专题12 向量数量积的概念及运算律6种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题12 向量数量积的概念及运算律 6种常考压轴题归类 知识点01 两个向量的夹角 1、定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作． 2、性质：当时，与同向；当时，与反向． 知识点02 向量数量积的定义 1、向量数量积的定义 （1）定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； （3）由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2、向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）； （5）知识点03 向量的投影 1、投影与投影向量：设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 2、数量积的几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 知识点04 向量数量积的运算律 1、运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 2、常用公式 压轴题型一：向量数量积计算 满分技法 求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角。若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算及多项式乘法的相关公式进行化简。 1．（2025·河北·一模）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2025·河北保定·模拟预测）在中，，，点满足，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知中，，若所在平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，，均为单位向量，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 7．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，是直线上一点且，则（    ） A．-2 B． C． D．0 压轴题型二：几何图形中的数量积计算 满分技法 求两个向量的数量积的关键是准确求出两个向量的夹角，要注意夹角的范围为 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 9．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 10．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 11．（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（    ） A．7 B． C．8 D． 12．（23-24高一下·海南·期末）如图，正六边形的边长为1，点为其中心，点在边和（包含端点）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 压轴题型三：求向量的投影向量 满分技法 求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数； 15．（22-23高一下·湖北武汉·期末）设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A．4 B． C． D．2 17．（22-23高一下·江苏盐城·阶段练习）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 18．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知的外接圆圆心为O，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 19．（21-22高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：求向量的夹角 满分技法 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。 20．（24-25高一下·上海·阶段练习）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 21．（2022·浙江温州·模拟预测）平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（    ） A．0 B． C． D． 23．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 24．（2025·河北秦皇岛·一模）已知单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A．30° B． C． D．135° 28．（2025高三·全国·专题练习）已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 压轴题型五：求向量的模长 满分技法 根据数量积的定义，得，把向量的模的运算转化为数量积运算，这就是求模的方法。即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积（一定非负），再求它的算术平方根，即为模。对于复杂的向量也是如此，例如求，可先求，再求其算数平方根，即为。 29．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 30．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量满足与互为相反向量，，则（    ） A． B．3 C． D．7 31．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（   ） A．4 B． C．2 D．1 32．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知向量满足,,且,则（　　） A．1 B． C． D．2 33．（24-25高三下·重庆·阶段练习）平面内有向量、、满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知向量满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 压轴题型六：向量的垂直问题 满分技法 已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。 36．（2025·四川成都·二模）已知平面向量且，两个非零向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 37．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（    ） A． B．1 C．6 D． 38．（24-25高三上·河北沧州·期末）已知向量，，，为不共线的非零向量，若，，则“”是“”，成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（24-25高三上·湖南长沙·期末）在中，.若于，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 6．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D．－1 7．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知半径为2的⊙O内有一条长度等于半径的弦AB，若⊙O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（         ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）在中，点满足，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）点在所在的平面内，以下说法错误的是（    ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的外心 C．若，则点为的内心 D．若，则点为的垂心 12．（2025·陕西西安·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山西晋中·模拟预测）已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与的夹角为，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）如图，已知正六边形的边长为2，点为正六边形上的动点，下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为12 15．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 16．