专题03 古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题03 古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 古典概型（高二所学复习，后续知识用到）】 5 【题型二 条件概率】 8 【题型三 相互独立及独立事件的乘法公式（含概率乘法公式的推广）】 10 【题型四 全概率公式】 15 【题型五 贝叶斯公式】 18 【压轴能力测评】 20 一、古典概型 1、定义 一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 3、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件是什么． 4、解题一般步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； （3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； （4）利用公式求出事件的概率． 5、解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 二、条件概率 1、定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2、性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注：①如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； ②已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 3、用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 三、相互独立 1、相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2、事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 3、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 4、求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 四、全概率公式 1、全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 五、贝叶斯公式 1、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即． 【题型一 古典概型（高二所学复习，后续知识用到）】 一、单选题 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型以及分步乘法计数原理计算可得概率. 【详解】根据题意可知某信号的6位数字均有“0”和“1”两种选择， 因此可以编码出种信号； 若信号编码中恰好有3个“1”，则其余三个数字是0，共有种信号， 因此该信号编码中恰好有3个“1”的概率为. 故选：B 2．（2025·江西上饶·一模）将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列组合，先求出将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中的放法数，再求出4个凹槽与其放入小球编号互不相同的放法数，再利用对立事件的概率公式，即可求出结果. 【详解】将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，共有种放法， 4个凹槽与其放入小球编号互不相同的有种放法， 所以至少有1个凹槽与其放入小球编号相同的概率是. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案， 若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案， 即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案， 所以所求概率. 故选：C. 4．（2025·河南焦作·二模）为了抒写乡村发展故事､展望乡村振兴图景､演绎民众身边日常､唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈､歌曲､戏曲､小品､器乐､非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过器乐在第三个位置或第四个位置或第五个位置或第六个位置演出，确定演出顺序总数，再结合古典概型概率公式即可求解； 【详解】六个节目总的排序有， 当器乐在第三个位置演出时，共有种不同的演出顺序， 当器乐在第四个位置演出时，共有种不同的演出顺序， 当器乐在第五个位置演出时，共有种不同的演出顺序， 当器乐在第六个位置演出时，共有种不同的演出顺序， 所以共有种不同的演出顺序， 则所求概率为. 故选：A 5．（24-25高二上·河南·期末）现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，由此得这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为2，再结合古典概型即可求解. 【详解】由题意可知，设平均数为，方差为， 则，则， 即， 整理得：， 显然最大的数不可能为5，若最大的数为4，剩余的四个数均为1， 此时，不合要求； 若最大的数为4，剩余的四个数分别为1，1，1，2， 此时，不合要求； 故该组数据中最大的数不可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2， 则这5个数只可能是3，2，2，2，1，其众数为， 所以从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为. 故选：A 6．（23-24高二下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2024个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 【题型二 条件概率】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求，进而求条件概率. 【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 【题型三 相互独立及独立事件的乘法公式（含概率乘法公式的推广）】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论. 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏·期末）投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有1个奇数的概率为 B．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件 C．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为 D．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件 【答案】C 【分析】根据独立重复事件求概率，可判断A；根据独立事件和互斥事件的定义，可判断BD；根据条件概率公式，即可判断C. 【详解】A．每个骰子奇数点向上的概率为，则三个骰子有且只有1个奇数的概率，故A错误； B．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”不能构成样本空间，这两个事件是互斥事件，不是对立事件，故B错误； C．有奇数的对立事件是没有奇数，即三个都是偶数，概率为， 所以有奇数的概率,至少有2个奇数的概率, 所以在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率，故C正确； D．事件“至少有1个是奇数”包含事件：1个奇数，2个偶数，或2个奇数，1个偶数，或3个奇数， 事件“至少有1个是偶数”包含事件：1个偶数，2个奇数，或2个偶数，1个奇数，或3个偶数， 两个事件有公共事件：1个奇数，2个偶数，或2个奇数，1个偶数，所以不是互斥事件，故D错误. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 从而得到选手能进入第三关的事件为再由互斥事件和事件及独立事件乘法公式求解即可； 【详解】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中． 由题意知选手能进入第三关的事件可表示为：， 所以选手能进入第三关的概率： ． 故选：C． 4．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的均值（数学期望）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，求出其概率值，确定随机变量的所有可能的值，利用独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，得到其分布列，利用期望公式计算即可. 【详解】设表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”， 则， 由题意的所有可能的值为， 则， ， ， . 故的分布列为： 2 3 4 5 则. 故选：A. 二、解答题 5．（24-25高二下·四川南充·开学考试）多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． (1)求该同学第10题得6分的概率； (2)求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列出第10题选两个选项的所有情况，求出选两个选项正确的概率，再利用独立事件的概率公式计算即可； （2）由总得分不低于10分共2种情况：第10题得6分且第11题得4分和第10题得6分且第11题得6分，设出基本事件求出概率，用基本事件分别表示这2种情况，利用独立事件的概率乘法公式和加法原理计算即可. 【详解】（1）根据题意，第10题得6分需满足选两个选项且选对， 选两个选项共有6种情况，，，，， 所以； （2）总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分；第10题得6分且第11题得6分， 记事件：第10题得6分，满足选了两个选项且选对； 事件：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对； 事件：第11题得6分，满足选了三个选项且选对. 则；；； . 6．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由前3次射击中甲恰好击中2次，可得前2次甲都击中目标，但第三次没有击中，即可乘法公式即可求解； （2）分“甲连续射击3次且都击中”； “第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中” “第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中” “第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”结合互斥事件和事件计算公式即可求解； 【详解】（1）前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第三次没有击中目标，故它的概率为 （2）设事件“甲连续射击3次且都击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，第二次由乙射击且击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第一次甲射击没有击中，二次由乙射击且没有击中，第三次由甲射击且击中”； 事件“第一次甲射击且击中，二次由甲射击且没有击中，第三次由乙射击没有击中”； 事件“第4次由甲射击”两两互斥， 所以第4次由甲射击的概率为 7．