专题19 三角函数中的新定义题2种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题19 三角函数中的新定义题 2种常考压轴题归类 三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题. 特别注意：新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 压轴题型一： 新定义距离问题 满分技法 新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作．若，则 ． 3．（24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为：；余弦相似度为：；余弦距离为．若，则A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为 ；已知，若，则的值为 ． 5．（22-23高一上·云南昆明·期末）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 压轴题型二：新定义函数 满分技法 关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．（24-25高一上·云南保山·期末）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）． (1)求的值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 9．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知集合，，设函数. (1)当时，证明：函数是常数函数； (2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合； (3)当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 10．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. (1)判断函数，是否为“线性对称函数”. (2)若是“线性对称函数”，证明：. (3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 11．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）定义，已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是关于角的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D． 二、多选题 4．（2023·云南·三模）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 5．（22-23高一下·江苏南通·期中）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（    ） A．函数在上单调递增 B．若，则 C．若，，，则的最小值为0 D．若，则的最小值为 三、填空题 6．（20-21高一下·上海·课后作业）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是 .(选填序号)①；②；③；④ 7．（20-21高一下·上海·课后作业）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有 ．（选填序号） 8．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ． 四、解答题 9．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 10．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为．向量称为函数的“相伴向量”． (1)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点M运动时，求的取值范围． (3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围； 11．（23-24高一下·山东枣庄·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T. (1)已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； (2)已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求. (3)已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 12．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 三角函数中的新定义题 2种常考压轴题归类 三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题. 特别注意：新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 压轴题型一： 新定义距离问题 √满分技法 新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，得到方程，求出，由诱导公式求出答案. 【详解】， 故， 所以，则. 故选：C 2．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作．若，则 ． 【答案】 【分析】根据定义得到，结合同角三角函数关系得到方程组，求出，进而得到答案. 【详解】，则， 由正余混弦的定义可得． 则有，解得， 因此． 故答案为：． 3．（24-25高一上·山西太原·期末）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)曼哈顿距离为2，其余弦距离为 (2)①；② 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； （2）①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合两角正余弦的和差公式进行化简，得到所要求的距离即可． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为：；余弦相似度为：；余弦距离为．若，则A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为 ；已知，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据公式直接计算即可得空一；根据公式得到，，计算即可得空二. 【详解】， ， 故余弦距离等于， 即A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离和为； ， ， 故，，则. 故答案为：；. 5．（22-23高一上·云南昆明·期末）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. 【详解】（1）， ，故余弦距离等于； （2）； 故，，则. 压轴题型二：新定义函数 √满分技法 关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 6．（24-25高一上·云南保山·期末）双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）． (1)求的值； (2)证明：两角和的双曲余弦公式； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入即可求； （2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解； （3）由函数定义代入函数解析式，由题意可得在上恒成立，令，即求，令，结合二次函数性质即可求. 【详解】（1）由题意， （2）因为左边 右边. 所以. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立， 令， 则， 令， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三角函数新定义问题，解答本题的关键在于理解双曲余弦函数以及双曲正弦函数的定义，然后结合所学函数知识解答. 7．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 【答案】(1)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解； （2）根据正弦周期函数的定义求解； （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【详解】（1），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （2）因为， 所以是以为周期的正弦周期函数. 证毕. （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，， 又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解； （2）将题意转化为关于x的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案； （3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得（），再根据二次函数的性质分，和求出，使得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得： ， 则的“特征向量”. （2）由题意可得，其中（）. 因为关于x的方程在上有两个不同的实根， 所以关于x的方程在上有两个不同的实根. 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. （3）由题意可得. 设， 则，所以（）. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 因为，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 因为，所以. 综上，a的取值范围是. 9．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知集合，，设函数. (1)当时，证明：函数是常数函数； (2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合； (3)当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）直接利用题设定义和平方关系，即可证明结果； （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得间的关系，再结合题设条件，即可求解； （3）根据条件，利用倍角公式及平方关系，得到，，再分奇和偶讨论，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以是常数函数. （2）设，不妨令， 则 . 若函数是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，，所以或，， 同理或，，或，， 则①，又， 所以集合有，，共2个. （3）不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 两式平方相加得，所以， 得，，所以，， ①当为偶数时，可以拆分成组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 ②当为奇数时，可以拆分成1组三项的和 与组两项（，）的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以当为奇数时，函数是常数函数的一个充分条件可以是. 【点睛】方法点晴：“新定义问题”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习）若定义域为的函数满足对于任意的，恒成立，则称为“线性对称函数”. (1)判断函数，是否为“线性对称函数”. (2)若是“线性对称函数”，证明：. (3)已知函数，判断是否存在，，使得是“线性对称函数”.