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点，，为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 17．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．若为非零向量，则不与垂直 B．、为实数，若，则与共线 C．若平面内有四个点，则必有 D．在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 三、填空题 18．（2025·安徽蚌埠·二模）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是 .    19．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为 . 20．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 21．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ． 22．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在直角梯形中，，，，点是边上中点，若点在线段上运动（含端点），则的取值范围是 ． 23．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知、均为单位向量且，则在方向上的投影向量为 24．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知O为所在平面内一点，且点P满足，，则 ． 25．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是 ． 26．（2025高三下·北京·专题练习）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点；若，且，则的最小值是 . 四、解答题 27．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 28．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，，，，点，在边上且，. (1)若，用，表示，并求线段的长； (2)若，，求的值. 29．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 30．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知平行四边形，，，，，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若，,的交点记作G，求． 31．（广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点． (1)求的取值范围； (2)当为的中点时，用表示； (3)若，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 向量数量积的概念及运算律 6种常考压轴题归类 知识点01 两个向量的夹角 1、定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作． 2、性质：当时，与同向；当时，与反向． 知识点02 向量数量积的定义 1、向量数量积的定义 （1）定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； （3）由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2、向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）； （5） 知识点03 向量的投影 1、投影与投影向量：设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 2、数量积的几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 知识点04 向量数量积的运算律 1、运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 2、常用公式 压轴题型一：向量数量积计算 √满分技法 求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角。若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算及多项式乘法的相关公式进行化简。 1．（2025·河北·一模）已知正三角形的边长为2，点满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得的表达式，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，所以， ， 故选：C 2．（2025·河北保定·模拟预测）在中，，，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的定义计算出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，，则， 故， 故 . 故选：D. 3．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知中，，若所在平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化简得出点的位置，再以为基底表示，利用数量积计算即可. 【详解】取线段中点，则，则，则为线段的中点， ， 则， 则 . 故选：C. 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解. 【详解】设的中点为，则， 因为，所以， 所以， 因为等边的边长为2，则，所以， 所以. 故选：. 6．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，，均为单位向量，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】求得，再结合数量积的定义即可求解； 【详解】，即， 所以， 显然最大值为1.此时； 故选：C 7．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，是直线上一点且，则（    ） A．-2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求出，再利用数量积的运算律及定义计算得解. 【详解】由，，得，由共线， 得，解得，则，， 所以. 故选：B 压轴题型二：几何图形中的数量积计算 √满分技法 求两个向量的数量积的关键是准确求出两个向量的夹角，要注意夹角的范围为 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题设有、，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的定义求结果. 【详解】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 故选：C 9．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】由已知结合向量共线定理可得，进而根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 10．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    11．（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】因为是BC中点， ， 因为M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点， ， 同理可得， . 故选：D. 12．（23-24高一下·海南·期末）如图，正六边形的边长为1，点为其中心，点在边和（包含端点）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加减法的平行四边形和三角形法则，得，再由数量积的定义可知，的最值. 【详解】因为， 所以， 由题意得，， 设与的夹角为，则， 当点在点处时，取得最小值为， 当点在点处时，取得最大值为， 所以的取值范围是. 故选：A. 13．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得. 【详解】 如图过点作直线，交于点， 因，又， 则，而即在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大. 因，由对称性知，， 在中，，因，解得， 则，故的最大值为. 故选：B. 14．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得为等边三角形，然后根据投影向量的定义求解即可, 【详解】由可知为中点，且为的外心， 所以， 所以为等边三角形，， 所以向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：C 压轴题型三：求向量的投影向量 √满分技法 求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数； 15．