3.3 多项式的乘法（4大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级下册

3.3 多项式的乘法 题型一 多项式的乘法 1．计算（x+1）（x2﹣2），所得结果的一次项系数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【详解】解：（x+1）（x2﹣2） ＝x3﹣2x+x2﹣2， ∴所得结果的一次项系数是﹣2． 故本题选：A． 2．设A＝（x﹣3）（x﹣6），B＝（x﹣2）（x﹣7），则代数式A、B的大小关系为：A　　B．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【详解】解：A﹣B＝（x﹣3）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x﹣7） ＝x2﹣9x+18﹣（x2﹣9x+14） ＝x2﹣9x+18﹣x2+9x﹣14 ＝4， ∵4＞0， ∴A＞B． 故本题答案为：＞． 3．计算：2（x2﹣2）﹣（x+1）（x﹣3）﹣x（x+2）． 【详解】解：原式＝2（x2﹣2）﹣（x2﹣3x+x﹣3）﹣（x2+2x） ＝2x2﹣4﹣x2+3x﹣x+3﹣x2﹣2x ＝﹣1． 4．计算：（x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣5）（x+2）． 【详解】解：原式＝2x2+x﹣2x﹣1﹣（x2﹣3x﹣10） ＝2x2+x﹣2x﹣1﹣x2+3x+10 ＝x2+2x+9． 题型二 利用多项式的乘法求参 1．若（x﹣n）（x﹣2）＝x2+5x+m，则常数m，n的值分别为（　　） A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7 【详解】解：∵（x﹣n）（x﹣2）＝x2﹣（n+2）x+2n，（x﹣n）（x﹣2）＝x2+5x+m， ∴x2﹣（n+2）x+2n＝x2+5x+m， ∴﹣（n+2）＝5，m＝2n， ∴m＝﹣14，n＝﹣7． 故本题选：D． 2．已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 【详解】解：（﹣2x+a）（x2+bx﹣3） ＝﹣2x3﹣2bx2+6x+ax2+abx﹣3a ＝﹣2x3+（a﹣2b）x2+（6+ab）x﹣3a， ∵结果中不含x的二次项， ∴a﹣2b＝0， ∴﹣12a+24b﹣3＝﹣12（a﹣2b）﹣3＝﹣3． 故本题选：A． 3．已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【详解】解：（ax﹣b）（3x2+x+2） ＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b ＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b， ∵关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5， ∴，解得：， ∴ab＝3． 故本题选：A． 4．欢欢和乐乐两人分别计算（2x+a）•（3x+b），欢欢抄错了a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，乐乐漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）求a，b的值． （2）请你计算这道题的正确结果． 【详解】解：（1）∵欢欢由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果是6x2﹣13x+6， ∴（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6， ∴2b﹣3a＝﹣13①， ∵乐乐由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2﹣x﹣6， ∴（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6， ∴2b+a＝﹣1②， ①②联立方程组得，解得：， ∴a，b的值分别为3，2． （2）（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6． 题型三 利用多项式的乘法求值（含整体代入求值） 1．已知x﹣y＝7，xy＝5，则（x+1）（1﹣y）的值为（　　） A．13 B．3 C．﹣11 D．﹣13 【详解】解：（x+1）（1﹣y） ＝x﹣xy+1﹣y ＝x﹣y﹣xy+1， ∵x﹣y＝7，xy＝5， ∴原式＝7﹣5+1＝3． 故本题选：B． 2．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m与n的值． （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【详解】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x2和x3项， ∴，解得：； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 当m＝﹣4，n＝﹣12时， 原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792． 题型四 多项式乘法的实际应用 1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【详解】解：（a+3b）（a+2b） ＝a2+2ab+3ab+6b2 ＝a2+5ab+6b2， ∵A类卡片的面积是a2，B类卡片的面积是b2，C类卡片的面积是ab， ∴拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形需要C类卡片5张． 故本题选：B． 2．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2 【详解】解：图1中，阴影部分＝长（a﹣x）宽（a﹣2b）长方形面积， ∴阴影部分的面积＝（a﹣x）（b﹣x）， 图2中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积， ∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2， ∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2． 故本题选：D． 1．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+24， ∴x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+24， ∴a+b＝m，ab＝24， ∵a、b为整数， ∴或或或或或或或， 或或或或或或或， ∴24+1＝25，12+2＝14，8+3＝11，6+4＝10，4+6＝10，3+8＝11，﹣24﹣1＝﹣25，﹣12﹣2＝﹣14，﹣8﹣3＝﹣11，﹣6﹣4＝﹣10， ∴a+b＝25或14或11或10或﹣25或﹣14或﹣11或﹣10， ∴m的取值有8个． 故本题选：D． 2．多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，则2a+b+c＝　　． 【详解】解：∵多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3， ∴设多项式M＝2x2+mx﹣3， ∴（2x2+mx﹣3）×（x2﹣3x+1） ＝2x4﹣6x3+2x2+mx3﹣3mx2+mx﹣3x2+9x﹣3 ＝2x4+（m﹣6）x3﹣（3m+1）x2+（m+9）x﹣3， ∴m﹣6＝a，﹣3m﹣1＝b，c＝m+9， ∴2a+b+c＝2m﹣12﹣3m﹣1+m+9＝﹣4． 故本题答案为：﹣4． 3．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　　）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）． 