．与角为钝角时，则t的取值范围为 D．当时，在上的投影向量为 29．（20-21高三下·湖南·阶段练习）已知，，且，则向量在向量方向上的投影的最大值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 30．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A． B．3 C． D．7 31．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知向量，且，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）点是所在平面内一点，，则的最小值为（    ） A．100 B．120 C．180 D．240 6．（2025·山东菏泽·一模）已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．与垂直的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 11．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 12．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 15．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主，曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则存在实数，使得 B． C． D． 17．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 18．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知，，则下列选项中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（    ） A．若，则存在实数使得 B． C． D． 三、填空题 20．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知正方形的边长为，是的中点，是线段上的点，则的最小值为 . 21．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，，则 . 22．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    23．（2025·天津·模拟预测）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为 ． 24．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知正六边形边长为6，点满足，当取最小值时，则 . 25．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为 ． 26．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）设向量，，，若的最大值为5，则正实数m的值为 ． 27．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感，莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.已知莱洛三角形的周长为，则其面积是 ，P为弧AC上的点且，则 ．    四、解答题 28．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，. (1)若、、三点共线，求实数的值； (2)若，求的面积. 29．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知向量、满足，. (1)求与的夹角； (2)求； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 30．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 31．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，． (1)C是线段AB上靠近A的三等分点，求点C坐标； (2)求在上的投影向量（用坐标表示）； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 32．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若，，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 向量数量积的坐标运算 5种常考压轴题归类 知识点01 向量的坐标与向量的数量积 1、向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量，之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的坐标，记作，而且是一组正交基底。 2、向量的数量积：若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 知识点02 平面向量坐标表示的几个公式 1、向量模的坐标表示 （1）若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 2、向量夹角的坐标表示：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 3、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则 压轴题型一：向量数量积坐标运算 √满分技法 数量积坐标运算的技巧 1、进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算； 2、在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积。 1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系. 已知，则；因为，，，所以， 又因为，可得，即， 解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，. 因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即. 所以，. 可得：. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，求出，从而建系，将用函数表示出来，即可求出. 【详解】, 且在平行四边形中，， . 以A为原点建坐标系，则 点P在边上，设, ， ，， 所以. 故选：A 3．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】建立如图所示直角坐标系，设，利用向量共线求出点，再利用向量的数量积求解即可. 【详解】依题意，在坐标系中表示直角梯形，，，，， ，设， 因为，所以，即， 所以，所以，， 所以． 故选：A 6．（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 压轴题型二：向量模的坐标表示 √满分技法 求向量模的两种基本策略： 1、字母表示下的运算：利用，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； 2、坐标表示下的运算：若，则，于是有 7．（2025·云南·一模）已知是单位向量，且.若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的坐标，由此可得模长. 【详解】由题意得，，设， ∵，∴，故. 如图，以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，使的起点与重合，终点在第二象限，则， 设，则，故， ∴，故. 故选：C. 8．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（   ） A．9 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】设，，，，，，，则即为点到，，三点的距离之和，由费马点的性质可得当点 位于的中心时，取最小值，即可求解. 【详解】设，，，，，，， 则，，， 所以， 因为为等边三角形，由题意，等边的费马点为的中心， 此时取最小值， 所以， 故选：C． 9．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 10．（2024·河北·三模）已知非零向量，的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，向量，的夹角为，根据结合数量积的运算求解. 【详解】因为，则， 且非零向量，的夹角为，，可知向量，的夹角为， 则， 所以. 故选：D. 11．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C. 12．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据条件计算，，由计算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵与的夹角为，，∴， ∴. 故选：D. 13．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用平方运算得，建立平面直角坐标系，根据图形的几何性质可得，将代入即可求得最大值. 【详解】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 压轴题型三：向量夹角的坐标表示 √满分技法 1、若求向量与的夹角，利用公式，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角。 2、非零向量与的夹角与向量的数量积的关系 （1）若为直角，则充要条件为向量，则转化为； （2）若为锐角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为0（即与的方向不能相同）； （3）若为钝角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为（即与的方向不能相反）； 14．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 15．（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角为钝角可得两向量数量积小于0且不反向，由此列出不等式求解即可. 【详解】因为向量与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是， 故选：C. 16．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角. 【详解】根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以. 先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得. 再计算，根据向量模长公式：可得，那么. 所以. 