若存在，求出，的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)存在，，使函数是“线性对称函数”. 【分析】（1）由线性对称函数的定义判断即可； （2）由线性对称函数的定义赋值证明即可； （3）由（2）可知，故，从而求得，若，不妨设，由，，，只要充分大时，将大于1，故，从而求得. 【详解】（1），所以，， 所以，故为“线性对称函数”， ，，， 所以，故不是“线性对称函数”. （2）证明：若是“线性对称函数”，则， 令，则，所以. （3）存在使是“线性对称函数”，理由如下： 由（2）可知，故，由于， 所以，故， 若，不妨设， 由，，， 只要充分大时，将大于1， 而的值域为，故等式不可能成立， 所以必有成立，即， 因为，所以，所以， 则，此时， 则，而， 即有成立， 所以存在，，使函数是“线性对称函数”. 11．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）定义，已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用所给定义得，代入并结合基本不等式求解最值即可. 【详解】依题意得，则， ， 当且仅当，即时“”成立. 此时，，所以，所以的最小值为. 故选：A. 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是关于角的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数的定义域为 D． 【答案】C 【分析】根据定义可判断A；利用定义转化为余弦求解可判断B；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D. 【详解】由题知，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，函数，由得 所以的定义域为，C错误； 对于D， ， 当时，等号成立，D正确. 故选：C. 二、多选题 4．（2023·云南·三模）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（    ） A．将图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．在区间上的所有零点之和为 C．在区间上单调递减 D．在区间上有且仅有5个极大值点 【答案】ABC 【分析】根据三角函数的定义及“正余弦函数”的定义求出的解析式，在根据正弦函数的性质一一分析即可. 【详解】因为，， 所以 ， 对于A：将图象向右平移个单位长度得到， 为奇函数，函数图象关于原点对称，故A正确； 对于B：令，即，解得， 又，所以或或或， 所以在区间上的所有零点之和为，故B正确； 对于C：由，所以，所以在上单调递减，故C正确； 对于D：由，则，令，解得， 所以在区间上的极大值点有，，，共个，故D错误； 故选：ABC 5．（22-23高一下·江苏南通·期中）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（    ） A．函数在上单调递增 B．若，则 C．若，，，则的最小值为0 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用新函数的定义化简函数式为一般的三角函数式，然后三角函数关系式的变换判断各选项即可得到结论：利用两角差的正弦公式化简函数，然后由正弦函数性质判断A，利用齐次式求值法求值判断B，利用换元法结合二次函数性质求最小值判断C，利用二倍角公式变形结合二次函数性质判断D． 【详解】对于，因为， 当时，，， 由正弦函数的性质可知在，上不单调，故错误； 对于B，由，可得， 而，故正确； 对于C，， 令，因为，所以，则， 则有， 所以（1）， 所以，故正确； 对于D，因为， 所以当时，，故正确． 故选：BCD． 三、填空题 6．（20-21高一下·上海·课后作业）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是 .(选填序号)①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断． 【详解】当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意； 函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，，不符合题意． 故答案为：①②③． 7．（20-21高一下·上海·课后作业）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中“同形”函数有 ．（选填序号） 【答案】①② 【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解. 【详解】由题意，，， 四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②， 所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②. 8．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意化简得到，结合对任意实数恒成立，得到，分类讨论，取得，且，即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 又因为上式对任意实数恒成立，所以， 若，由，可得，不满足； 由，可得或， 当时，，由与矛盾； 故，则， 由与，可得， 综上可得，原式． 故答案为：． 四、解答题 9．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围；②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）①因为 ， 又，所以当时，当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且，，，，的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，，则， 所以，， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键. 10．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为．向量称为函数的“相伴向量”． (1)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点M运动时，求的取值范围． (3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围； （2）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． （3）先求得，由，得，再根据正弦函数的性质分类讨论求出函数的最值。进而可得出答案. 【详解】（1）由题知：， ， 由，得， 令，得，令，得， 由，得， 令，得，令，得， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 且 ∵图像与有且仅有四个不同的交点， 所以实数k的取值范围为；    （2）， 其中， ， ∴当即时，取得最大值， 此时， 令，则由，显然， 则，解得， ， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以； （3）由题意， 则， 设函数在区间上最大值与最小值之差为， 由，得， ①当，即时， ， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ②当，即时， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ③当，即时， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ④当，即时， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑤当，即时， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑥当，即时， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 综上所述，， 所以在区间上最大值与最小值之差的取值范围为. 【点睛】思路点睛：此题为向量和三角函数相结合的新定义问题；主要把握住它们之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题. 11．（23-24高一下·山东枣庄·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量，的“和谐函数”为.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T. (1)已知，，若函数为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； (2)已知，设（，），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求. (3)已知，，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，，试问在的图象上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将变成已知条件的形式，再根据“和谐向量”及向量的模的坐标公式计算即可得解； （2）设，再求出，再根据“和谐函数”的定义结合三角恒等变换化简函数，再根据三角函数的性质即可求出，即可得解； （3）结合（1）求出“和谐向量”，进而可得，的解析式，设出点的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解. 【详解】（1） ， 所以函数的“和谐向量”向量， ， 因为，所以， 所以的取值范围为； （2）设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以； （3）由（1）知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以，所以，即， 而，则，当且仅当时，等式成立， 所以在的图象上存在一点，使得. 【点睛】关键点点睛：理解“和谐向量”和“和谐函数”是解决本题的关键. 12．（23-24高一下·上海·期中）对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”. (1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值； (3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，即可判断为“正弦周期函数”； （2）由题意条件得到，故，，由函数单调性得到不等式，求出，再证明不合要求，从而得到，并求出； （3）法1：，满足要求，若，则对任意，存在正整数，使得且，得到，，若，同理可证明，得到结论； 法2：反证法，假设不是周期函数，则与均不恒成立，存在，使得，再利用题目条件推出，故假设不成立，证明出结论. 【详解】（1），则， 故， 所以是正弦周期函数. （2）存在，使得，故， 因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以， 又，， 所以， 又， 则， 故，， 因为，所以，且严格增， 由于，， 故，解得， 则整数， 下证. 若不然，，则，由的值域为R知， 存在，，使得，， 则， ， 由严格单调递增可知， 又， 故，这与矛盾. 故，综上所述，； （3）法1：若，则由可知为周期函数. 若，则对任意，存在正整数，使得且. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 所以， 故，所以， 若，则同理可证（取为负整数即可）. 综上，得证. 法2：假设不是周期函数，则与均不恒成立. 显然. 因为不恒成立，所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数. 因为是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且， 由正弦周期性得， 即， 所以，矛盾，假设不成立， 综上，是周期函数. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$