【详解】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3， 故本题答案为：a2﹣ab+b2 （2）（a+b）（a2﹣ab+b2） ＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3 ＝a3+b3； （3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2） ＝x3+y3﹣（x3﹣y3） ＝2y3． 4．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：， 再利用单项式与多项式相乘的法则，得：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （x+2）（x+3）＝　　； （x﹣2）（x+3）＝　　； （x+2）（x﹣3）＝　　； （x﹣2）（x﹣3）＝　　． 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释（x+p）（x+q）＝　　． 【任务3】如果（x+p）（x+q）＝x2+mx+8其中m，p，q均为整数，求m的值． 【详解】解：任务1：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6； （x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6； （x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6； （x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x﹣6； 故本题答案为：x2+5x+6；x2+x﹣6；x2﹣x﹣6；x2﹣5x﹣6； 任务2：由图可知： （x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq． 故本题答案为：x2+（p+q）x+pq； 任务3：由任务2可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq， 又∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+8， ∴m＝p+q，pq＝8， 又∵m，p，q均为整数，8＝1×8＝（﹣1）×（﹣8）＝2×4＝（﹣2）×（﹣4）， ∴m＝1+8＝9或m＝（﹣1）+（﹣8）＝﹣9，m＝2+4＝6或m＝（﹣2）+（﹣4）＝﹣6， 综上，m＝±9，±6． 5．给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为　　； （2）求有序实数对（1，0，1）的特征多项式与有序实数对（1，﹣2，1）的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对（0，2，m）的特征多项式与有序实数对（0，n，2）的特征多项式的乘积的结果为6x2+x﹣2，求mn的值． 【详解】解：（1）根据题意可知关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为（3，2，1）， 故本题答案为：（3，2，1）； （2）∵有序实数对（1，0，1）的特征多项式为：x2+1， 有序实数对（1，﹣2，1）的特征多项式为：x2﹣2x+1， ∴（x2+1）（x2﹣2x+1） ＝x4﹣2x3+x2+x2﹣2x+1 ＝x4﹣2x3+2x2﹣2x+1； （3）∵有序实数对（0，2，m）的特征多项式为：2x+m， 有序实数对（0，n，2）的特征多项式为：nx+2， ∴（2x+m）（nx+2） ＝2nx2+4x+mnx+2m ＝2nx2+（4+mn）x+2m， ∵有序实数对（0，2，m）的特征多项式与有序实数对（0，n，2）的特征多项式的乘积的结果为6x2+x﹣2， ∴2n＝6，4+mn＝1，2m＝﹣2， ∴mn＝1﹣4＝﹣3，即mn的值为﹣3． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 多项式的乘法 题型一 多项式的乘法 1．计算（x+1）（x2﹣2），所得结果的一次项系数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．设A＝（x﹣3）（x﹣6），B＝（x﹣2）（x﹣7），则代数式A、B的大小关系为：A　　B．（填“＞”、“＜”或“＝”） 3．计算：2（x2﹣2）﹣（x+1）（x﹣3）﹣x（x+2）． 4．计算：（x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣5）（x+2）． 题型二 利用多项式的乘法求参 1．若（x﹣n）（x﹣2）＝x2+5x+m，则常数m，n的值分别为（　　） A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7 2．已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 3．已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 4．欢欢和乐乐两人分别计算（2x+a）•（3x+b），欢欢抄错了a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，乐乐漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）求a，b的值． （2）请你计算这道题的正确结果． 题型三 利用多项式的乘法求值（含整体代入求值） 1．已知x﹣y＝7，xy＝5，则（x+1）（1﹣y）的值为（　　） A．13 B．3 C．﹣11 D．﹣13 2．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m与n的值． （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 题型四 多项式乘法的实际应用 1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 2．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2 1．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 2．多项式M与多项式x2﹣3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx﹣3，则2a+b+c＝　　． 3．观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　　）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）． 4．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：， 再利用单项式与多项式相乘的法则，得：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （x+2）（x+3）＝　　； （x﹣2）（x+3）＝　　； （x+2）（x﹣3）＝　　； （x﹣2）（x﹣3）＝　　． 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释（x+p）（x+q）＝　　． 【任务3】如果（x+p）（x+q）＝x2+mx+8其中m，p，q均为整数，求m的值． 5．给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的二次多项式3x2+2x+1的特征系数对为　　； （2）求有序实数对（1，0，1）的特征多项式与有序实数对（1，﹣2，1）的特征多项式的乘积； （3）若有序实数对（0，2，m）的特征多项式与有序实数对（0，n，2）的特征多项式的乘积的结果为6x2+x﹣2，求mn的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$