所以. 得，所以与的夹角为. 故选：C. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【详解】因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 18．（2024高三·全国·专题练习）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则（　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先求出，，，根据夹角公式得到，从而得到，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，所以， ，， 因为，，所以， 又，所以， 即，解得. 故选：D 19．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，四边形为直角梯形，建立平面直角坐标系，利用向量夹角公式运算得解. 【详解】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 20．（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】， ， ， ，． 故选：B 压轴题型四：向量垂直的坐标表示 √满分技法 若两个向量垂直，则 21．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知向量，，，且，则实数（    ） A．－ B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标运算和垂直的数量积要求求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：B. 22．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算得出，进而应用同角三角函数关系得出. 【详解】由， 可得， 所以，即得. 故选：C. 23．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意，求出，的坐标，利用向量垂直的坐标表示列示求出，进而求出. 【详解】因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得，所以，所以． 故选：A． 24．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知平面向量，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 压轴题型五：投影向量的坐标运算 √满分技法 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影向量为 向量在向量方向上的投影向量为 25．（23-24高一下·山西长治·期末）已知向量，，若，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得，然后利用即可得到答案. 【详解】. 由，得，即=0，解得. 在方向上的投影向量是. 故选：B. 26．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得出，可得出的值，求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 27．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．若向量是与向量垂直的单位向量，则为 C．与向量同向共线的单位向量为 D．向量在上的投影向量为 【答案】D 【分析】 根据向量数量积，以及共线向量，单位向量的坐标表示，投影向量公式，即可求解. 【详解】A.由，所以与的夹角为锐角，故A错误； B.设，则，得或，即为或，故B错误； C. 与向量同向共线的单位向量为，故C错误； D. 向量在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 28．（22-23高一下·安徽六安·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当与方向相同时， C．与角为钝角时，则t的取值范围为 D．当时，在上的投影向量为 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积、平行、垂直及投影向量的坐标表示依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，当，有，解得，所以A错误； 对选项B，当时，，解得， 当时，，，即，与方向相反，故B错误. 对选项C，当时，与方向相反， 当，解得， 所以与角为钝角，则，且，故C错误； 对选项D，有时，， 所以在上的投影向量为， 故D正确. 故选：D. 29．（20-21高三下·湖南·阶段练习）已知，，且，则向量在向量方向上的投影的最大值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】首先根据条件，表示，再利用投影的公式，转化为，通过换元设，求投影的最大值. 【详解】， 即， ， 则向量在向量方向上的投影为， 令，则， ，函数在区间上单调递减， 故当时，向量在向量方向上的投影取得最大值，最大值是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积的坐标表示，投影公式，本题的关键是根据数量积表示，从而根据投影公式，转化为关于的函数求最值. 30．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示及模长公式计算即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量是， 则， 故， 于是. 故选：A 31．（24-25高三上·山东烟台·期中）已知，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件求出的值，然后投影向量的计算公式为，再计算向量在上的投影向量. 【详解】，可得.展开得到. ，则；，则. 将和代入中，得到， 移项可得，解得. 根据投影向量公式，得到. 故选：B 32．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，应用向量夹角余弦值的坐标表示，结合换元法、二次函数性质求最大时取值，最后由向量投影的求法求向量在上的投影向量. 【详解】令，则， 所以， 令，则， 而，故最大，则，，故， 此时，向量在上的投影向量为. 故选：C 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）若向量，向量在方向上的投影向量为，则m值可能为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】向量在方向上的投影向量为， 所以，解得或， 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 【详解】设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 故选：A. 3．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知向量，且，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，所以. 故选：B 4．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的投影向量的计算公式求得结论. 【详解】,,, 则在上的投影向量是： . 故选：A. 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）点是所在平面内一点，，则的最小值为（    ） A．100 B．120 C．180 D．240 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标求出向量的模，结合已知建立函数关系求出最小值. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则， 则 ，当且仅时取等号， 所以的最小值为120. 故选：B 6．（2025·山东菏泽·一模）已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解． 【详解】法一：由题意得， 所以，则； 法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量， 所以不妨设，则， 故，则， 故选：A． 7．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．与垂直的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义求解判断ABC；利用向量夹角公式列式求出范围判断D. 【详解】对于A，，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由选项B知，，D错误. 故选：B 8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量在上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解. 【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则， 由，得，于是，又， 所以. 故选：A 9．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的夹角为锐角，得出两向量的数量积大于0，且向量不共线，再用向量坐标代入计算即可得解. 【详解】因为，，所以.又与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 则解得，且. 故选：C. 10．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 11．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 12．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 13．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知向量，满足：，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合数量积可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 二、多选题 14．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由向量，得，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 15．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以， 因为，所以， 整理得：，解得，故C错误； 所以，，故A正确； 因为，，所以，所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 16．