（22-23高一下·湖北武汉·期末）设平面向量，，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的定义和投影向量的定义逐个分析判断即可. 【详解】设与的夹角为， 对于A，当为锐角时，，，不一定相等，所以A错误， 对于B，当为锐角时，，，所以， 当为钝角时，，，所以， 当为直角时，，综上B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：C 16．（22-23高一下·四川凉山·期中）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合图形，由平面向量数量积的几何意义即可得到结果. 【详解】∵，∴为中点，则为直径，∴， 又∵在上的投影向量为，如图：    过作，垂足为点，∴， ∴为中点，则， ∴. 故选：A 17．（22-23高一下·江苏盐城·阶段练习）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为． 【详解】如图， 由知为中点， 又为外接圆圆心，，， ， ，，， ∴在向量上的投影为：， 向量在向量上的投影向量为：． 故选：D． 18．（22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）已知的外接圆圆心为O，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得点为的中点，再根据，可得且，最后根据投影向量的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点为的中点，即为的外接圆的直径， 又，所以为等边三角形，所以且， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 19．（21-22高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC为菱形,直接得到向量在向量上的投影向量. 【详解】如图示： 因为△ABC的外接圆圆心为O，，， 所以,所以△AOC为等边三角形，所以OBAC为菱形， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 压轴题型四：求向量的夹角 √满分技法 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。 20．（24-25高一下·上海·阶段练习）若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，结合夹角公式即可求解； 【详解】设， 由，可得， 所以， 所以，又， 所以向量、的夹角为， 故选：B 21．（2022·浙江温州·模拟预测）平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，结合得到，计算出，由基本不等式求出时，最大为，得到答案. 【详解】因为满足，， 所以， 所以，所以, 由夹角公式得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，在上单调递减， 所以， 即时，最大为， 此时． 故选：D 22．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知可求得，，进而利用向量的夹角公式可求. 【详解】因为，两边平方得，所以， ，， 所以． 故选：D． 23．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到与的关系，再结合向量的数量积公式来求解. 【详解】已知，移项可得， 因为，所以， 对两边同时平方可得， 根据完全平方公式则， 又因为，，所以可化为， 由，移项可得，则， 根据向量的数量积公式，将，，代入可得：， 则. 故选：D. 24．（2025·河北秦皇岛·一模）已知单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，，，再由夹角公式即可求解； 【详解】因为，，， 所以， ， ， 所以， 故选：D 25．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平面向量数量积的定义与运算求向量的夹角，再根据的定义求值即可. 【详解】设向量的夹角为，因为， 所以， 由，所以. 又与的夹角为，所以， 所以或， 因为向量不共线，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 26．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角. 【详解】因为，均为单位向量，所以， 所以， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 故选：A. 27．（2025·河北·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（   ） A．30° B． C． D．135° 【答案】C 【分析】由平方，结合，求得及，即可求解； 【详解】由已知得，即， 即 又， 两式联立可得：，则向量与的夹角为 故选：C. 28．（2025高三·全国·专题练习）已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】法一：根据单位向量与垂直向量的数量积表示，利用数量积的运算律以及夹角为锐角的数量积表示，同时注意排除向量共线的情况，结合充分不必要条件，可得答案；法二：由题意设出向量的坐标，根据数量积的坐标表示，结合充分不必要条件，可得答案. 【详解】法一： 由单位向量的夹角为，可得，． 若向量与向量的夹角为锐角， 则且向量与向量不共线． 由，得； 由向量与向量不共线，得，即． 所以由向量与向量的夹角为锐角，得且． 易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度. 综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件． 法二： 因为单位向量的夹角为，所以不妨令，， 则，．因为向量与向量的夹角为锐角， 所以，且，得且． 当时，可得， 此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度. 综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 压轴题型五：求向量的模长 √满分技法 根据数量积的定义，得，把向量的模的运算转化为数量积运算，这就是求模的方法。即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积（一定非负），再求它的算术平方根，即为模。对于复杂的向量也是如此，例如求，可先求，再求其算数平方根，即为。 29．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件对进行变形，再结合向量模的计算公式以及不等式求出的最小值. 【详解】由可得. 根据向量数量积的性质，则有， 已知，所以，两边同时平方可得. 根据向量模的平方等于向量自身平方，， 已知，，则，， 所以. 那么，展开得， 移项化简可得，即. 由于，展开. 因为，所以当时，取得最小值. 则的最小值为. 故选：B. 30．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量满足与互为相反向量，，则（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】根据与互为相反向量得出与、的关系，再对的模进行平方，结合已知条件求出，最后开方得到. 【详解】因为与互为相反向量，则它们的和为零向量，可得. 移项可得. 两边平方可得： 可得： 已知，则； 已知，则. 则 因为，且向量的模是非负的，所以. 故选：C. 31．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值． 【详解】设，共起点， 由可得得， 如图终点在直径的圆上， 设中点为，，夹角为， 因此，的最小值为圆心到向量所在直线的距离2减去半径1，为1. 故选：D.    32．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知向量满足,,且,则（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，数量积求模，垂直关系的向量即可求解. 【详解】因为，则， 又因为， 由得， 则，则， 故选：A. 33．（24-25高三下·重庆·阶段练习）平面内有向量、、满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出，，作出图形，使得，，，则，，延长至，使得，证明出，所得，再利用当、、三点共线，且点在线段上时，取最小值，求解即可. 【详解】因为，所以，，则， 故， 因为，，则， 如下图所示，作，，，则，， 延长至，使得，，则， 则有，所得， 所以，， 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取最小值. 故选：C. 34．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 35．