（24-25高二上·浙江宁波·期末）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. (1)求赛完4局且乙获胜的概率； (2)若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知分析赛完4局且乙获胜的对应事件，再应用独立事件乘法公式求概率； （2）由题设确定的可能取值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜. （2）的可能取值为，，1，4，5，6， 则，，， ，，， 的分布列如表所示 1 4 5 6 所以. 【题型四 全概率公式】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 【答案】D 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】由，可得 所以：． 故选：D 2．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 二、解答题 4．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由古典概型的概率计算，利用全概率公式，可得答案； （2）利用条件概率，可得答案. 【详解】（1）记事件表示第一次取到i号球，，表示第二次取到1号球， 依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且 ，，，，， 应用全概率公式，有. （2）依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上号码相同. 则. 5．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【详解】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率. 【题型五 贝叶斯公式】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·期末）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】依题意，该产品是由A车间生产的概率为： . 故选：A 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 3．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【详解】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 4．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·期末）班长准备对本班元旦晚会的7个表演节目进行演出排序，则节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用捆绑法和排列数的计算，求得节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，先将除甲乙外的5个节目中选2个节目放在甲乙之间，看成一个整体， 再将这个整体和剩余的3个节目，进行全排列，共有中， 所以节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【分析】先求出对应事件的概率，再由独立事件的概率关系逐项判断即可； 【详解】设甲乙丙丁对应的的概率分别为， 由题意可得， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为， 所以， 丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为， 所以， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高二下·新疆·期中）某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用古典概型，结合组合和对立事件概率知识求解即可. 【详解】小明和小华参加兴趣班的方案有种， 其中小明和小华参加的兴趣班都不同的情况有种， 故所求概率． 故选：D. 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式以及全概率公式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 又. 所以.又， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，根据独立事件概率乘法公式求，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A， “从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B， 则， 所以. 故选：B. 6．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）假设两个箱子里都是大小相同的乒乓球，第1个箱子里有8个白色球和2个黄色球，第2个箱子里有15个白色球和5个黄色球，则随机从两个箱子中摸出1个球是黄色球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合组合数，根据古典概型概率和全概率公式可解． 【详解】根据题意，从第1个箱子里摸出1个球是黄色球的概率为， 从第2个箱子里摸出1个球是黄色球的概率为， 则随机从两个箱子中摸出1个球是黄色球的概率是. 故选：D． 7．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 8．（23-24高二下·河南安阳·期中）为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元消费券的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求出概率，再利用全概率公式计算即得. 【详解】记顾客获得100元消费券的事件为，从甲袋中取出黑球的事件为， 则，，， 所以. 故选：B 9．（23-24高二下·重庆·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出把5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数，再求出每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数即可求出概率. 【详解】依题意，5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数为， 中间行必有一格填奇数3，9之一，另一个填入不含6的那一行，有种方法， 再排奇数1，5，7，有种方法， 因此每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数为， 所以每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率. 故选：B 10．（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 11．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【答案】C 【分析】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确. 【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：. 因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误； 因为所含的样本点为：，所以，故B错误； 因为所含的样本点为：，所以，又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误. 故选：C 二、解答题 12．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，故 （2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 （3）在（2）的条件下. 13．（23-24高二下·安徽·阶段练习）通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生． (1)求该学生为肥胖学生的概率； (2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过全概率公式求解即可得； （2）通过条件概率公式求解即可得． 【详解】（1）记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”， “学生为初中生”，“学生为高中生”． 则，且，，两两互斥， 由题意得，，， ，，， 则 ， 即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025． （2）“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”， 则， 所以， 即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24. 14．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 【答案】(1) (2)0.048 (3)3，说明见解析 【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得答案； （2）根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论. 【详解】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件， 它是第1台机床生产的概率； （2）设事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”， ， ， 现任取一个零件，它是次品的概率 （3）， ， ， 而，所以它是第3台机床生产的可能性最大． 15．（2024高二·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【详解】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． （2）由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 16．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 【答案】(1)14 (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）分一轮，二轮，三轮，四轮分别计算可得总场数； （2）（i）随机变量的取值为，分别计算可得其分布列，进而可求数学期望；（ii）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）第一轮，轮空一个队，其余14个队，共7个组比赛7场，第二轮8个队比赛4场， 第三轮半决赛2场，第4轮决赛1场，故共有场比赛； （2）（i）随机变量的取值为， 当，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 ； （ii）设一号队参加比赛的场数为3为事件，一号队获得冠军为事件， 则， 由（i）知，， 则， 即一号队在的条件下获得冠军的概率为. 17．（24-25高二上·湖北·期中）某公司有意在小明、小红、小强、小真这人中随机选取人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记分，通过复试考核记分，本次面试满分为分，且初试未通过者不能参加复试. (1)若从这人中随机选取人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于分的概率； (2)若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）选出人的情况分三种：①小明、小红参加面试；②小明、小红或小强、小真各一人参加面试；③小强、小真参加面试.计算每种情况下的概率相加即可得到结果. （2）分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果. 