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主，曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则存在实数，使得 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据平面向量基本定理可知A错误；根据向量数量积的坐标运算可知B正确；根据新定义运算可知C正确；根据新定义以及数量积的坐标运算可知D正确. 【详解】对于A，因为不共面，所以这样的实数不存在，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 故选：BCD. 17．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则（   ） A． B．面积的最小值是 C． D．存在最小值 【答案】AC 【分析】根据向量减法运算可判断A；先设角表示向量的模，再利用向量数量积以及基本不等式判断C；先根据重心性质转化研究面积，再设角表示向量的模，结合二倍角正弦公式判断B；建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，再根据函数单调性判断D. 【详解】, 所以，选项A正确； 过点作，交直线于点，交直线于点， 因为点到、的距离分别为1、2，所以, 设，则因为，所以， 从而， ， ， （当且仅当时取等号），因此选项C正确； 因为，所以为重心，因此， ， 当且仅当时取等号，即，因此选项B错误； 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则可设，所以， ， ， 因为，所以 因为在上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误； 故选：AC 18．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知，，则下列选项中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过取特殊值可判断ABD，通过向量数量积的运算可判断C； 【详解】取，则，，所以，，，AD正确； 取，则，，所以，，B正确； 由，，可得：， ，故C错误； 故选：ABD 19．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（    ） A．若，则存在实数使得 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量基本定理判断A；利用向量数量积的坐标运算判断B；利用新定义运算计算判断C；根据新定义以及数量积的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，依题意，不共面，因此不存在实数使得，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 因此，D正确． 故选：BCD 三、填空题 20．（24-25高一下·天津·阶段练习）已知正方形的边长为，是的中点，是线段上的点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，表示各点坐标，设，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】 如图，以为原点建立平面直角坐标系，则， ∴. 设，则，故， ∴， ∴， ∵函数为二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，有最小值，最小值为. 故答案为：. 21．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为已知在仿射坐标系下，，则 . 【答案】 【分析】应用向量夹角公式计算即可求解. 【详解】解：由题意，在仿射坐标系下，， 可得，， 所以， ， . 则. 故答案为：. 22．（24-25高一下·江苏盐城·阶段练习）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（图②）．已知这个正六边形的边长为1，且是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【答案】3 【分析】根据正六边形的性质建立合适的平面直角坐标系，将向量用坐标表示出来，再通过向量数量积的坐标运算公式进行计算，最后根据点的位置确定数量积的最大值. 【详解】因为正六边形的边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.    根据正六边形的性质可知：，，. 根据向量坐标运算，可得. 因为是正六边形内部一点（包含边界），设，那么. 所以. 由正六边形的性质可知，点在正六边形内部（包含边界），的最大值在点处取得，此时.代入，可得的最大值为. 故答案为：3. 23．（2025·天津·模拟预测）在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，过点作， 因向量在向量上的投影向量为，则为线段的中点， 则，在中， 以为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系， 又，则且， 则， 则， 设， 则， 当时，有最小值. 故答案为：. 24．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知正六边形边长为6，点满足，当取最小值时，则 . 【答案】 【分析】建立坐标系，利用算出点的横坐标，再将化为关于的一元二次函数，即可求出点横坐标，进而利用模长公式求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以中点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，已知正六边形边长为6， 则， 设，则， 则，得， 则， 故 ， 当时，取最小值，此时， 则， 则. 故答案为：    25．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则即可求解. 【详解】以为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，由已知有，设点， 则有， 所以， 所以， 当点时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 26．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）设向量，，，若的最大值为5，则正实数m的值为 ． 【答案】 【分析】因，故用三角换元设，利用坐标计算，化简为三角函数求其最大值，得到关于的方程. 【详解】因，，则， ，设，， 则 ，其中， 因的最大值为5，则， 解得，则正实数m的值为. 故答案为：. 27．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感，莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.已知莱洛三角形的周长为，则其面积是 ，P为弧AC上的点且，则 ．    【答案】 【分析】本题可先根据莱洛三角形的周长求出其半径，进而分别求出莱洛三角形的面积和向量的数量积. 【详解】设等边三角形的边长为， 由于莱洛三角形的三条弧是分别以点，，为圆心， 线段长为半径画的圆弧，且圆心角均为，则每条弧的长度为. 已知莱洛三角形的周长为，那么，解得. 莱洛三角形的面积等于三块扇形的面积之和减去两个等边三角形的面积. 一块扇形的面积为，则三块扇形的面积之和为. 等边三角形的面积为，两个等边三角形的面积为. 所以莱洛三角形的面积为. 以中点为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，. 因为，直线的斜率为，则直线的方程为. 设圆的方程为，将代入圆的方程可得： 由解得（舍去）或， 即. ，. . 故答案为：；    四、解答题 28．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，. (1)若、、三点共线，求实数的值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式计算即得. （2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】（1）依题意，，由、、三点共线，得， 则，所以. （2）由，得，则，解得， 则 所以的面积为. 29．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知向量、满足，. (1)求与的夹角； (2)求； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求出与的夹角； （2）求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （3）利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求出向量在向量上的投影向量的坐标. 【详解】（1）因为向量、满足，，则，，， 所以，， 因为，故，即与的夹角为. （2）因为，故. （3）向量在向量上的投影向量为. 30．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解； （2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果. 【详解】（1）由，可得，即． 又，，所以，， 所以，解得． （2）因为，，所以， 又，所以，解得，所以. 又， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 31．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，． (1)C是线段AB上靠近A的三等分点，求点C坐标； (2)求在上的投影向量（用坐标表示）； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由可求出点C坐标； （2）先求出在上的投影，再乘于的单位向量即可； （3）由夹角为锐角列出数量积为正，再排除两向量同向时的. 【详解】（1）设，则，故， ， ∴， ∴； （2）由题意在上的投影为，， 则在上的投影向量为. （3）由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得. 则的取值范围为. 32．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）定义：已知两个非零向量与的夹角为.我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即. (1)若向量，，求； (2)若，，求的值. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）先求，再根据平面向量夹角的坐标公式求解，进而根据新定义求解即可； （2）先根据题意解得，进而得，，，再利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 则，， 所以， 因为是向量的夹角，所以， 因此，故. （2）因为， 所以，所以，即， 所以，又，所以， 所以， ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$