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知向量满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由可求解； 【详解】因为， ， 所以，， 故选：C. 压轴题型六：向量的垂直问题 √满分技法 已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。 36．（2025·四川成都·二模）已知平面向量且，两个非零向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】应用向量垂直结合向量的数量积计算求解即可. 【详解】由，且均不为零向量，得， 又因为平面向量且， 所以， 所以，整理得， 解得或. 故选:C. 37．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直数量积为0建立方程，由数量积公式求出向量的数量积和，代入方程后得到. 【详解】由，，得． 又，， 所以，整理，得． 故选：D． 38．（24-25高三上·河北沧州·期末）已知向量，，，为不共线的非零向量，若，，则“”是“”，成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，可得，即，当时，即，可求得，再由充分必要条件定义判断. 【详解】若，则，故， 若，则，即，故. 所以是的充要条件. 故选：C. 39．（24-25高三上·湖南长沙·期末）在中，.若于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题，B，C，D三点共线，可设，然后由 可得答案. 【详解】由图及题，B，C，D三点共线，则. 又于，则 . ， 则. 故选：B 40．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 故选：C, 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由已知结合投影向量的意义可得，再利用数量积的运算律求出的值. 【详解】由向量在向量上的投影向量为，得，则， 由， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用平方运算得，建立平面直角坐标系，根据图形的几何性质可得，将代入即可求得最大值. 【详解】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 3．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，求出，从而建系，将用函数表示出来，即可求出. 【详解】, 且在平行四边形中，， . 以A为原点建坐标系，则 点P在边上，设, ， ，， 所以. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系. 已知，则；因为，，，所以， 又因为，可得，即， 解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，. 因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即. 所以，. 可得：. 故选：C. 5．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解. 【详解】向量，则， 由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D 6．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D．－1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合恒成立求解即可. 【详解】由单位向量，且向量的夹角为，得， 由，得， 即，依题意，对任意的，恒成立， 而，当且仅当时取等号， 因此，整理得，所以. 故选：C 7．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值． 【详解】设向量共起点，由，得， 令，则，， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1， 由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，    而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，， 所以的最小值为. 故选：B 8．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知半径为2的⊙O内有一条长度等于半径的弦AB，若⊙O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的运算律有，应用坐标法求向量数量积，结合即可得. 【详解】由， 如下图示，建立平面直角坐标系，为边长为2的等边三角形，关于轴对称， 则，设，且， 则， 所以，而，故， 所以的取值范围为. 故选：C 9．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用基底表示向量，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 因此，. 故选：C. 10．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）在中，点满足，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得点为的中点，再应用向量加法几何意义及共线向量定义，利用基本不等式求数量积的范围. 【详解】由，得，所以，点为的中点， 所以， 当且仅当点为中点时取等号，且， 故的取值范围是. 故选：D 11．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）点在所在的平面内，以下说法错误的是（    ） A．若，则点为的重心 B．若，则点为的外心 C．若，则点为的内心 D．若，则点为的垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算即可判断A；根据模长相等结合外心的性质即可判断B，利用向量的数量积和外心的性质判断C，利用和向量的线性运算和垂心的性质判断D. 【详解】对于A：设边，，的中点分别为，∴，∵，∴，∴， ∴三点共线，即点在中线上，同理可得点在中线上， ∴点是的重心，故A正确； 对于B：若，∴点为的外心，故B正确； 对于C：设边，，的中点分别为， 则，∴，∴为线段的垂直平分线， 同理可得分别为线段的垂直平分线， ∴为三角形三条边垂直平分线的交点，∴点为的外心，故C错误； 对于D：由已知可得， 即，∴点在边边上的高上， 同理可得点在边边上的高上，点在边边上的高上， ∴点是的垂心，故D正确. 故选：C 12．（2025·陕西西安·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由，， 可得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 13．（2025·山西晋中·模拟预测）已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与的夹角为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、、，利用平面向量数量积的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为、是互相垂直的两个单位向量，则，且， 由平面向量数量积的运算性质可得 ， ， ， 由平面向量数量积的定义可得， 即，则， 且有，又因为，故. 故选：D. 二、多选题 14．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）如图，已知正六边形的边长为2，点为正六边形上的动点，下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为12 【答案】AD 【分析】结合图形即可判断A，由向量的平行四边形法则即可判断B，由向量数量积的几何意义即可判断C，由向量数量积的运算律代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，，由题图可得与为相反向量，故A错误； 对于B，由题图易得平分， 且为正三角形，设交于，根据平行四边形法则有与共线且同方向，易知，则， 而，故，故，故B正确； 对于C，根据向量数量积的几何意义可知，的最小值为，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，则， 则 ，故D错误. 故选：AD. 15．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若为线段的中点，则 B．若为线段的中点，则 C． D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】借助平面向量基本定理，利用平面向量的线性运算表示目标向量，结合平面向量的数量积运算，逐选项判断即可. 【详解】由题，易知 对于选项A：，且， 两式相加，当为线段的中点时，， 故，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：取DM中点G，则 ，故C正确； 对于选项D： ， 又，所以，故D不正确. 