【详解】（1）记选出小明、小红参加面试为事件，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件，选出小强、小真参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， （2）的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 18．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 【答案】(1)（i）；（i i） (2) 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 古典概型、条件概率、全概率、贝叶斯公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 古典概型（高二所学复习，后续知识用到）】 5 【题型二 条件概率】 6 【题型三 相互独立及独立事件的乘法公式（含概率乘法公式的推广）】 6 【题型四 全概率公式】 8 【题型五 贝叶斯公式】 9 【压轴能力测评】 10 一、古典概型 1、定义 一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 3、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件是什么． 4、解题一般步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； （3）分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； （4）利用公式求出事件的概率． 5、解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 二、条件概率 1、定义 一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2、性质 （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注：①如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； ②已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 3、用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 三、相互独立 1、相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2、事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 3、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 4、求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 四、全概率公式 1、全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 五、贝叶斯公式 1、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即． 【题型一 古典概型（高二所学复习，后续知识用到）】 一、单选题 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西上饶·一模）将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习）2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南焦作·二模）为了抒写乡村发展故事､展望乡村振兴图景､演绎民众身边日常､唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈､歌曲､戏曲､小品､器乐､非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南·期末）现有5个正整数，，，，，若这组数据的和为10，方差为，则从这组数据中随机取1个数，该数超过众数的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏·期末）一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2024个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型二 条件概率】 一、单选题 1．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏·期末）第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型三 相互独立及独立事件的乘法公式（含概率乘法公式的推广）】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·期末）投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是（    ） A．有且只有1个奇数的概率为 B．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件 C．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为 D．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件 3．（24-25高二下·全国·课后作业）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江宁波·阶段练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的均值（数学期望）为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（24-25高二下·四川南充·开学考试）多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． (1)求该同学第10题得6分的概率； (2)求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 6．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）甲､乙二人做射击游戏，甲和乙射击击中与否互不影响，各次结果也互不影响.规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击.已知甲射击一次击中的概率为，乙射击一次击中的概率为，且第一次由甲开始射击. (1)求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； (2)求第4次由甲射击的概率. 7．（24-25高二上·浙江宁波·期末）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. (1)求赛完4局且乙获胜的概率； (2)若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 【题型四 全概率公式】 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47 2．（24-25高二下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25高二下·湖北荆门·阶段练习）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次先从Ⅰ号袋内随机地取一个球，放入与球上号码相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， (1)求第二次取1号球的概率； (2)若第二次取到1号球，求它取自编号为Ⅰ口袋的概率. 5．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【题型五 贝叶斯公式】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·期末）某工厂有两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆·期末）班长准备对本班元旦晚会的7个表演节目进行演出排序，则节目甲与乙中间恰好间隔2个节目的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 3．（23-24高二下·新疆·期中）某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班．已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）假设两个箱子里都是大小相同的乒乓球，第1个箱子里有8个白色球和2个黄色球，第2个箱子里有15个白色球和5个黄色球，则随机从两个箱子中摸出1个球是黄色球的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 8．（23-24高二下·河南安阳·期中）为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为4个黑球和6个白球，乙袋中为3个黑球和5个白球.顾客要从甲袋中随机取出1个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出1个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得100元消费券，否则获得50元消费券.则顾客获得100元消费券的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·重庆·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（   ）    A． B． C． D． 10．（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 二、解答题 12．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 13．（23-24高二下·安徽·阶段练习）通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生． (1)求该学生为肥胖学生的概率； (2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率． 14．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 15．（2024高二·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 16．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制（赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰）比赛，赛程如下：周一八强赛（有一队轮空，直接进入下一轮比赛），周二四强赛，周三半决赛，周四决赛. (1)比赛共需进行多少场？ (2)假设各队实力相当（每场比赛参赛双方获胜的概率均为），设一号队参加比赛场数为， （i）求随机变量的分布列和数学期望； （ii）求一号队在的条件下获得冠军的概率. 17．（24-25高二上·湖北·期中）某公司有意在小明、小红、小强、小真这人中随机选取人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记分，通过复试考核记分，本次面试满分为分，且初试未通过者不能参加复试. (1)若从这人中随机选取人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于分的概率； (2)若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望. 18．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$