故选：AC. 16．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若四边形为平行四边形，则它的面积等于 C．已知点，，为坐标原点，则 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定的定义，结合数量积的定义逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得， 则，而，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得， 则，而，则，又， 即，因此， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 17．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）下列关于平面向量的说法中正确的是（   ） A．若为非零向量，则不与垂直 B．、为实数，若，则与共线 C．若平面内有四个点，则必有 D．在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】CD 【分析】对于A，取，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，利用向量的运算，即可求解；对于D，根据条件，利用向量的运算，可得，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，若，则有， 此时与垂直，所以选项A错误， 对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误， 对于选项C，因为，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为分别是与同向的单位向量， 又，且为的中点，知，即， 所以是在上的投影向量，故选项D正确， 故选：CD. 三、填空题 18．（2025·安徽蚌埠·二模）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是 .    【答案】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为，则,当点与点重合时，取最小值，当点与点重合时，取最大值. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则,, 所以， 当点与点重合时，取最小值， 当点与点重合时，取最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    19．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为 . 【答案】/ 【分析】先根据投影向量求出数量积，再根据向量夹角公式求结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，所以，， ， ，. 故答案为： 20．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【答案】 /； . 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. 21．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得. 【详解】在中，由，得，则， 令，又D是的中点，则， 而共线，因此，解得，所以； ，于是，所以. 故答案为：； 22．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在直角梯形中，，，，点是边上中点，若点在线段上运动（含端点），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，令，，利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则、、、，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令，， 所以，则， 所以，， 由二次函数性质可得当时取得最小值， 当时取得最大值，可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 23．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知、均为单位向量且，则在方向上的投影向量为 【答案】# 【分析】对已知左右两边完全平方，然后通过计算得到，然后代入投影向量的计算公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 24．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知O为所在平面内一点，且点P满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积的定义及运算律，结合向量的夹角公式计算得解. 【详解】由，得， 则， 整理得，即， 解得，而，所以. 故答案为： 25．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】如图，为圆心，连接，则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 26．（2025高三下·北京·专题练习）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点；若，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先证明，再说明当，且为线段的中点时有，即可得到的最小值为. 【详解】①由于， 故，所以. ②当，且为线段的中点时，有. 此时. 综合①②两方面，可知的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 27．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）通过求平方即可求解； （2）根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解； 【详解】（1）， 所以 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与的夹角不为． 首先， 因为， 所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以， 所以的取值范围为． 28．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，，，，点，在边上且，. (1)若，用，表示，并求线段的长； (2)若，，求的值. 【答案】(1), (2) 【分析】(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解； (2) 因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解． 【详解】（1）依题意，， 则， 故， 由， 则 ， 故线段的长为：． （2）因为， 所以，， 则 ， ， ， 故． 29．（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. （3）由图可得， ， ， 由，则. 30．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）已知平行四边形，，，，，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若，,的交点记作G，求． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的基本定理，向量数量积的定义结合条件计算即得； （2）根据（1）的结论，利用向量数量积的定义计算即得； （3）将所求角理解为两向量的夹角，计算相关向量的模长和数量积，利用向量夹角公式计算即得. 【详解】（1） 如图，由，可得， 即点为中点，则， 因，， 则， ，，， ∴； （2）（2）由（1）， 可得，即，解得，又， ； （3）由（1）， 因，则，， 故. 31．（广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点． (1)求的取值范围； (2)当为的中点时，用表示； (3)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则可得，结合余弦函数性质求解即可. （2）由图可得，再根据投影向量确定，再代入角度求解即可. （3）结合题意将用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可. 【详解】（1）如图，设，连接， 而， 因为，故， 所以的取值范围为． （2）因为为的中点，所以， 由平面向量加法法则得， 则在方向上的投影向量为， 在方向上的投影向量为， 得到， 故， 将代入，得． （3）因为，， 所以， 又由（2）知， 故，则， 因为，所以当且仅当时，取得最大值1， 故的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$